常微分方程考研講義

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第一章 緒論 [教學(xué)目標(biāo) ] 1． 理解常微分方程及其解的概念，能判別方程的階數(shù)、線性與非線性。 2． 掌握將實際問題建立成常微分方程模型的一般步驟。 3． 理解積分曲線和方向場的概念。 [教學(xué)重難點 ] 重點微分方程 的基本概念 ，難點是積分曲線和方向場。 [教學(xué)方法 ] 講授，實踐。 [教學(xué)時間 ] 4 學(xué)時 [教學(xué)內(nèi)容 ] 常微分方程（偏微分方程）的概念，微分方程的階，隱式方程，顯式方程，線性（非線性）常微分方程；常微分方程的通解，特解，隱式解，初值問題，定解問題，積分曲線和方向場； 建立 常微分方程 模型 的具體方法。 [考核目標(biāo) ] 常微 分方程及其解的概念，會建立常微分方程模型。 § 1 微分方程模型 1、 微分方程的產(chǎn)生和發(fā)展 常微分方程有著深刻而生動的實際背景，它從生產(chǎn)實踐與科學(xué)技術(shù)中產(chǎn) 生，又成為現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)分析問題與解決問題的強有力工具。 該課程是與微積分一起成長起來的學(xué)科， 是 學(xué)習(xí)泛函分析、數(shù)理方程、微分幾何的必要準(zhǔn)備，本身也在工程力學(xué)、流體力學(xué)、天體力學(xué)、電路振蕩分析、工業(yè)自動控制以及化學(xué)、生物、經(jīng)濟等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。 300 多年前， 定微積分基本思想的同時 ,就正式提出了微分方程的概念 . 17 世紀(jì)末到 18 世紀(jì)，常微分方程研究的中心問題是如何求出通解的表達式 . 19 世紀(jì)末到 20 世紀(jì)處 ,主要研究解的定性理論與穩(wěn)定性問題 . 20 世紀(jì)進入新的階段 ,定性上升到理論 ,進一步發(fā)展分為解析法、幾何方法、數(shù)值方法 . 解析方法 :是把微分方程的解看作是依靠這個方程來定義的自變量的函數(shù) . 幾何方法 :(或定性方法 )把微分方程的解看作是充滿平面或空間或其局部的曲線族 . 數(shù)值方法 :求微分方程滿足一定初始條件 (或邊界 )條件的解的近似值的各種方法 . 微分方程差不多是和微積分同時先后產(chǎn)生的，蘇格蘭數(shù)學(xué)家耐普爾創(chuàng)立對數(shù)的時候，就討 論過微分方程的近似解。 牛頓 在建立微積分的同時，對簡單的微分方程用級數(shù)來求解。后來瑞士數(shù)學(xué)家雅各布 · 貝努利、 歐拉 、法國數(shù)學(xué)家 克雷洛、 達朗貝爾 、 拉格朗日 等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論。 常微分方程的形成與發(fā)展是 和力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)，以及其他科學(xué)技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān)的。數(shù)學(xué)的其他分支的新發(fā)展，如復(fù)變函數(shù)、李群、組合拓?fù)鋵W(xué)等，都對常微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，當(dāng)前計算機的發(fā)展更是為常微分方程的應(yīng)用及理論研究提供了非常有力的工具。 牛頓研究天體力學(xué)和機械力學(xué)的時候，利用了微分方程這個工具，從理論上得到了行星運動規(guī)律。后來，法國天文學(xué)家勒維烈和英國天文學(xué)家亞當(dāng)斯使用微分方程各自計算出那時尚未發(fā)現(xiàn)的海王星的位置。這些都使數(shù)學(xué)家更加深信微分方程在認(rèn)識自然、改造自然方面的巨大力量。 微分方程的理論逐步完善的時候，利 用它就可以精確地表述事物變化所遵循的基本規(guī)律，只要列出相應(yīng)的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的數(shù)學(xué)分支。 2、 微分方程模型 微分方程是 數(shù)學(xué)聯(lián)系實際問題的重要渠道之一 ,將實際問題建立成微分方程模型最初并不是數(shù)學(xué)家做的 ,而是由化學(xué)家、生物學(xué)家和社會學(xué)家完成的。 例 1 物體冷卻過程的數(shù)學(xué)模型 將某物體放置于空氣中，在時刻 0t? 時，測得 它的溫度 為0 150u ?