2019-2020年高三數學上冊 15.6球面距離教案 滬教版.doc

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2019-2020年高三數學上冊 15.6球面距離教案 滬教版 教學目標： 1. 認知目標：理解球面距離的合理性，掌握幾種簡單球面距離的求法,改進有關“距離”的認知結構． 2. 能力目標：滲透類比、猜想及“數學化”的思想，提高動手實驗、合情推理的能力，培養(yǎng)數學交流能力，體驗基本的“科研”方法． 3. 情感目標：通過“做數學”，親歷“球面距離”的形成過程，并體驗研究與成功的快樂，感悟“數學美”，激發(fā)學習熱情，并潛移默化地得到熱愛地球、熱愛科學的德育熏陶；樹立正確的“數學觀”并初步形成創(chuàng)新意識和科學精神． 教學重點： 球面距離發(fā)現過程及激勵學生主動參與、相互協(xié)作、探索研究的精神． 教學難點: 實際問題數學化（建模），球面距離定義的合理性． 教具學具： TI-92Plus圖形計算器、計算機、實物投影儀、橡皮筋、地球儀等． 教學過程 1． 創(chuàng)設問題情境 引發(fā)研究課題 教師： 同學們，今天是6月6日，請問昨天（6月5日）是一個什么日子？ 學生眾：世界環(huán)境日！ 教師：對！是第30個世界環(huán)境日．聯合國環(huán)境規(guī)劃署將今年的環(huán)境日主題確定為：“讓地球充滿生機”，如果說上個世紀是人類環(huán)境意識覺醒的世紀，那么，新世紀將是人類保護環(huán)境、拯救地球開始采取切實可行的實際行動的世紀.為紀念并慶祝這一節(jié)日，我們今天研究一個關于地球的問題． 引例（計算機演示）： 1993年4月7日,中國東方航空公司的MU583航班噴氣客機，從上海（A）飛往美國洛杉磯（B），因受強氣流影響，被迫在美國阿拉斯加州阿留申群島（C）的某空軍基地緊急降落．經過緊急處置，除60名傷員仍留在阿拉斯加的安克雷奇醫(yī)院中之外，其余173名旅客已于4月9日到達洛杉磯．（用FLASH軟件制作演示文稿：世界政區(qū)圖及客機動畫模型,略）. 學生觀察后提出問題：從世界地圖（平面）上看似乎沿北緯300的圓“直行”最近，可為什么從上海飛往洛杉磯的飛機會迫降在東北方向的阿拉斯加呢？這豈不是在繞遠道嗎？ 老師：同學們，生活中處處有數學，就看我們是否有發(fā)現的眼睛了．對于這一現象我們該做何解釋呢？我們能用數學的觀點給出一個合理、科學的解釋嗎？進而，我們能把這個問題一般化嗎？ （回答多種多樣，但最終統(tǒng)一到選擇航線的主要標準是什么？——行程盡可能短．問題的一般化——球面上兩地間的最短路線是什么？） 師：那么，怎樣的航線可能最短呢？ 生1：沿緯線圈走可能短些． 生2：不對，從上海飛往洛杉磯的飛機繞道東北方向的阿拉斯加這一現象，可以說明沿緯線圈走不是最短． 生3：對地球上任意兩點來說，并不是都有同一緯線經過它們，所以沿緯線圈走不可能總是最短． 師：非常好！同學們的討論說明這是一個值得研究的問題．即，到底什么是球面上兩點間的最短路線?目前還不知道，那么,能否想起與這個問題類似而已經研究過的問題嗎？ 生4：螞蟻在正方體的表面上從一個頂點爬行到相對頂點的最短路線問題． 生5：在圓錐、圓臺側面上爬行也可提出類似的問題． 生6：上述問題的解決方法是相同的，都是將空間圖形展開成平面圖形，利用兩點之間線段最短，使問題獲解． 師：非常好！對我們的問題有幫助嗎？ 