2019-2020年高考數(shù)學重點難點講解 求圓錐曲線方程教案 舊人教版.doc
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2019-2020年高考數(shù)學重點難點講解 求圓錐曲線方程教案 舊人教版 求指定的圓錐曲線的方程是高考命題的重點,主要考查學生識圖、畫圖、數(shù)形結合、等價轉化、分類討論、邏輯推理、合理運算及創(chuàng)新思維能力,解決好這類問題,除要求同學們熟練掌握好圓錐曲線的定義、性質外,還常常將它與對稱問題、弦長問題、最值問題等綜合在一起命制難度較大的題,解決這類問題常用定義法和待定系數(shù)法. ●難點磁場 1.(★★★★★)雙曲線=1(b∈N)的兩個焦點F1、F2,P為雙曲線上一點,|OP|<5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比數(shù)列,則b2=_________. 2.(★★★★)如圖,設圓P滿足:①截y軸所得弦長為2;②被x軸分成兩段圓弧,其弧長比為3∶1,在滿足條件①、②的所有圓中,求圓心到直線l:x-2y=0的距離最小的圓的方程. ●案例探究 [例1]某電廠冷卻塔的外形是如圖所示的雙曲線的一部分,繞其中軸(即雙曲線的虛軸)旋轉所成的曲面,其中A、A′是雙曲線的頂點,C、C′是冷卻塔上口直徑的兩個端點,B、B′是下底直徑的兩個端點,已知AA′=14 m,CC′=18 m,BB′=22 m,塔高20 m. (1)建立坐標系并寫出該雙曲線方程. (2)求冷卻塔的容積(精確到10 m2,塔壁厚度不計,π取3.14). 命題意圖:本題考查選擇適當?shù)淖鴺讼到⑶€方程和解方程組的基礎知識,考查應用所學積分知識、思想和方法解決實際問題的能力,屬★★★★★級題目. 知識依托:待定系數(shù)法求曲線方程;點在曲線上,點的坐標適合方程;積分法求體積. 錯解分析:建立恰當?shù)淖鴺讼凳墙鉀Q本題的關鍵,積分求容積是本題的重點. 技巧與方法:本題第一問是待定系數(shù)法求曲線方程,第二問是積分法求體積. 解:如圖,建立直角坐標系xOy,使AA′在x軸上,AA′的中點為坐標原點O,CC′與BB′平行于x軸. 設雙曲線方程為=1(a>0,b>0),則a=AA′=7 又設B(11,y1),C(9,x2)因為點B、C在雙曲線上,所以有 由題意,知y2-y1=20,由以上三式得:y1=-12,y2=8,b=7 故雙曲線方程為=1. (2)由雙曲線方程,得x2=y2+49 設冷卻塔的容積為V(m3),則V=π,經(jīng)計算,得V=4.25103(m3) 答:冷卻塔的容積為4.25103m3. [例2]過點(1,0)的直線l與中心在原點,焦點在x軸上且離心率為的橢圓C相交于A、B兩點,直線y=x過線段AB的中點,同時橢圓C上存在一點與右焦點關于直線l對稱,試求直線l與橢圓C的方程. 命題意圖:本題利用對稱問題來考查用待定系數(shù)法求曲線方程的方法,設計新穎,基礎性強,屬★★★★★級題目. 知識依托:待定系數(shù)法求曲線方程,如何處理直線與圓錐曲線問題,對稱問題. 錯解分析:不能恰當?shù)乩秒x心率設出方程是學生容易犯的錯誤.恰當?shù)乩煤脤ΨQ問題是解決好本題的關鍵. 技巧與方法:本題是典型的求圓錐曲線方程的問題,解法一,將A、B兩點坐標代入圓錐曲線方程,兩式相減得關于直線AB斜率的等式.解法二,用韋達定理. 解法一:由e=,得,從而a2=2b2,c=b. 設橢圓方程為x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在橢圓上. 則x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,兩式相減得,(x12-x22)+2(y12-y22)=0, 設AB中點為(x0,y0),則kAB=-,又(x0,y0)在直線y=x上,y0=x0,于是-= -1,kAB=-1,設l的方程為y=-x+1. 右焦點(b,0)關于l的對稱點設為(x′,y′), 由點(1,1-b)在橢圓上,得1+2(1-b)2=2b2,b2=. ∴所求橢圓C的方程為 =1,l的方程為y=-x+1. 解法二:由e=,從而a2=2b2,c=b. 設橢圓C的方程為x2+2y2=2b2,l的方程為y=k(x-1), 將l的方程代入C的方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2b2=0,則x1+x2=,y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=k(x1+x2)-2k=-. 