℃ ， 10 分鐘后 測得溫度為1 100u ?℃ 并計算 20 分鐘后物體的溫度 ℃ . 解 設(shè)物體在 時刻 t 的溫度為 ()u u t? ,由牛頓 (卻定律可得 ( ) ( 0 , )k u u k u ? ? ? ?(這是關(guān)于未知函數(shù) u 的一階微分方程 ,利用微積分的知識將 (為 k d ?? (兩邊積分 ,得到 l n ( ) au u k t c c? ? ? ?為任意常數(shù) 令 ,進而 u ?( 根據(jù)初始條件 , 當(dāng) 0t? 時 , 0 得常數(shù)0 ac u u??于是 0()u u u e ?? ? ?(再根據(jù)條件 10t? 分鐘時 ,1得到 1010() u u u e ?? ? ?011 ? 將011 5 0 , 1 0 0 , 2 4au u u? ? ?代入上式 ,得到 1 1 5 0 2 4 1l n l n 1 . 6 6 0 . 0 5 11 0 1 0 0 2 4 1 0k ?? ? ??從而 , 0 12 4 1 2 6 ? ( 由方程 (知 ,當(dāng) 20t? 分鐘時 ,物體的溫度2 70u ?℃ ,而且 當(dāng) t??? 時 , 24u? ℃ . 溫度與時間的關(guān)系也可通過圖形表示出來 可解釋為：經(jīng)過一段時間后，物體的溫度和空氣的溫度將會沒有什么差別了 過 2 小時后，物體的溫度已變?yōu)?24℃ ，與空氣的溫度已相當(dāng)接近 實際問題的信息 數(shù)學(xué)模型 抽象 、簡化 數(shù)學(xué)模型解 答答 求解 實際問題 驗證 解釋 例 2 動力學(xué)問題 物體由高空下落 ,除受重力作用外 ,還受到空氣阻力的作用 ,空氣的阻力可看作與速度的平方成正比 ,試確定物體 下落過程所滿足的關(guān)系式 . 解 設(shè)物體質(zhì)量為 m ，空氣阻力系數(shù)為 k ，又設(shè)在時刻 t 物體的下落速度為 v ,于是在時刻 t 物體所受的合外力為 2F m g ,建立坐標(biāo)系 ,取向下方向為正方向 ,根據(jù)牛頓第二定律得到關(guān)系式 2m g k ?(而且 , 滿足初始條件 0t? 時 , 0v? (例 3 電力學(xué)問題 在 如圖 (示 的 R L C?? 電路 ,它包 括 電感 L 、 電阻 R 和電容 C 、 L 、 C 均為常數(shù) ,電源()時間 t 的已知函數(shù) ,建立 當(dāng)開關(guān) K 合上后 ,電流 I 應(yīng)滿足的微分方程 . 解 經(jīng)過電感 L 、電阻 R 和電容 C 的電壓降分別為： 中 Q 為電量，由基爾霍夫第二定律得到 () d I Qe t L R Id t C? ? ?（ 因為 于是有 221 ( )d I R d I I d e td t L d t L C L d t? ? ? （ 這就是電流 I 應(yīng)滿足的微分方程 )常熟，得到 22 0d I R d I Id t L d t L C? ? ? （ 如果又有 0R? ，則得到 22 0d I Id t L C?? （ 例 4 人口模型 英國人口統(tǒng)計學(xué)家馬爾薩斯（ 1798 年提出了聞名于世的 口模型的基本假設(shè)是：在人口自然增長的過程中，凈相對增長率（單位時間內(nèi)人口的凈增長數(shù)與人口總數(shù)之比）是常數(shù)，記此常數(shù)為 r （生命系數(shù)） . 在 t 到 這段時間內(nèi)人口數(shù)量 ()N N t? 的增長量為 ( ) ( ) ( )N t t N t r N t t? ? ? ? ?（ ( ) ( )1,()N t t N t? ? ?? ? ?） 于是 ()足微分方程 dN 將上式改寫為 dN 于是變量 N 和 t 被“分離”，兩邊積分得 rt c?? （ 其中 為任意常數(shù) .（因為 0N? 也是方程（ 解 . 如果設(shè)初始條件為 0 ,0()N t N?（ 代入上式可得00 e??， 足初值條件（ 解為 0()0() r t tN t N e ??（ 如果 0r? ，上式說明人口總數(shù) ()按指數(shù)規(guī)律無限增長 t 以 1 年或 10 年離散化，那么可以說，人口數(shù)是以 公比的等比數(shù)列增加的 . 當(dāng)人口總數(shù)不大時，生存空間、資源等極充裕，人口總數(shù)指數(shù)的增長是可能的 數(shù)增長的線性模型則不能反映這樣一個事實；環(huán)境所提供的條件只能供養(yǎng)一定數(shù)量的人口生活，所以型在 ()大時是不合理的 . 荷蘭生物學(xué)家 入常數(shù)境最大容納量）表示自然資源和環(huán)境條件所容納的最大人口數(shù)，并假設(shè)凈相對增長率為 ()1?????，即凈相對增長率隨 ()增加而減少，當(dāng) ()mN t N?