高中數(shù)學(xué)立體幾何題型與方法.doc

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高中數(shù)學(xué)立體幾何題型與方法(理科)經(jīng)典例題剖析 例1、已知三點(diǎn)不共線，對(duì)平面外任一點(diǎn)，滿足條件， 試判斷：點(diǎn)與是否一定共面？ 解析：要證明平面，只要證明向量可以用平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量和線性表示． 答案:證明：如圖，因?yàn)樵谏?，且，所以．同理，又，所? ．又與不共線，根據(jù)共面向量定理，可知，，共面．由于不在平面內(nèi)，所以平面． 點(diǎn)評(píng)：空間任意的兩向量都是共面的．與空間的任兩條直線不一定共面要區(qū)別開(kāi). 例2、如圖,?在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，??（I）求證：AC⊥BC1；??（II）求證：AC?1//平面CDB1； 解析：本小題考查直線與平面平行，直線與平面垂直，二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和推理論證能力. 答案：（1）是的中點(diǎn)，取PD的中點(diǎn)，則 ，又 四邊形為平行四邊形 ∥， ∥????????（4分） ?（2）以為原點(diǎn)，以、、?所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，， 在平面內(nèi)設(shè)，，，??由???????? 由???????? 是的中點(diǎn)，此時(shí)????????????????????（8分） ?（3）設(shè)直線與平面所成的角為 ，，設(shè)為 ???? 故直線與平面所成角的正弦為????????????????????????????（12分） 解法二： ?（1）是的中點(diǎn)，取PD的中點(diǎn)，則 ，又 四邊形為平行四邊形 ∥， ∥????????（4分） ?（2）由（1）知為平行四邊形 ，又 ????同理， ????為矩形????∥，，又 ???????? ????作故 交于，在矩形內(nèi)，， ，????為的中點(diǎn) 當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，????????????????????????????????（8分） ?（3）由（2）知為點(diǎn)到平面的距離，為直線與平面所成的角，設(shè)為， 直線與平面所成的角的正弦值為??????? 點(diǎn)評(píng)：（1）證明線面平行只需證明直線與平面內(nèi)一條直線平行即可；（2）求斜線與平面所成的角只需在斜線上找一點(diǎn)作已知平面的垂線，斜線和射影所成的角，即為所求角；（3）證明線面垂直只需證此直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直變可.這些從證法中都能十分明顯地體現(xiàn)出來(lái) 例3、如圖，四棱錐中，側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且與底面垂直，底面是的菱形，為的中點(diǎn). (Ⅰ)求與底面所成角的大??； (Ⅱ)求證：平面； (Ⅲ)求二面角的余弦值. 解析：求線面角關(guān)鍵是作垂線，找射影，求異面直線所成的角采用平 移法??求二面角的大小也可應(yīng)用面積射影法，比較好的方法是向量法? 答案：(I)取DC的中點(diǎn)O，由ΔPDC是正三角形，有PO⊥DC． 又∵平面PDC⊥底面ABCD，∴PO⊥平面ABCD于O． 連結(jié)OA，則OA是PA在底面上的射影．∴∠PAO就是PA與底面所成角． ∵∠ADC=60°，由已知ΔPCD和ΔACD是全等的正三角形，從而求得OA=OP=． ∴∠PAO=45°．∴PA與底面ABCD可成角的大小為45°．???????????????……6分 (II)由底面ABCD為菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，有OA⊥DC． 建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則,?． 由M為PB中點(diǎn)，∴． ∴． ∴， ． ∴PA⊥DM，PA⊥DC．???∴PA⊥平面DMC．?????????????????????????????????????????????……4分 (III)．令平面BMC的法向量， 則，從而x+z=0；??……①,??，從而．?……② 由①、②，取x=?1，則．???∴可?。? 由(II)知平面CDM的法向量可取， ∴．?∴所求二面角的余弦值為－．????……6分 法二：（Ⅰ）方法同上? ????????????????????????????? （Ⅱ）取的中點(diǎn)，連接，由（Ⅰ）知，在菱形中，由于， 則，又，則，即， 又在中，中位線，，則， 則四邊形為，所以，在中，， 則，故而， 則 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，則為二面角的平面角， 在中，易得，， 故，所求二面角的余弦值為 例4、如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)在線段上. （Ⅰ）求異面直線與所成的角； （Ⅱ）若二面角的大小為，求點(diǎn)到平面的距離. 解析：本題涉及立體幾何線面關(guān)系的有關(guān)知識(shí),?本題實(shí)質(zhì)上求角度和距離,在求此類問(wèn)題中，要將這些量歸結(jié)到三角形中,最好是直角三角形,這樣有利于問(wèn)題的解決，此外用向量也是一種比較好的方法. 答案：解法一：（Ⅰ）連結(jié)。由已知，是正方形，有。 ∵平面，∴是在平面內(nèi)的射影。 根據(jù)三垂線定理，得，則異面直線與所成的角為。 作，垂足為，連結(jié)，則 所以為二面角的平面角，. 于是 易得，所以，又，所以。 設(shè)點(diǎn)到平面的距離為. ∵即， ∴，即，∴. 故點(diǎn)到平面的距離為。 解法二：分別以為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系. （Ⅰ）由，得 設(shè)，又，則。 ∵∴ 則異面直線與所成的角為。 （Ⅱ）為面的法向量，設(shè)為面的法向量，則 ∴.???????????????????????? ① 由，得，則，即 ∴??????????????????????????? ② 由①、②，可取 又，所以點(diǎn)到平面的距離 。 例5、如圖所示：邊長(zhǎng)為2的正方形ABFC和高為2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且DE=，ED//AF且∠DAF=90°。 ???（1）求BD和面BEF所成的角的余弦； ? ???（2）線段EF上是否存在點(diǎn)P使過(guò)P、A、C三點(diǎn)的平面和直線DB垂直，若存在，求EP與PF的比值；若不存在，說(shuō)明理由。 解析：1.先假設(shè)存在，再去推理，下結(jié)論：?2.運(yùn)用推理證明計(jì)算得出結(jié)論，或先利用條件特例得出結(jié)論，然后再根據(jù)條件給出證明或計(jì)算。 答案：（1）因?yàn)锳C、AD、AB兩兩垂直，建立如圖坐標(biāo)系， 則B（2，0，0），D（0，0，2）， E（1，1，2），F(xiàn)（2，2，0）， 則 設(shè)平面BEF的法向量 ，則可取， ∴向量所成角的余弦為 。 即BD和面BEF所成的角的余弦。 ???（2）假設(shè)線段EF上存在點(diǎn)P使過(guò)P、A、C三點(diǎn)的平面和直線DB垂直，不妨設(shè)EP與PF的比值為m，則P點(diǎn)坐標(biāo)為 則向量，向量 所以。 ?點(diǎn)評(píng)：本題考查了線線關(guān)系，線面關(guān)系及其相關(guān)計(jì)算，本題采用探索式、開(kāi)放式設(shè)問(wèn)方式，對(duì)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)解題提出了較高要求。 例6、