2019版高考數(shù)學(xué) 6.1 不等關(guān)系與不等式課件.ppt

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第六章 不等式、推理與證明 第一節(jié) 不等關(guān)系與不等式,【知識(shí)梳理】 1.必會(huì)知識(shí) 教材回扣 填一填 (1)實(shí)數(shù)的大小順序與運(yùn)算性質(zhì)的關(guān)系: ①ab?______; ②a=b?a-b=0; ③ab?______.,a-b0,a-b0,(2)不等式的性質(zhì): ①對(duì)稱性:ab?____;(雙向性) ②傳遞性:ab,bc?____;(單向性) ③可加性:ab?a+cb+c;(雙向性) ④ab,cd?________;(單向性),ba,ac,a+cb+d,⑤可乘性:ab,c0?acbc; ab,cb0,cd0?______;(單向性) ⑦乘方法則:ab0?anbn(n∈N,n≥1);(單向性) ⑧開(kāi)方法則:ab0? (n∈N,n≥2);(單向性),acbd,2.必備結(jié)論 教材提煉 記一記 (1)倒數(shù)性質(zhì)：設(shè)ab＞0，則a＜b? (雙向性) (2)有關(guān)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)： 若ab0,m0,則 ① ②,3.必用技法 核心總結(jié) 看一看 (1)常用方法：比較法(作差或作商) (2)數(shù)學(xué)思想：等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、放縮思想. (3)記憶口訣：不等式性質(zhì)的記憶口訣： 對(duì)稱傳遞性 同向可加乘 乘乘方開(kāi)方 不忘兩端正,【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考 判一判 (1)兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b之間,有且只有ab,a=b,ab三種關(guān)系中的一種.( ) (2)一個(gè)不等式的兩邊同加上或同乘以同一個(gè)數(shù),不等號(hào)方向不變.( ) (3)一個(gè)非零實(shí)數(shù)越大,則其倒數(shù)就越小.( ) (4)同向不等式具有可加和可乘性.( ) (5)兩個(gè)數(shù)的比值大于1,則分子不一定大于分母.( ),【解析】(1)正確.兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b之間的大小關(guān)系只有三種ab,a=b 或a-4. (5)正確.當(dāng)這個(gè)比值中的分母小于零時(shí),分子小于分母,當(dāng)這個(gè)比值中的分母大于零時(shí),分子大于分母. 答案:(1)√ (2) (3) (4) (5)√,2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(必修5 P74T3改編)下列四個(gè)結(jié)論，正確的是( ) ①ab，cb－d； ②ab0，cbd； ③ab0? ④ab0? A．①② B．②③ C．①④ D．①③,【解析】選D.利用不等式的同向可加性可知①正確；對(duì)②根據(jù)不等式 的性質(zhì)可知ac＜bd,故②不正確;因?yàn)楹瘮?shù) 是單調(diào)遞增的,所以 ③正確；對(duì)④由a＞b＞0可知a2＞b2＞0,所以 所以④不正確.,(2)(必修5P75B組T1改編)下列各組代數(shù)式的判斷正確的是 . ①x2+5x+61時(shí),x3x2-x+1; ④x2+y2+12(x+y-1).,【解析】①2x2+5x+9-x2-5x-6=x2+30; 所以x2+5x+6(x-2)(x-4),故②錯(cuò)誤. ③當(dāng)x1時(shí),x3-(x2-x+1)=(x-1)(x2+1)0, 所以當(dāng)x1時(shí),x3x2-x+1;故③正確. ④x2+y2+1-2(x+y-1)=(x-1)2+(y-1)2+10, 所以x2+y2+12(x+y-1),故④正確. 答案:①③④,3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2014四川高考)若ab0，c-d0， 即得 又ab0，得 從而有,(2)(2013北京高考)設(shè)a,b,c∈R,且ab,則( ) A.acbc B. C.a2b2 D.a3b3 【解析】選D.y=x3在(－∞,+∞)上為增函數(shù)，所以a3b3.,(3)(2015東莞模擬)設(shè)a,b∈R,若a+|b|0 B.a3+b30 C.a2-b20 D.a+b0 【解析】選D.因?yàn)閍+|b|0, 所以|b|-a, 所以b-a,所以a+b0.,考點(diǎn)1 比較大小 【典例1】(1)(2015長(zhǎng)春模擬)已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足b+c=6-4a+3a2, c-b=4-4a+a2,則a,b,c的大小關(guān)系是( ) A.c≥ba B.ac≥b C.cba D.acb (2)已知a,b是實(shí)數(shù),且eab,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),則ab與ba的大小關(guān)系是 .,【解題提示】(1)用作差法比較大小. (2)構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小. 