時，凈增長率 0? . 按 此假定，人口增長的方程應(yīng)改為 1 t N????????（ 這就是 型 相比很大時， 2比可以忽略，則模型變?yōu)?型；但 相比不是很大時， 2口增長的速度要緩慢下來 型 些人口學(xué)家估計人口自然增長率為 r ? 而統(tǒng)計得世界人口在 1960 年為 ，增長率為 由 型 .（ 有 82 9 . 8 1 00 . 0 1 8 5 0 . 0 2 9 1?? ? ?????，可得 8 2 0?，即世界人口容量 ，以（ 右端為二項多項式，以2為頂點，當(dāng)2人口增長率增加；當(dāng)2人口增長率減少，即人口增長到 84 1 1 02?時增長率將逐漸減少 紀(jì) 70 年代為 40 億左右時增長率最大的統(tǒng)計結(jié)果相符 . 小結(jié)：從以上的討論可以看出，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型這一事實，這正是許多應(yīng)用數(shù)學(xué)工作者和工程應(yīng)用模擬方法解決物理或工程問題的理論根據(jù) 其實在自然科學(xué)和技術(shù)科學(xué)的其它領(lǐng)域中，都提出了大量的微分方程問題 會的生產(chǎn)實踐是微分方程理論取之不盡的基本源泉 微分方程與數(shù)學(xué)的其它分支的關(guān)系也是非常密切的，它們往往互相聯(lián)系、互相促進 何學(xué)就是常微分方程理論的豐富的源泉之一和有力工具 . 考慮到常微分方程是一門與實際聯(lián)系比較密切的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，我們自 然應(yīng)該注意它的實際背景與應(yīng)用； 們又應(yīng)該把重點放在應(yīng)用數(shù)學(xué)方法研究微分方程本身的問題上 學(xué)習(xí)中，不應(yīng)該忽視課程中所列舉的實際例子以及有關(guān)的習(xí)題，并從中注意培養(yǎng)解決實際問題的初步能力 照課程的要求，我們要把主要精力集中到弄清常微分方程的一些基本理論和掌握各種類型方程的求解方法這兩方面來，這是本課程的重點，也是我們解決實際問題的必要工具 1）建立方程 ;（ 2）求解方程 ;（ 3）分析問題 對所研究問題，根據(jù)已知定律公式以及某些等量關(guān)系列出微 分方程和相應(yīng)的初始條件 么未知量間的關(guān)系便找到了 § 2 基本概念 1、 常微分方程和偏微分方程 微分方程：將自變量、未知函數(shù)以及它 的導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來的關(guān)系式 . 常微分方程： 只含一個自變量的微分方程 . 偏微分方程：自變量的個數(shù)為兩個或兩個以上的微分方程 . 方程 22 ()d y d yb c y f td t d t? ? ? （ 2 0d y d t d t??? ? ?????（ 22 s i n 0d y g yd t l?? （ 是常微分 方程的例子， y 是未知函數(shù)， 僅含一個自變量 t . 方程 2222 2 2 0y z???? ? ?? ? ?（ 224?（ 是偏微分方程的例子， T 是未知函數(shù)， , , ,x y z t 是自變量 . 微分方程的階數(shù)：微分方程中出現(xiàn)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù) . 例如 ，方程（ （ 二階的常微分方程，而方程（ （ 二階的偏微分方程 . 一般的 n 階微分方程具有形式 ( , , , , ) 0y d yF x y d x d x ? （ 這里 ( , , , , )y d yF x y d x d x是 x 、 y 、 ?、 已知函數(shù)，而且一定含有 x 是自變量 . 2、線性和非線性 如果微分方程對于未知函數(shù)及它的各階導(dǎo)數(shù)的有理整式的整體而言是一次的，稱為線性微分方程，否則是非線性微分方程 22d y d t d t?? （ 是非線性微分方程 ，而（ 一個二階的線性微分方程 . 一般的 n 階線性微分方程具有形式 1111( ) ( ) ( ) ( )y d y d ya x a x a x y f xd x d x d x???? ? ? ? ?（ 這里12( ) , ( ) , , ( ) , ( )na x a x a x f x是 x 的已知函數(shù) . 3、解和隱式解 微分方程的解：滿足微分方程的函數(shù)稱為微分方程的解 ) 代入式 （ 中 ，使其成為恒等式，稱 () 為 方程（ 的解 . 例如容易驗證 是方程 2 22 0dy ??