普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學5(人民教育出版社B版).doc

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普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學5（人民教育出版社B版） 第二章 數(shù)列 陳愛華(北京市育英學校) 一、新課標解讀 數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學模型。在本模塊中，學生將通過對日常生活中大量實際問題的分析，建立等差數(shù)列和等比數(shù)列這兩種數(shù)列模型，探索并掌握它們的一些基本數(shù)量關系，感受這兩種數(shù)列模型的廣泛應用，并利用它們解決一些實際問題。 內(nèi)容與要求 （1）數(shù)列的概念和簡單表示法通過日常生活中的實例，了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖像、通項公式），了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)。 （2）等差數(shù)列、等比數(shù)列 ①通過實例，理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念。 ②探索并掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前n項和的公式。 ③能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關系或等比關系，并能用有關知識解決相應的問題。 ④體會等差數(shù)列、等比數(shù)列與一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的關系。 解讀 （1）教學中，教師應引導學生通過日常生活中的實例，了解數(shù)列的概念和幾種表示方法，揭示數(shù)列是一類特殊函數(shù)的本質(zhì)屬性，是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學模型之一。重視通過具體實例（如教育貸款、購房貸款、人口增長等）使學生理解等差等比數(shù)列模型的作用，培養(yǎng)學生從實際問題中抽象出數(shù)列模型的能力。 （2）新課標要求在數(shù)列的教學中，應保證基本技能的訓練，引導學生通過必要的練習，掌握數(shù)列中各量之間的關系，但訓練要控制難度和復雜程度。這體現(xiàn)了《課程標準》在內(nèi)容處理上的一個原則：刪減繁瑣的計算、人為技巧化難題和過分強調(diào)細枝末節(jié)的內(nèi)容。 （3）要學生掌握并能應用等差等比數(shù)列有關公式解題，還在能力上要求學生會用歸納、疊加、疊乘、倒序相加、錯位相減等方法解決數(shù)列綜合問題 （4）新課標要求教學上要注重數(shù)列的實際應用，關注學生對數(shù)列模型本質(zhì)的理解，以及培養(yǎng)運用數(shù)列模型解決實際應用問題的能力 二、地位與作用 數(shù)列是高中數(shù)學的重要內(nèi)容之一，其地位作用體現(xiàn)在以下四個方面： （1）數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，它既與函數(shù)等知識有密切的聯(lián)系，又豐富了函數(shù)的內(nèi)容。同時數(shù)列知識還蘊含了豐富的數(shù)學思想和方法，如函數(shù)思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、等價轉(zhuǎn)化思想、整體思想等。 （2）數(shù)列內(nèi)容的教學突出學生的邏輯思維能力、運算能力、解決實際問題能力的培養(yǎng)。學習數(shù)列要經(jīng)常觀察、比較、分析、概括，還要運用歸納、演繹進行推理，解決與生產(chǎn)生活有關的數(shù)學問題，同時要求學生正確的運用公式進行運算、處理數(shù)據(jù)。 （3）數(shù)列知識是承前啟后的內(nèi)容，以前學過的數(shù)、式、方程、簡易邏輯、函數(shù)等知識都能在本章得到充分應用，數(shù)列與函數(shù)、三角、不等式、數(shù)學歸納法、解析幾何、立體幾何等有廣泛的聯(lián)系，有很強的綜合性，是高中代數(shù)中培養(yǎng)學生綜合能力的好素材。 （4）數(shù)列有著廣泛的實際應用，是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學模型。數(shù)列知識，特別是等差數(shù)列、等比數(shù)列等知識結(jié)合社會實際需要解決了眾多實際應用問題，如銀行利息的計算、產(chǎn)品規(guī)格的設計、堆放物品的數(shù)量計算、人口增長、細胞分裂等。對于數(shù)列的學習，有助于培養(yǎng)學生的建模能力，發(fā)展應用意識。 三、教學目標 （1）了解數(shù)列的概念，掌握數(shù)列的幾種表示法，了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，能根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出簡單數(shù)列的通項公式。能根據(jù)項數(shù)多少、數(shù)列的性質(zhì)對數(shù)列進行分類。 （2）理解等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念，會用定義判斷已知數(shù)列是否是等差數(shù)列或等比數(shù)列，會求兩個已知數(shù)的等差中項和等比中項。 （3）掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，前項和公式，并能應用公式解決相關的問題。 （4）能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關系或等比關系，并能構(gòu)建等差數(shù)列或等比數(shù)列模型解決相應的實際問題。 （5）體會等差數(shù)列、等比數(shù)列與一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的關系。 （6）培養(yǎng)數(shù)學思維能力，優(yōu)化思維品質(zhì)，學會觀察、類比、歸納、猜想等思維方式，提高運算和論證能力，養(yǎng)成既能大膽猜想，又能嚴格證明的科學作風。 四、重點與難點 本章的重點是數(shù)列的概念，等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前項和公式。 本章的難點是等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前項和公式的推導及它們的綜合應用。 五、教學內(nèi)容及課時安排（約13課時） 21 數(shù)列 2課時 211數(shù)列的基本概念 212數(shù)列的遞推公式（選學） 22等差數(shù)列 221 等差數(shù)列 2課時 概念及等差中項 通項公式應用 222 等差數(shù)列的前n項和 2課時 公式推導及應用 歸納與倒序相加法應用 23等比數(shù)列 231 等比數(shù)列 2課時 概念及等比中項 通項公式 232 等比數(shù)列的前n項和 2課時 公式推導及應用 構(gòu)造與錯位相減法應用 小結(jié)與復習 3課時 概念及性質(zhì)應用 數(shù)列的通項、數(shù)列求和綜合應用 六、教學建議 1. 發(fā)展學生的數(shù)學應用意識 （1）概念課的教學中，設置直觀、生動的實際背景，使學生通過日常生活中的實例歸納出數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念讓學生體會到數(shù)學就在身邊。 （2）除了讓學生體會到數(shù)學知識來源于客觀世界，還應該讓學生感受到數(shù)學是解決實際問題的重要工具，發(fā)展學生的數(shù)學應用意識。（例貸款、儲蓄等問題） 2 發(fā)展學生的數(shù)學能力 數(shù)列一章的思維過程主要是：直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、抽象概括、運算求解、演繹證明等。這有助于學生對客觀事物中蘊涵的數(shù)學對象進行思考和作出判斷，提高數(shù)學思維能力，提高學生的建模能力。在教學中注重培養(yǎng)學生歸納——猜想——證明的思維模式解決問題。 給學生留出足夠的自主探索，獨立思考的空間。教材在頁邊處編排了一些帶有“？”的邊框，提出了值得學生思考的問題，讓學生能夠用好教材，自我發(fā)展。 3 注重方法的教學與落實，把握好難度 等差數(shù)列的通項公式是通過歸納法或疊加法得到的，前n項和公式是通過倒序相加的辦法求出來的；等比數(shù)列的通項公式是通過歸納法或疊乘法得到的，前n項和公式是通過構(gòu)造方程法或錯位相減法而得到的能力上要求學生會用歸納、疊加、疊乘、倒序加、錯位減等技巧解決數(shù)列綜合問題 在教學中，注意例題的選取，應致力于打好基礎并進行初步的綜合訓練，把握好難度，不要過早地進行針對“高考” 的綜合性訓練，從而影響了基本內(nèi)容的學習和加重學生負擔。例如在學習數(shù)列的遞推公式時，不要去搞涉及遞推公式變形的論證、計算問題，只要會根據(jù)遞推公式求出數(shù)列的前幾項就行了；在研究數(shù)列求和問題時，不要涉及過多的技巧 4加強數(shù)列內(nèi)容與函數(shù)的聯(lián)系 ????（1）數(shù)列的本質(zhì)是函數(shù)，數(shù)列是一種定義域為正整數(shù)集(或它的前n個數(shù)組成的有限子集)的函數(shù) 在教學中強調(diào)數(shù)列的項是按一定順序排列的，“次序”便是函數(shù)的自變量，相同的數(shù)組成的數(shù)列，次序不同則就是不同的數(shù)列．函數(shù)表示法有列表法、圖象法、解析式法，類似地，數(shù)列就有列舉法、圖示法、通項公式法．由于數(shù)列的自變量為正整數(shù)，于是就有可能相鄰的兩項（或幾項）有關系，從而數(shù)列就有其特殊的表示法——遞推公式法． ????（2）等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的聯(lián)系 從等差數(shù)列的通項公式可以知道，公差不為零的等差數(shù)列的每一項a是關于項數(shù)n的一次函數(shù)式于是可以利用一次函數(shù)的性質(zhì)來認識等差數(shù)列 首項為、公差為d的等差數(shù)列前n項和的公式可以寫為， ????即當時，是n的二次函數(shù)式，于是可以運用二次函數(shù)的觀點和方法來認識求等差數(shù)列前n項和的問題 ????（3）等比數(shù)列與指數(shù)型函數(shù)的聯(lián)系 ????由于首項為、公比為q的等比數(shù)列的通項公式可以寫成， 它的前項和公式為 ，它與指數(shù)函數(shù)y=有著密切聯(lián)系，從而可利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來研究等比數(shù)列 5 注意等差數(shù)列與等比數(shù)列的對比，突出兩類數(shù)列的基本特征 ????等差數(shù)列與等比數(shù)列在內(nèi)容上是完全平行的，包括：定義、性質(zhì)、通項公式、前n項和的公式、兩個數(shù)的等差(等比)中項因此在教學與復習時可采用對比方法，以便于弄清它們之間的聯(lián)系與區(qū)別。 6.建議在2.1節(jié)數(shù)列的概念教學中補充數(shù)列前項和的概念 每個數(shù)列都有前項和問題，所以在2.1節(jié)數(shù)列的概念課中應補充前項和的概念，用表示的問題是重點問題，可先提出一個具體問題讓學生分析與的關系，再由特殊到一般，研究其一般規(guī)律，并給出嚴格的推理證明（強調(diào)的表達式是分段的）；之后再到特殊問題的解決，舉例時要兼顧結(jié)果可合并及不可合并的情況．