直線l:y=x過AB的中點(),則,解得k=0,或k= -1. 若k=0,則l的方程為y=0,焦點F(c,0)關于直線l的對稱點就是F點本身,不能在橢圓C上,所以k=0舍去,從而k=-1,直線l的方程為y=-(x-1),即y=-x+1,以下同解法一. [例3]如圖,已知△P1OP2的面積為,P為線段P1P2的一個三等分點,求以直線OP1、OP2為漸近線且過點P的離心率為的雙曲線方程. () 命題意圖:本題考查待定系數(shù)法求雙曲線的方程以及綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力,屬★★★★★級題目. 知識依托:定比分點坐標公式;三角形的面積公式;以及點在曲線上,點的坐標適合方程. 錯解分析:利用離心率恰當?shù)卣页鲭p曲線的漸近線方程是本題的關鍵,正確地表示出 △P1OP2的面積是學生感到困難的. 技巧與方法:利用點P在曲線上和△P1OP2的面積建立關于參數(shù)a、b的兩個方程,從而求出a、b的值. 解:以O為原點,∠P1OP2的角平分線為x軸建立如圖所示的直角坐標系. 設雙曲線方程為=1(a>0,b>0) 由e2=,得. ∴兩漸近線OP1、OP2方程分別為y=x和y=-x 設點P1(x1, x1),P2(x2,-x2)(x1>0,x2>0),則由點P分所成的比λ==2,得P點坐標為(),又點P在雙曲線=1上,所以=1, 即(x1+2x2)2-(x1-2x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2 ① 即x1x2= ② 由①、②得a2=4,b2=9 故雙曲線方程為=1. ●錦囊妙計 一般求已知曲線類型的曲線方程問題,可采用“先定形,后定式,再定量”的步驟. 定形——指的是二次曲線的焦點位置與對稱軸的位置. 定式——根據(jù)“形”設方程的形式,注意曲線系方程的應用,如當橢圓的焦點不確定在哪個坐標軸上時,可設方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0). 定量——由題設中的條件找到“式”中特定系數(shù)的等量關系,通過解方程得到量的大小. ●殲滅難點訓練 一、選擇題 1.(★★★★)已知直線x+2y-3=0與圓x2+y2+x-6y+m=0相交于P、Q兩點,O為坐標原點,若OP⊥OQ,則m等于( ) A.3 B.-3 C.1 D.-1 2.(★★★★)中心在原點,焦點在坐標為(0,5)的橢圓被直線3x-y-2=0截得的弦的中點的橫坐標為,則橢圓方程為( ) 二、填空題 3.(★★★★)直線l的方程為y=x+3,在l上任取一點P,若過點P且以雙曲線12x2-4y2=3的焦點作橢圓的焦點,那么具有最短長軸的橢圓方程為_________. 4.(★★★★)已知圓過點P(4,-2)、Q(-1,3)兩點,且在y軸上截得的線段長為4,則該圓的方程為_________. 三、解答題 5.(★★★★★)已知橢圓的中心在坐標原點,焦點在x軸上,它的一個焦點為F,M是橢圓上的任意點,|MF|的最大值和最小值的幾何平均數(shù)為2,橢圓上存在著以y=x為軸的對稱點M1和M2,且|M1M2|=,試求橢圓的方程. 6.(★★★★)某拋物線形拱橋跨度是20米,拱高4米,在建橋時每隔4米需用一支柱支撐,求其中最長的支柱的長. 7.(★★★★★)已知圓C1的方程為(x-2)2+(y-1)2=,橢圓C2的方程為=1(a>b>0),C2的離心率為,如果C1與C2相交于A、B兩點,且線段AB恰為圓C1的直徑,求直線AB的方程和橢圓C2的方程. 參考答案 難點磁場 1.解析:設F1(-c,0)、F2(c,0)、P(x,y),則 |PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)<2(52+c2), 即|PF1|2+|PF2|2<50+2c2, 又∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1||PF2|, 依雙曲線定義,有|PF1|-|PF2|=4, 依已知條件有|PF1||PF2|=|F1F2|2=4c2 ∴16+8c2<50+2c2,∴c2<, 又∵c2=4+b2<,∴b2<,∴b2=1. 答案:1 2.