的解 如果關(guān)系式 ( , ) 0決定的 隱函數(shù) () 為方程 （ 解 ，稱 ( , ) 0是方程 （ 的隱式解 階微分方程 dy y??有解 21 和 21? ? ；而關(guān)系式 221 是方程的隱式解 . 4、通解和特解 通解：具有 n 個獨立的任意常數(shù)12, , , nc c , , , , )ny x c c c??稱為方程 （ 通解 . 注：所謂函數(shù)12( , , , , )ny x c c c??含有 n 個獨立常數(shù)，是指存在12( , , , , )nx c c 得行列式 1212( 1 ) ( 1 ) ( 1 )120n c cc c cc c c? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?其中 () ?? ? . 特解： 方程滿足 特 定條件的解 . 定解問題：求方程滿足定解條件的求解問題 件，相應(yīng)的定解問題分為初值問題和邊值問題 . 一般地， 初 值問題為 ()( 1 ) ( 1 ) ( 1 )0 0 0 0 0 0( , , , , ) 0( ) , ( ) , , ( )x y y yy x y y x y y x y???? ????? ? ???特解可以通過初始條件限制，從通解中確定任意常數(shù)而得到 ,如例 1 中，含有一個任意常數(shù) c 的解 u ?就是一階方程（ 通解；而 0()u u u e ?? ? ?就是滿足初始條件 00,t u u??的特解 . 5、積分曲線和方向場 一階微分方程 ( , )dy f x （ 的解 () 是 面上的一條曲線，將它稱為微分方程的積分曲線 ；而 方程 （ 的通解 ( , )y x c?? 對應(yīng)于 面上的一族曲線，稱為方程的 積分曲線族 ；滿足初始條件00()y x y?的特解就是通過點00( , ) 方程（ 積分曲線上每一點 ( , )切線斜率 , )f x y 在這點的值，也就是說，積分曲線的每一點 ( , )這點上的切線斜率 反之，如果一條曲線 上 每點 的 切線斜 率剛好等于函數(shù) ( , )f x y 在這點的值，則這一條曲線就是方程（ 積分曲線 . 設(shè)函數(shù) ( , )f x y 的定義域為 D ，在 D 內(nèi)每一點 ( , ) ，畫上一小線段，使其斜率 恰好 為 ( , )f x y ，將這種帶有小線段的區(qū)域 D 稱為由方程 （ 所規(guī)定的方向場 . 在方向場中，方向相同的點的幾何軌跡稱為等斜線 的等斜線方程為 ( , )f x y k? （ 例 5 2dy 積分曲線族是 2y x c??， 20?，即 0x? 是極值線， 2 ( 0 , 1 , )y x k k? ? ? ? ?是等斜線 . 例 6（習(xí)題 7）微分方程 2 2 2 34'x y y x y??，證明其積分曲線關(guān)于坐標(biāo)原點 (0,0) 成中心對稱的曲線，也是微分方程的積分曲線 . 證 設(shè) : ( ) , [ , ]L y f x x a b??是微分方程的一條積分曲線，則滿足 2 2 2 34 [ '( ) ] ( ) ( ) , [ , ]x f x f x x f x x a b? ? ? (而 L 關(guān)于 (0,0) 成中心對稱曲線 ' : ( ) ( ) , [ , ] , [ , ]L y f x F x x b a x a b? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以有 '( ) '( )F x f x??, [ , ]x b a? ? ? 當(dāng) [ , ]x b a? ? ? , [ , ]x a b?? ,由 (可知 2 2 2 34 ( ) [ '( ) ] ( ) ( )x f x f x x f x? ? ? ? ? ? ? 即 2 2 2 34 [ '( ) ] ( ) ( )x F x F x x F x?? 所以 () ()并且相對于 L 關(guān)于原點 (0,0) 成中心對稱曲線 . 第二章、 一階微分方程的初等解法 [教學(xué)目標(biāo) ] 1. 理解變量分離方程以及可化為變量分離方程的類型（齊次方程），熟練掌握變量分離方程的解法。 2. 理解一階線性微分方程的類型，熟練掌握常數(shù)變易法及伯努力方程的求解。 3. 理解恰當(dāng)方程的類 型，掌握恰當(dāng)方程的解法及簡單積分因子的求法。 4. 理解一階隱式方程的可積類型，掌握隱式方程的參數(shù)解法。 [教學(xué)重難點 ] 重點是一階微分方程的各類初等解法 ，難點是積分因子的求法以及隱式方程的解法。 [教學(xué)方法 ] 講授，實踐。 [教學(xué)時間 ] 14 學(xué)時 [教學(xué)內(nèi)容 ] 變量分離方程，齊次方程以及可化為變量分離方程類型，一階線性微分方程及其常數(shù)變易法，伯努利方程，恰當(dāng)方程及其積分因子法，隱式方程。 [考核目標(biāo) ] 變量分離 法、一階線性微分方程的 常數(shù)變易法 、 恰當(dāng)方程與 積分因子法 、 一階隱方程 的參數(shù)解法 。 § 1 變量分離方程與變量變換 1、 變量 分離方程 1) 變量分離方程 形如 ( ) ( )dy f x g (或1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0M x N y d x M x N y d y??) （ 的方程，稱為 變量分離方程 ，其中函數(shù) ()) 2) 求解方法 如果 ( ) 0，方程 (化為， ()()dy f x d 這樣變量就分離開了 ,兩邊積分 ,得到 ()()dy f x d x ???（ 把 , ( )()dy f x d 分別理解為 1 , ( )()某一個原函數(shù) . 容易驗證由（ 確定的隱函數(shù) ( , )y x c?? 滿足方程（ （ 通解 . 如果存在0) 0可知0是（ 解 ，必須予以補上 . 3) 例題 例 1 求解方 程 dy y??解 將變量分離，得到 兩邊積分，即得 222 2 2y x c? ? ?因而，通解為 22x y c?? 這里的 c 是 任意的正常數(shù) . 或解出顯式形式 2y c x? ? ? 例 2 解方程 2 并求滿足初始條件：當(dāng) 0x? 時 . 1y? 的特解 . 解 將變量分離，得到 2 兩邊積分，即得 1 s in ? ?因而，通解為 1 ?這里的 c 是任意的常數(shù) 程還有解 0y? . 為確定所求的特解，以 0x? . 1y? 代入通解中確定常數(shù) c ，得到 1c?? 因而，所求的特解為 11 x? ?例 3 求方程 () x 的通解，其中 ()x 的連續(xù)函數(shù) . 解 將變量分離，得到 () x 兩邊積分，即得 l n ( )y P x d x c??? 這里的 c 是任意常數(shù) 有 ()P x dx ?? 即 ()P x d e e ??? 令 ，得到 ()P x （ 此外， 0y? 也是 （ 解 允許 0c? ，則 0y? 也就包括在（ ，因而，（ 通解為（ 其中 c 是任意常數(shù) . 注 : c 的選取保證 (有意義 . 有些通解包含了方程的所有解，有些通解不能包含方程的所有解 應(yīng)求出不含在通解中的 其它解 , 即將遺漏的解要彌補上 . 特解表示的是滿足特定條件00()y x y?的一個解，表示的是一條過點00( , ) 2、可化為變量分離方程的類型 1） dy x??? ????（ 的方程，稱為齊次方程，這 里的 () u 的連續(xù)函數(shù) . 另外 ,ⅰ )對于方程 ( , )( , )d y M x yd x N x y?其中函數(shù) ( , )M x y 和 ( , )N x y 都是 x 和 y 的 m 次齊次函數(shù)，即對 0t? 有 ( , ) ( , )mM t x t y t M x y? ( , ) ( , )mN t x t y t N x y? 事實上，取 1則方程可改寫成形如 (方程 . ( 1 , ) ( 1 , )( 1 , ) ( 1 , ) x N ⅱ )對 方程 ( , )dy f x 其中右端 函數(shù) ( , )f x y 是 x 和 y 的零次齊次函數(shù)，即對 0t? 有 ( , ) ( , )f t x t y f x y? 則方程也可改寫成形如 (方程 (1, )dy x? 對齊次方程（ 用變量替換可化為變量分離方程再求解 . 令 即 y ，于是 dy （ 將（ （ 入（ 則原方程變?yōu)? ()u g ?整理后，得到 ()d u g u ud x x ??（ 方程（ 一個可分離變量方程，按照變量分離法求解，然后將所求的解代回原變量，所得的解便是原方程（ 解 . 例 4 求解方程 d y y x x x??解 這是齊次方程，以 ,y d y d uu x ux d x d x? ? ?代入，則原方程變?yōu)? u u t g ? ?即 du x?（ 分離變量，即有 邊積分， 得到 ln s i n x c?? 這里的 c 是任意的常數(shù)，整理后，得到 （ 此外，方程（ 有解 0,即 u? . 如果（ 允許 0c? ，則 u ? 就包含在（ ，這就是說，方程（ 通解為（ . 代回原來的變量，得到原方程的通解為 y 例 5 求解方程 2 ( 0 ) x y y ? ?解 將方程改寫為 2 ( 0 )d y y y xd x x x? ? ?這是齊次方程，以 ,y d y d uu x ux d x d x? ? ?代入，則原方程變?yōu)? 2 分離變量，得到 2du 兩邊積分，得到（ 通解 )u x c? ? ? 即 2[ l n ( ) ] ( l n ( ) 0 )u x c x c? ? ? ? ? ? (這里的 c 是任意常數(shù) 有解 0u? 注意，此解不包括在通解（ . 