生7：把球面展成平面圖形…… 生8：球面不能展成平面圖形！ 師：有這方面的經驗嗎？ 生9：吃剩下的西瓜皮無論怎樣切，它總是展不平． 師：對，球面是不可展的，這一點與多面體、圓柱、圓錐、圓臺有本質的不同．那么，這些問題的解決方法對我們現在的問題有幫助嗎？ 學生10：有！前面那幾個“最短路線”都是“平面曲線”它類似于直線，因此，可猜想球面上兩點間最短的路線也是一條類似于“直線段”的曲線的長，它可能是某個平面與球面的交線，也就是一條特殊圓弧的長． 師：好極了，經驗和直覺都告訴我們，球面上兩點間最短的路線應是一條特殊圓?。谇蛎嫔辖涍^兩點的圓弧有無數多條，哪一條最短？同學們，數學是一種活動，不僅應該動腦，也應該動手，請同學們以小組為單位，動手探索球面上兩點間的最短路線，并給出你的猜想． 2．動手實驗 探索新知 學生以小組為單位，利用地球儀、橡皮筋,協(xié)作實驗探索，2～3分鐘后， 學生11、12到前面提供了實驗1: 一位同學將橡皮筋的兩頭分別置于地球儀的上海和洛杉磯處(此時橡皮筋已被伸長),另一同學將橡皮筋在球面上來回移動，由于“摩擦力”的作用，橡皮筋并不是總回到“理想”位置，兩同學面露難色．此時，一位女生跑上前去，提起橡皮筋的中部再突然放開,由于彈性的作用, 橡皮筋停止于最短的狀態(tài)（同學們報以熱烈掌聲，團結協(xié)作精神也體現的淋漓盡致）． 由經驗猜想:沿橡皮筋這條弧線航行行程最短． 師：wonderful！同學們，科學需要觀察，但觀察并不總是可靠的，眼睛有時也會欺騙我們．誰能進一步說明或者推翻他們的這一結論？ 生13：（實驗2）借助TI-92Plus圖形計算器中“幾何畫板”功能，做出以線段AB為公共弦的若干圓，并用畫板中的度量功能，分別測算出這幾個圓中AB弦所對的劣弧的長，不難發(fā)現，較大的圓中AB弦所對的劣弧的長較小． （用實物投影儀演示,如圖1） 猜想1：以線段AB為公共弦的若干個圓，以半徑較大的圓中AB弦所對的劣弧長較小. 生14：由于地球上大圓的半徑最大，根據上述猜想1，學生11、12的結論是正確的，即地球上兩地間的最短路線就是經過這兩點的大圓在這兩點間的劣?。? 3．思辯論證，得出結論 師：經過上面的實驗和探索，我們已基本上“認同”了上述猜想，但“認同”畢竟不是“論證”．數學的一大特征是它的邏輯嚴謹性．我們能證明這一猜想嗎？ 首先，我們要先弄清問題（將實際問題數學化—建模）． 生15：（實物投影）如圖，AB是圓O1和圓O2的公共弦，O2A＞O1A， 求證：． 分析：分析：設∠A O1B=2α，∠A O2B=2β，O2A=R,O1A=r, 則0＜β＜α＜，0＜ r＜R．欲證，，即：2αr＞2βR（公式化），也就是，α＞β， ＞，或證，＜．又因為y=（0＜x＜是單調減函數，所以，問題得證． 在球面上，由于，大圓的半徑最大，所以，大圓中所對的劣弧最短． 師：同學15用他濃郁的家鄉(xiāng)話再一次向我們展示了他的聰明才智．但，我們也注意到在他的證明中用到了“（0＜x＜是單調減函數”這一結論，而它的證明有一定的困難，我們能檢驗這一結論嗎？ 生16：能！用TI圖形計算器，從下圖示中，我們不難發(fā)現函數（0＜x＜是單調減函數． 師：漂亮！這從“形”的方面支持了同學15的證明是正確的，若那位同學能從“數”的一面給出證明，將顯得嚴謹有力．由于時間的關系，這個問題留給感興趣的同學課下研究． 師：我們已證明了上述猜想是正確的，那么，我們給球面上任兩點這一條最短的路線的長度取個什么名字呢？ 