【規(guī)范解答】(1)選A.因?yàn)閏－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0， 所以c≥b.將題中兩式作差得2b＝2＋2a2，即b＝1＋a2. 因?yàn)? 所以1＋a2a， 所以b＝1＋a2a.所以c≥ba.,(2)令 則f′(x)= 當(dāng)xe時(shí)，f′(x)f(b), 即 ?bln aaln b?abba. 答案：abba,【互動(dòng)探究】本例(2)若條件變?yōu)閍0,b0,且a≠b,試比較aabb與abba的大小. 【解析】 當(dāng)ab0時(shí)， a－b0， 則 所以aabbabba； 當(dāng)ba0時(shí)， 則 所以aabbabba； 綜上知aabb＞abba.,【規(guī)律方法】比較大小常用的方法 (1)作差法,其步驟:作差?變形?判斷差與0的大小?得出結(jié)論. 注意:含根號(hào)的式子作差時(shí)一般先乘方再作差. (2)作商法,其步驟:作商?變形?判斷商與1的大小?得出結(jié)論. (3)構(gòu)造函數(shù)法:構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性比較大小.,【變式訓(xùn)練】(2014肇慶模擬)實(shí)數(shù)a,b,c滿足下列三個(gè)條件:①dc;②a+b=c+d;③a+d0,得bd,又dc,故acdb. 答案:acdb,【加固訓(xùn)練】若實(shí)數(shù)a≠1，比較a＋2與 的大小. 【解析】 因?yàn)?所以－(a2＋a＋1)0，即a1時(shí)，,則有 當(dāng)1－a1時(shí)， 則有 綜上知，當(dāng)a1時(shí)，,考點(diǎn):利用不等式(組)表示不等關(guān)系 【典例】某廠擬生產(chǎn)甲、乙兩種適銷產(chǎn)品,甲、乙產(chǎn)品都需要在A,B兩臺(tái)設(shè)備上加工,在A,B設(shè)備上加工一件甲產(chǎn)品所需工時(shí)分別為1小時(shí)、2小時(shí),加工一件乙產(chǎn)品所需工時(shí)分別為2小時(shí)、1小時(shí),A,B兩臺(tái)設(shè)備每月有效使用時(shí)數(shù)分別為400和500.寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式組. 【解題提示】設(shè)出甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量,再根據(jù)設(shè)備A,B的有效使用時(shí)數(shù),與甲、乙兩種產(chǎn)品使用設(shè)備A,B的工時(shí)數(shù)的關(guān)系列不等式組.,【規(guī)范解答】設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為x件，y件， 由題意可知，,【規(guī)律方法】利用不等式(組)表示不等關(guān)系的關(guān)鍵和注意點(diǎn) (1)關(guān)鍵:準(zhǔn)確將題目中的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言(如不等式). (2)注意點(diǎn):注意“不超過(guò)”“至少”“低于”表示的不等關(guān)系,同時(shí)還應(yīng)考慮變量的實(shí)際意義.,【變式訓(xùn)練】已知甲、乙、丙三種食物中維生素A,B含量及成本如表: 設(shè)用甲、乙、丙三種食物各xkg,ykg,zkg配成100kg的混合食物,并使 混合物內(nèi)至少含有56000單位維生素A和63000單位維生素B. 試用x,y表示混合食物成本C元,并寫出x,y所滿足的不等關(guān)系.,【解析】依題意,得C=11x +9y+4z, 又x+y+z=100,所以C=400+7x+5y 由 及z=100-x-y,得 所以x,y所滿足的不等關(guān)系為,【加固訓(xùn)練】將一個(gè)三邊長(zhǎng)度分別為5,12,13的三角形的各邊都縮短x,構(gòu)成一個(gè)鈍角三角形,試用不等式(組)表示x應(yīng)滿足的不等關(guān)系. 【解析】由題意知,考點(diǎn)2 不等式性質(zhì)及其應(yīng)用 知考情 利用不等式性質(zhì)進(jìn)行命題的判斷是經(jīng)?？疾榈目枷?另外,不等式性質(zhì)與充要條件相結(jié)合判斷條件是一個(gè)重要的考向,主要以選擇題和填空題為主.,明角度 命題角度1：不等式是否成立的判斷 【典例2】(2015銀川模擬)設(shè)a＞b＞1，c＜0，給出下列三個(gè)結(jié)論: ① ②ac＜bc;③logb(a-c)＞loga(b-c). 其中所有的正確結(jié)論的序號(hào)是( ) A.① B.①② C.②③ D.①②③ 【解題提示】由不等式的性質(zhì)可得①正確，由冪函數(shù)的單調(diào)性可得 ②正確，引入中間變量loga(a-c)可得③正確.,【規(guī)范解答】選D.