代回原來的變量，即得原方程的通解 2[ l n ( ) ] ( l n ( ) 0 )y x x c x c? ? ? ? ? ?及解 0y? . 原方程的通解還可表為 2[ l n ( ) ] , l n ( ) 0 ,0,x x c x ? ? ? ? ?? ??它定義于整個負(fù)半軸上 . 注： dy x??? ????的求解方法關(guān)鍵的一步是令 ，解出 y ，再對兩邊求 關(guān)于 x 的導(dǎo)數(shù)得 dy ，再將其代入齊次方程使方程變?yōu)殛P(guān)于 , 化為變量分離方程 x ，再對兩邊求關(guān)于 y 的導(dǎo)數(shù)得d x d y d y?? ，將其代入齊次方程 dx y??? ????使方程變?yōu)?,小結(jié)：這一講我們主要講解了一階微分方程的可分離變量法和齊次方程的 dy x??? ????形狀的解法 而，一定要熟練掌握可分離方程的解法 . 2）形如 1 1 12 2 2a x b y x a x b y c??? （ 的方程經(jīng)變量變換化為變量分離方程，這里的1 2 1 2 1 2, , , , ,a a b b c 分三種情況來討論 （ 1）120情形 . 這時方程（ 齊次方程，有 1122a x b yd y x a x b y x? ???? ??? ??此時，令 即可化為變量可分離方程 . （ 2） 11220，即 1122的情形 . 設(shè)1122，則方程可寫成 2 2 1 222 2 2() ()k a x b y f a x b yd x a x b y c??? ? ? 令22a x b y u??，則方程化為 22()du a b f ?這是一變量分離方程 . （ 3） 1112220,ab 及 不全為零的情形 . 這時方程（ 端的分子、分母都是 ,此 1 1 12 2 200a x b y ca x b y c? ? ???? ? ??（ 代表 面上兩條相交的直線，設(shè)交點為 ( , )?? . 顯然， 0?? 或 0?? ，否則必有120，這正是情形（ 1）（只需進行坐標(biāo)平移，將坐標(biāo)原點 (0,0)移至 ( , )?? 就行了，若令 ???????（ 則（ 為 112200a X b b y???????從而（ 為 1122a X b a X b Y X? ???? ??? ??（ 因此，得到這種情形求解的一般步驟如下： (1)解聯(lián)立代數(shù)方程（ 設(shè)其解為 ,??； (2)作變換（ 方程化為齊次方程（ (3)再經(jīng)變換 （ 為變量分離方程； (4)求解上述變量分離方程，最后代回原變量可得原方程（ 解 . 上述解題的方法和步驟也適用于比方程（ 一般的方程類型 1 1 12 2 2a x b y fd x a x b y c????? ??????此外，諸如 ()dy f a x b y ?( ) ( ) 0y x y d x x g x y d y?? 2 ()f 2d y x x??? ????以及 ( , ) ( ) ( , ) ( ) 0M x y x d x y d y N x y x d y y d x? ? ? ? （其中 ,數(shù)可以不相同）等一些方程類型，均可通過適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q化為變量分離方程 . 例 6 求解方程 13d y x yd x x y??? ??（ 解 解方程組 1030? ???? ? ??得 1, 令 12?????代入方程（ 則有 Y?? ?（ 再令 Y 則（ 為 2112d X u u u?? ?? 兩邊積分，得 22l n l n 2 1X u u c? ? ? ? ? 因此 22( 2 1 ) cX u u e? ? ? ? 記1,并代回原變量，就得 2212Y X Y X c? ? ?1( 2 ) 2 ( 1 ) ( 2 ) ( 1 )y x y x c? ? ? ? ? ? ?此外，易驗證 2 2 1 0? ? 即 2220Y X Y X? ? ? 也就是（ 解 通解為 222 6 2y x y x y x c? ? ? ? ? 其中 c 為任意的常數(shù) . 3、 應(yīng)用舉例 例 7 電容器的充電和放電如圖（ 示的 電路，開始時電容 C 上沒有電荷，電容兩端的電壓為零 合上“ 1”后，電池 E 就對電容 C 充電，電容 C 兩端的電壓過相當(dāng)時間后，電容充電完畢，再把開關(guān) K 合上“ 2”，這時電容就開始放電過程，現(xiàn)在要求找出充、放電過程中，電容 C 兩端的電壓t 的變化規(guī)律 . 解 對于充電過程，由閉合回路的基爾霍夫第二定理， I E??（ 對于電容 C 充電時，電容上的電量 Q 逐漸增多，根據(jù)u?，得到 ()CC u Cd t d t d t? ? ?（ 將（ 入（ 得到c u ?