解法一:設所求圓的圓心為P(a,b),半徑為r,則點P到x軸、y軸的距離分別為|b|、|a| ∵圓P截y軸所得弦長為2,∴r2=a2+1 又由題設知圓P截x軸所得劣弧對的圓心角為90,故弦長|AB|=r,故r2=2b2,從而有2b2-a2=1 又∵點P(a,b)到直線x-2y=0的距離d=, 因此,5d2=|a-2b|2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1, 當且僅當a=b時上式等號成立,此時5d2=1,從而d取最小值,為此有, ∵r2=2b2, ∴r2=2 于是所求圓的方程為:(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2 解法二:設所求圓P的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) 設A(0,y1),B(0,y2)是圓與y軸的兩個交點,則y1、y2是方程a2+(y-b)2=r2的兩根, ∴y1,2=b 由條件①得|AB|=2,而|AB|=|y1-y2|,得r2-a2=1 設點C(x1,0)、D(x2,0)為圓與x軸的兩個交點,則x1,x2是方程(x-a)2+b2=r2的兩個根, ∴x1,2=a 由條件②得|CD|=r,又由|CD|=|x2-x1|,得2b2=r2,故2b2=a2+1 設圓心P(a,b)到直線x-2y=0的距離為d= ∴a-2b=d,得a2=(2bd)2=4b24bd+5d2 又∵a2=2b2-1,故有2b24bd+5d2+1=0.把上式看作b的二次方程, ∵方程有實根. ∴Δ=8(5d2-1)≥0,得5d2≥1. ∴dmin=,將其代入2b24bd+5d2+1=0, 得2b24b+2=0,解得b=1. 從而r2=2b2=2,a==1 于是所求圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2 殲滅難點訓練 一、1.解析:將直線方程變?yōu)閤=3-2y,代入圓的方程x2+y2+x-6y+m=0, 得(3-2y)2+y2+(3-2y)+m=0. 整理得5y2-20y+12+m=0,設P(x1,y1)、Q(x2,y2) 則y1y2=,y1+y2=4. 又∵P、Q在直線x=3-2y上, ∴x1x2=(3-2y1)(3-2y2)=4y1y2-6(y1+y2)+9 故y1y2+x1x2=5y1y2-6(y1+y2)+9=m-3=0,故m=3. 答案:A 2.解析:由題意,可設橢圓方程為: =1,且a2=50+b2, 即方程為=1. 將直線3x-y-2=0代入,整理成關于x的二次方程. 由x1+x2=1可求得b2=25,a2=75. 答案:C 二、3.解析:所求橢圓的焦點為F1(-1,0),F2(1,0),2a=|PF1|+|PF2|. 欲使2a最小,只需在直線l上找一點P.使|PF1|+|PF2|最小,利用對稱性可解. 答案: =1 4.解析:設所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2 則有 由此可寫所求圓的方程. 答案:x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0 三、5.解:|MF|max=a+c,|MF|min=a-c,則(a+c)(a-c)=a2-c2=b2, ∴b2=4,設橢圓方程為 ① 設過M1和M2的直線方程為y=-x+m ② 將②代入①得:(4+a2)x2-2a2mx+a2m2-4a2=0 ③ 設M1(x1,y1)、M2(x2,y2),M1M2的中點為(x0,y0), 則x0= (x1+x2)=,y0=-x0+m=. 代入y=x,得, 由于a2>4,∴m=0,∴由③知x1+x2=0,x1x2=-, 又|M1M2|=, 代入x1+x2,x1x2可解a2=5,故所求橢圓方程為: =1. 6.解:以拱頂為原點,水平線為x軸,建立坐標系, 如圖,由題意知,|AB|=20,|OM|=4,A、B坐標分別為(-10,-4)、(10,-4) 設拋物線方程為x2=-2py,將A點坐標代入,得100=-2p(-4),解得p=12.5, 于是拋物線方程為x2=-25y. 由題意知E點坐標為(2,-4),E′點橫坐標也為2,將2代入得y=-0.16,從而|EE′|= (-0.16)-(-4)=3.84.故最長支柱長應為3.84米. 7.解:由e=,可設橢圓方程為=1, 又設A(x1,y1)、B(x2,y2),則x1+x2=4,y1+y2=2, 又=1,兩式相減,得=0, 即(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0. 化簡得=-1,故直線AB的方程為y=-x+3, 代入橢圓方程得3x2-12x+18-2b2=0. 有Δ=24b2-72>0,又|AB|=, 得,解得b2=8. 故所求橢圓方程為=1.- 配套講稿:
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