對(duì)①,ab1,所以 又因?yàn)閏b1,所以acb1,c0,所以a-cb-c1, 所以logb(a-c)loga(a-c)loga(b-c)正確,故選D.,命題角度2:充要條件的判斷 【典例3】設(shè)x∈R,則“x2-3x0”是“x4”的( ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 【解題提示】求出不等式x2-3x0的解集,根據(jù)“小范圍”?“大范圍”可判斷. 【規(guī)范解答】選B.由x2-3x0得x3或x0是x4的必要而不充分條件,故選B.,悟技法 1.判斷不等式命題真假的方法 (1)判斷不等式是否成立,需要逐一給出推理判斷或反例說(shuō)明.常用的推理判斷需要利用不等式性質(zhì). (2)在判斷一個(gè)關(guān)于不等式的命題真假時(shí),先把判斷的命題和不等式性質(zhì)聯(lián)系起來(lái)考慮,找到與命題相近的性質(zhì),并應(yīng)用性質(zhì)判斷命題真假. 2.充要條件的判斷方法 利用兩命題間的關(guān)系,看p能否推出q,再看q能否推出p,充分利用不等式性質(zhì)或特值求解.,通一類 1.(2015合肥模擬)已知a，b，c滿足c＜b＜a且ac＜0，則下列選項(xiàng)中不一定成立的是( ) 【解析】選C.因?yàn)閏＜b＜a且ac＜0，所以c＜0，a＞0， 所以 但b2與a2的關(guān)系不確定，故 不一定成立．,2.(2014山東高考)已知實(shí)數(shù)x,y滿足axln(y2+1) C.sin xsin y D.x3y3 【解題提示】本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，先利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷x,y的大小，然后判斷每個(gè)選項(xiàng).,【解析】選D.由axy,所以,3.(2015杭州模擬)已知a∈R,則“a2”是“a22a”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件,【解析】選A.因?yàn)楫?dāng)“a2”成立時(shí),a2-2a=a(a-2)0, 所以“a22a”成立, 即“a2?a22a”為真命題; 而當(dāng)“a22a”成立時(shí),a2-2a=a(a-2)0,即a2或a2不一定成立, 即“a22a?a2”為假命題; 故“a2”是“a22a”的充分不必要條件, 故選A.,4.(2015濟(jì)南模擬)若a0b-a,cbc;② ③a-cb-d;④a(d-c)b(d-c)中正確的是. 【解析】①因?yàn)閍0b,c0,所以ad0b-a,所以a-b0,因?yàn)閏-d0,cd0,所 以a(-c)(-b)(-d),所以ac+bd-d,因?yàn)閍b,所以a-cb-d，所以③正確.④因?yàn)?a0b,d-c0,所以a(d-c)b(d-c),所以④正確. 答案：②③④,自我糾錯(cuò)13 不等式性質(zhì)的應(yīng)用 【典例】設(shè)f(x)=ax2+bx,若1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, 則f(-2)的取值范圍是__________.,【解題過(guò)程】,【錯(cuò)解分析】分析上面解題過(guò)程,你知道錯(cuò)在哪里嗎? 提示:錯(cuò)誤的主要原因是多次使用同向不等式的可加性而導(dǎo)致了f(-2)的范圍擴(kuò)大.,【規(guī)避策略】用不等式性質(zhì)求代數(shù)式取值范圍的途徑 利用不等式性質(zhì)求某些代數(shù)式的取值范圍時(shí),多次運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)有可能擴(kuò)大變量的取值范圍.解決此類問(wèn)題一般是利用整體思想,通過(guò)“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求得整體的范圍,是避免錯(cuò)誤的有效途徑.,【自我矯正】方法一:設(shè)f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m,n為待定系數(shù)), 則4a-2b=m(a-b)+n(a+b), 即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b. 于是得 解得 所以f(-2)=3f(-1)+f(1). 又因?yàn)?≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, 所以5≤3f(-1)+f(1)≤10, 故5≤f(-2)≤10.,方法二:由f(x)=ax2+bx得f(-1)=a-b①, f(1)=a+b②, 由①+②得2a=f(1)+f(-1), 由②-①得2b=f(1)-f(-1), 從而f(-2)=4a-2b=2[f(1)+f(-1)]-[f(1)-f(-1)]=3f(-1)+f(1). 因?yàn)?≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,所以31+2≤3f(-1)+f(1)≤32+4, 所以5≤3f(-1)+f(1)≤10. 所以f(-2)的取值范圍是5≤f(-2)≤10,即f(-2)的取值范圍是[5,10]. 答案:[5,10],