（ 這里 R 、 C 、 E 都是常數(shù) 于變量分離方程 離變量，得到 R C??? 兩邊積分，得到 11u E t ? ? ?即 1 112 C R e e c e??? ? ? ?這里12 為任意常數(shù) . 將初始條件： 0t? 時， 0代入，得到2. 所 以 1(1 ) e ???（ 這就是 電路充電過程中電容 C 兩端的電壓的變化規(guī)律 道，電壓當(dāng) t??? 時，在電工學(xué)中，通常稱 為時間常數(shù)，當(dāng) 3t ?? 時， 就是說，經(jīng)過 3? 的時間后，電容 C 上的電壓已達到外加電壓的 95%常認(rèn)為這時電容 C 的充電過程已 基本結(jié)束 對于放電過程的討論，可以類似地進行 . 例 8 探照燈反射鏡面的形狀 在制造探照燈的反射鏡面時，總是要求將點光源射出的光線平行地射出去，以保證照燈有良好的方向性，試求反射鏡面的幾何形狀 . 解 取光源所在處為坐標(biāo)原點，而 x 軸平行于光的反射方向，設(shè)所求曲面由曲線 ()0y f ???（ 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成，則求反射鏡面的問題歸結(jié)為求 面上的曲線 ()y f x? 的問題 ,僅考慮 0y? 的部分 ,過曲線 ()y f x? 上任一點 ( , )M x y 作切線 則由光的反射定律：入射角等于反射角，容易推知 12???從而 N? 注意到 2d y M ?及 22,,O P x M P y O M x y? ? ? ? 就得到函數(shù) ()y f x? 所應(yīng)滿足的微分方程式 22d y x x y? ??（ 這是齊次方程 引入新變量 將它化為變量分離方程 對于方齊次方程（ 可以通過變換 化為變量分離方程也可由 x 得 d x d y d y??代入（ 到 2s g n 1y v y ? ? ? ?于是 2s g n 1d y d ?（ 積分（ 代回原來變量，經(jīng)化簡整理，最后得 2 ( 2 )y c c x?? （ 其中 c 為任意常數(shù) . （ 是所求的平面曲線，它是拋物線，因此，反射鏡面的形狀為旋轉(zhuǎn)拋物面 22 ( 2 )y z c c x? ? ? （ 小結(jié) : 本節(jié)我們主要討論了一階可分離微分方程和齊次微分方程的求解問題 § 2 線性方程 與常數(shù)變易法 1、一階線性微分方程 ( ) ( ) ( ) 0x b x y c ? ?在 ( ) 0的區(qū)間上可以寫成 ( ) ( ) x y Q ?（ 對于 () ) 0的相應(yīng)區(qū)間上討論 ), ( )P x Q x 在考慮的區(qū)間上是 x 的連續(xù)函數(shù) . 若 ( ) 0，（ 為 () x 稱為一階齊線性方程 . 若 ( ) 0，（ 為一階非齊線性方程 . 2、常數(shù)變易法 （ 變量分離方程，已在例 3 中求得它的通解為 ()P x （ 這里 c 是任意的常數(shù) . 下面討論一階非齊線性方程（ 求解方法 . 方程 (方程 (者既有聯(lián)系又有區(qū)別 ,設(shè)想它們的解也有一定的聯(lián)系 ,在 ( c 恒為常數(shù)時 ,它不可能是 (解 ,要使 (有形如 (解 , c 不再是常數(shù) ,將是 x 的待定函數(shù) ()為此令 ()() P x d xy c x e?? （ 兩邊微分，得到 ( ) ( )() ( ) ( )P x d x P x d xd y d c x e c x P x ed x d x ????（ 將（ （ 入（ 得到 ( ) ( ) ( )() ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P x d x P x d x P x d xd c x e c x P x e P x c x e Q ? ?? ? ?即 ()() () P x d xd c x Q x ??積分后得到 ()( ) ( ) P x d xc x Q x e d x c? ???? （ 這里 c 是任意的 常數(shù) .入（ 得到 ( ) ( )( ) ( ) ( )()= ( )P x d x P x d xP x d x P x d x P x d xy e Q x e d x cc e e Q x e d x????????????? ? ????（ 這就是方程（ 通解 . 這種將常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法，通常稱為常數(shù)變易法 通過變換（ 將方程（ 為變量分離方程 . 注 : 非齊線性方程的通解是它對應(yīng)的齊線性方程的通解與它的某個特解之和 . 例 1 求方程 1( 1 ) ( 1 )n y e ? ? ? ?的通解，這里的 n 為常數(shù) . 