高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十章 第1節(jié) 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理課件 理 新人教A版.ppt

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第1節(jié) 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理,Ⅰ.理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理． Ⅱ.能正確區(qū)分“類”和“步”，并能利用兩個原理解決一些簡單的實際問題．,,,整合·主干知識,分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理,兩類不同方案,需要兩個步驟,質(zhì)疑探究：計數(shù)問題中如何判定是分類加法計數(shù)原理還是分步乘法計數(shù)原理？ 提示：如果已知的每類方法中的每一種方法都能單獨完成這件事，用分類加法計數(shù)原理；如果每類方法中的每一種方法只能完成事件的一部分，用分步乘法計數(shù)原理．,1．從3名女同學(xué)和2名男同學(xué)中選1人主持本班的某次主題班會，則不同的選法種數(shù)為( ) A．6 B．5 C．3 D．2 解析：“完成這件事”即選出1人當(dāng)主持人，可分選女主持人和男主持人兩類進(jìn)行，分別有3種選法和2種選法，所以共有3＋2＝5種不同的選法． 答案：B,2．4封不同的信投入3個不同的信箱中，所有投法的種數(shù)是( ) A．7 B．12 C．34 D．43 解析：根據(jù)分步乘法計數(shù)原理4封不同的信投入3個不同的信箱共有3×3×3×3＝34(種)投法． 答案：C,答案：B,4．甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有( ) A．6種 B．12種 C．24種 D．30種 解析：分步完成．首先甲、乙兩人從4門課程中同選1門，有4種方法，其次甲從剩下的3門課程中任選1門，有3種方法，最后乙從剩下的2門課程中任選1門，有2種方法，于是，甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法共有4×3×2＝24(種)，故選C. 答案：C,5．有不同顏色的四件上衣與不同顏色的三條長褲，如果一條長褲與一件上衣配成一套，則不同的配法種數(shù)是________． 解析：先選上衣，從4件上衣中選一件有4種，第二步選長褲，從3條長褲中選一條有3種，由分步乘法原理可知有4×3＝12種配法． 答案：12,,聚集·熱點題型,[解析] 以m的值為標(biāo)準(zhǔn)分類，分為五類．第一類：m＝1時，使nm，n有6種選擇；第二類：m＝2時，使nm，n有5種選擇；第三類：m＝3時，使nm，n有4種選擇；第四類：m＝4時，使nm，n有3種選擇；第五類：m＝5時，使nm，n有2種選擇．由分類加法計數(shù)原理，符合條件的橢圓共有20個． [答案] 20,分類加法計數(shù)原理,解析：因為方程表示焦點在x軸上的橢圓，則mn0. 以m的取值進(jìn)行分類． (1)當(dāng)m＝1時，n值不存在； (2)當(dāng)m＝2時，n可取1，只有1種選擇； (3)當(dāng)m＝3時，n可取1,2，有2種選擇； (4)當(dāng)m＝4時，n可取1,2,3，有3種選擇； (5)當(dāng)m＝5時，n可取1,2,3,4，有4種選擇； 由分類加法計數(shù)原理可知，符合條件的橢圓共有10個． 答案：10,[拓展提高] (1)運用分類加法計數(shù)原理解決問題就是將一個比較復(fù)雜的問題分解為若干個“類別”，先分類解決，然后將其整合，如何合理進(jìn)行分類是解決問題的關(guān)鍵．,(2)要準(zhǔn)確把握分類加法計數(shù)原理的兩個特點：①根據(jù)問題的特點確定一個適合的分類標(biāo)準(zhǔn)；②完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類． [提醒] 對于分類問題所含類型較多時也可以考慮使用間接法．,[變式訓(xùn)練] 1．(2015·臨沂模擬)A與B是I＝{1,2,3,4}的子集，若A∩B＝{1,2}，則稱(A，B)為一個理想配集，若將(A，B)與(B，A)看成不同的“理想配集”，則符合此條件的“理想配集”的個數(shù)是( ) A．4 B．8 C．9 D．16,解析：對子集A分類討論．當(dāng)A是二元集{1,2}，B可以為{1,2,3,4}，{1,2,4}，{1,2,3}，{1,2}共4種情況；當(dāng)A是三元集{1,2,3}，B可以取{1,2,4}，{1,2}共有2種情況；當(dāng)A是三元集{1,2,4}，B可以取{1,2,3}，{1,2}，共有2種情況；當(dāng)A是四元集{1,2,3,4}，此時B取{1,2}有1種情況，根據(jù)分類加法計數(shù)原理得4＋2＋2＋1＝9種，故符合此條件的“理想配集”有9個． 