解 將方程改寫為 ( 1 )1 y n y e xd x x? ? ??（ 先求對應(yīng)的齊次方程 01d y n yd x x???的通解，得 ( 1)ny c x?? 令 ( )( 1) ny c x x?? （ 微分之，得到 () ( 1 ) ( 1 ) ( )nd y d c x x n x c xd x d x? ? ? ?（ 以（ （ 入（ 再積分，得 () xc x e c?? 將其代入公式（ 即得原方程的通解 ( 1 ) ( )x e c? ? ? 這里 c 是任意的常數(shù) . 例 2 求方程22dy x y? ? 的通解 . 解 原方程改寫為 2dx y??（ 把 x 看作未知函數(shù)， y 看作自變量，這樣，對于 x 及 程（ 是一個線性方程了 . 先求齊線性方程 2dx y?的通解為 2x （ 令 2()x c y y? ,于是 2() 2 ( )d x d c y y c y yd y d y??代入（ 得到 ( ) y y c? ? ? 從而，原方程的通解為 2 ( x y c y?? 這里 c 是任意的常數(shù) ,另外 0y? 也是方程的解 . 特別的，初值問題 00( ) ( )() x y Q x y? ????? ??的解為 0 0 00( ) ( ) ( )= ( )x x sx x xP d P d P c e e Q s e d s? ? ? ? ? ??? ? ?? ? 例 3 試 證 （ 1）一階非齊線性方程（ 任兩解之差必為相應(yīng)的齊線性方程（ 解； （ 2）若 ()y y x? 是（ 非零解，而 ()y y x? 是（ 解，則（ 通解可表為( ) ( )y c y x y x??，其中 c 為任意常數(shù) . （ 3）方程（ 一解的常數(shù)倍或兩解之和（或差）仍是方程（ 解 . 證 （ 1）設(shè)12,應(yīng)滿足方程使 1122( ) (1 )( ) ( 2 )dy p y Q p y Q ??（ 1） — （ 2）有 1212() ()d y y p y ??說明非齊線性方程任意兩個解的差12對應(yīng)的齊次線性方程的解 . （ 2）因為 ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( )d c y x y x d y x d y xc p c y p y Q x p c y y Q xd x d x d x? ? ? ? ? ? ? ? ? 故結(jié)論成立 . （ 3）因為 1 2 1 21 2 1 2( ) ( )() ( ) , ( ) , ( )d y y d y yd c y p c y p y y p y yd x d x d x??? ? ? ? ?故結(jié)論成立 . 3、 程 形如 ( ) ( ) x y Q x ?（ 0,1n? ） （ 的方程，稱為伯努利（ 方程，這里 ( ), ( )P x Q x 為 x 連續(xù)函數(shù) 事實上，對于 0y? ，用 乘（ 邊，得到 1 ( ) ( )y P x Q ??（ 引入變量變換 1 （ 從而 (1 ) nd z d x d x???（ 將（ 入（ 得到 ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( )dz n P x z n Q ? ? ?（ 這是線性方程，用上面介紹的方法求得它的通解，然后再代回原來的變量，便得到（ 通解 0n? 時，方程還有解 0y? . 例 4 求方程 26d y y x x??的通解 解 這是 2n? 時的伯努利方程，令 1 ,得 2dz ?代入原方程得到 6dz x x? ? ?這是線性方程，求得它的通解為 26 8x?? 代回原來的變量 y ，得到 2618或者 688?這是原方程的通解 . 此外，方程還有解 0y? . 例 5 求方程331x x y x y? ? 的解 解 將方程改寫為 33dx y x y ?這是一個自變量為 y ，因變量為 x 的伯努利方程 例 6 求方程23e x?? 的通解 這個方程只要做一個變換，令 ,u d yu e ed x d x??，原方程改寫為 22231d u x x x x?? 便是伯努利方程 . 小結(jié) ;這次主要討論了一 階線性微分方程的解法 即將非齊線性方程對應(yīng)的齊線性方程解的常數(shù)變易為待定函數(shù)，使其變易后的解函數(shù)代入非齊次線性方程，求出待定函數(shù) ()求出非齊次方程的解 解過程為，先變換，將原方程化為非齊線性方程，再求解 . § 3 恰當(dāng)方程與積分因子 1、 恰當(dāng)方程的定義 將 一階微分方程 ( , )dy f x 寫成微分的形式 ( , ) 0f x y d x d y?? 把 ,稱形式的一階微分方程的一般式為 ( , ) ( , ) 0M x y d x N x y d y?? （ 假設(shè) ( , )