答案：C,[典例賞析2] 已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的點，則 (1)P可表示平面上________個不同的點； (2)P可表示平面上________個第二象限的點. [解析] (1)確定平面上的點P(a，b)可分兩步完成： 第一步確定a的值，共有6種確定方法； 第二步確定b的值，也有6種確定方法． 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，得到平面上的點的個數(shù)是6×6＝36.,分步乘法計數(shù)原理,(2)確定第二象限的點，可分兩步完成：第一步確定a，由于a0，所以有2種確定方法． 由分步乘法計數(shù)原理，得到第二象限的點的個數(shù)是3×2＝6. [答案] (1)36 (2)6,[拓展提高] 利用分步乘法計數(shù)原理解決問題時要注意： (1)要按事件發(fā)生的過程合理分步，即考慮分步的先后順序．,(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步驟都完成才算完成這個事件． (3)對完成各步的方法數(shù)要準(zhǔn)確確定．,[變式訓(xùn)練] 2．(1)設(shè)集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，定義A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，則A*B中元素的個數(shù)是( ) A．7 B．10 C．25 D．52 (2)用數(shù)字2,3組成四位數(shù)，且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有________個(用數(shù)字作答)． 解析：(1)由題意知本題是一個分步乘法計數(shù)原理，因為集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1, 0,1,2,3}，所以x有2種取法，y有5種取法，所以根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得2×5＝10.故選B.,(2)法一：用2,3組成四位數(shù)共有2×2×2×2＝16(個)，其中不出現(xiàn)2或不出現(xiàn)3的共2個，因此滿足條件的四位數(shù)共有16－2＝14(個)． 法二：滿足條件的四位數(shù)可分為三類：第一類含有一個2，三個3，共有4個；第二類含有三個2，一個3共有4個；第三類含有二個2，二個3共有C＝6(個)，因此滿足條件的四位數(shù)共有2×4＋C＝14(個)． 答案：(1)B (2)14,[典例賞析3] (1)(2015·福州模擬)某校學(xué)生會由高一年級5人，高二年級6人，高三年級4人組成，若要選出不同年級的兩人分別參加市里組織的兩項活動，有________種不同的選法． (2)(2015·許昌模擬)從1,2,3,4,7,9六個數(shù)中，任取兩個數(shù)作對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則所有不同的對數(shù)的值的個數(shù)為________．,兩個原理的綜合應(yīng)用,[解析] (1)分三類：高一、高二各一人，共有5×6＝30種選法；高一、高三各一人，共有5×4＝20種選法．高二、高三各一人，共有6×4＝24種選法．由分類加法計數(shù)原理，共有30＋20＋24＝74種選法． (2)①當(dāng)取1時，1只能為真數(shù)，此時對數(shù)的值為0. ②不取1時，分兩步： 第一步：取底數(shù)，5種； 第二步：取真數(shù)，4種，其中l(wèi)og23＝log49，log32＝log94, log24＝log39，log42＝log93，所以不同的對數(shù)的值的個數(shù)為1＋5×4－4＝17. 答案：(1)74 (2)17,(2)分步要做到“步驟完整”，只有完成了所有步驟，才完成任務(wù)，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)． (3)對于復(fù)雜問題，可同時運用兩個計數(shù)原理或借助列表、畫圖的方法來幫助分析．,,[拓展提高] 用兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題時，關(guān)鍵是明確需要分類還是分步． (1)分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對每一類進(jìn)行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù)．,[變式訓(xùn)練] 3．(2015·銀川模擬)從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選取3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，則不同的種植方法是________． 解析：若黃瓜種在第一塊土地上，則有3×2×1＝6種不同種植方法．同理，黃瓜種在第二塊、第三塊土地上，均有3×2×1＝6種，故不同的種植方法共有6＋6＋6＝18(種)． 答案：18,[備課札記] ____________________________________________________________________________________________________,,提升·學(xué)科素養(yǎng),(理)應(yīng)用兩個計數(shù)原理求解涂色問題,,如圖所示，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法總數(shù)為________．,,[審題視角] 染色問題是常見的計數(shù)應(yīng)用問題，可從選顏色、選頂點進(jìn)行分類、分步，從不同角度解決問題． [解析]方法一 可分為兩大步進(jìn)行，先將四棱錐一側(cè)面三頂點染色，然后再分類考慮另外兩頂點的染色數(shù)，用分步乘法計數(shù)原理即可得出結(jié)論．由題設(shè)，四棱錐S-ABCD的頂點S、A、B所染的顏色互不相同，它們共有5×4×3＝60(種)染色方法．,當(dāng)S、A、B染好時，不妨設(shè)其顏色分別為1、2、3，若C染2，則D可染3或4或5，有3種染法；若C染4，則D可染3或5，有2種染法；若C染5，則D可染3或4，有2種染法．可見，當(dāng)S、A、B已染好時，C、D還有7種染法，故不同的染色方法有60×7＝420(種)． 方法二 以S、A、B、C、D順序分步染色． 第一步，S點染色，有5種方法； 第二步，A點染色，與S在同一條棱上，有4種方法； 第三步，B點染色，與S、A分別在同一條棱上，有3種方法；,第四步，C點染色，也有3種方法，但考慮到D點與S、A、C相鄰，需要針對A與C是否同色進(jìn)行分類，當(dāng)A與C同色時，D點有3種染色方法；當(dāng)A與C不同色時，因為C與S、B也不同色，所以C點有2種染色方法，D點也有2種染色方法．由分步乘法、分類加法計數(shù)原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420(種)． 方法三 按所用顏色種數(shù)分類． 第一類，5種顏色全用，共有A種不同的方法；,第二類，只用4種顏色，則必有某兩個頂點同色(A與C，或B與D)，共有2×A種不同的方法； 第三類，只用3種顏色，則A與C、B與D必定同色，共有A種不同的方法． 由分類加法計數(shù)原理，得不同的染色方法總數(shù)為 A＋2×A＋A＝420(種)． [答案] 420,[創(chuàng)新點撥] 兩個計數(shù)原理綜合應(yīng)用的重點題型與求解策略：,用紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色涂在“田”字形的4個小方格內(nèi)，每格涂一種顏色，相鄰兩格涂不同的顏色，如果顏色可以反復(fù)使用，共有________種不同的涂色方法． 解析：如圖所示，將4個小方格依次編號為1,2,3,4，第1個小方格可以從5 種顏色中任取一種顏色涂上，有5種不同的涂法.,①當(dāng)?shù)?個、第3個小方格涂不同顏色時，有A＝12(種)不同的涂法，第4個小方格有3種不同的涂法．由分步乘法計數(shù)原理可知，有5×12×3＝180(種)不同的涂法； ②當(dāng)?shù)? 個、第3個小方格涂相同顏色時，有4種涂法，由于相鄰方格不同色，因此，第4個小方格也有4種不同的涂法，由分步乘法計數(shù)原理可知．有5×4×4＝80(種)不同的涂法． 由分類加法計數(shù)原理可得， 共有180＋80＝260(種)不同的涂法． 答案：260,1．兩個原理 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理是解決排列組合問題的基礎(chǔ)并貫穿始終．,,(1)分類加法計數(shù)原理中，完成一件事的方法屬于其中一類并且只屬于其中一類． (2)分步乘法計數(shù)原理中，各個步驟相互依存，在各個步驟中任取一種方法，構(gòu)成完成這件事的一種方法，簡單的說步與步之間的方法“相互獨立，多步完成”．,2．兩點提醒 (1)分類時，標(biāo)準(zhǔn)要明確，應(yīng)做到不重不漏． (2)分步時，要合理設(shè)計順序、步驟，并注意元素是否可以重復(fù)選?。?