生眾：兩點間的球面距離． （多媒體演示課題：球面距離） 師：好，請同學們用數學語言陳述球面距離的定義． 生17： …（投影球面距離的定義，略） 師：由上不難知道，為什么飛機、輪船都是盡可能以大圓劣弧為航線了． 4．看圖辨析 強化概念 師：請同學們觀察下列球面模型（多媒體演示，略）中，標出的弧AnB的長是不是A、B兩點的球面距離？ 同學通過觀察、比較總結出球面距離概念的內涵：（1）A、B兩點必須在大圓上;（2）是大圓在這兩點間的劣?。ɑ虿怀^半圓弧）的長度 . 5．距離擴張的歷程回顧 師：好，經過同學們的探索、研究發(fā)現了球面距離的概念，擴大了知識、提高了能力．請回憶,以前我們還學習了哪幾種幾何基本對象間的距離？它們有什么共同的特征？ 經過學生的討論可以回憶出下面各種距離：（演示文稿） 兩點間的距離 點到直線的距離 　 異面直線間的距離 點到平面的距離 　 平行直線間的距離 平行平面間的離 　 平行于平面的直線與平面間的距離 共同的特征：存在性、最小性、唯一性，是一條特殊線段的長． 師：正如同學們總結的那樣，以前各種“距離”都是一條特殊線段的長，而“球面距離”卻是一條特殊的圓弧長．但是，它們都是平面“曲線”,具有 “最小性”和“唯一性”，體現了數學概念“和諧發(fā)展”． 6．例題分類 尋求解法 師：數學來源于生產與科研實踐，又服務于生產與科研實踐． 例1． 東方明珠香港于97年7月1日回歸祖國，之前京九鐵路也已全面貫通．請計算北京（約北緯400、東經1160）與香港（約北緯220、東經1160）的距離大約是多少千米？ 例2． 求上海到洛杉磯的距離．（上海和洛杉磯的緯度差不多都在北緯300 稍北的位置，而上海的經度為東經1200稍偏東，洛杉磯的經度為西經1200稍偏西）． 例3． xx年的奧運會在雅典舉行，xx年的奧運會在北京舉行．請計算北京與雅典之間的距離．（供學有余力的同學課后研究） 同學們借TI圖形計算器分組得出了例1、例2的答案，為規(guī)范書寫格式提供“標準”答案仍是必要的（用文稿演示，略）． 師：例3的解決有一定的困難，請有興趣的同學課下研究，我期待著你們的成功．從經緯度來看，球面距離問題可分為幾種類型？如何解決？ 生18：1.同經度不同緯度的兩地間的距離—經度差的絕對值乘以地球半徑；2.同緯度不同經度的兩地間的距離—先在緯度圈（小圓）中求出弦長，再在大圓中求出這兩點的球心角，進而求出劣弧的長，即：線段AB的長——→∠AOB的弧度數——→大圓劣弧AB的長；3.經、緯度都不同度的兩地間的距離． 生19：計算球面距離的關鍵是先求出此兩點所對應的球心角，再根據弧長公式即可求出劣弧長，即這兩點的球面距離． 師：非常好！同學們先做后說，提煉出了程序性、操作性的方法，這就是算法． 7.課題小結 交流體驗 師：同學們，一節(jié)課在不知不覺中就要過去了，愉快的時光總是顯得那么短暫．下面就請同學們小結一下，你有何收獲和體驗？ 生：…… 師：隨便說，一句不少，十句不多． 生20：數學無處不在、無處沒有．現實生活中存在著大量的數學問題，我們要養(yǎng)成用數學的眼光觀察、發(fā)現、分析、解決實際問題的習慣，做有數學頭腦的人． 師：實際問題數學化是重要的數學能力，也是數學素養(yǎng)的體現． 生21：這節(jié)課跟以前的數學課不大一樣，更像物理課．通過觀察、轉化、猜想、實驗、證明，不僅知道了什么是球面距離，還了解了研究問題的一些方法． 師：方法往往比知識重要，而探索方法的過程更重要． 生22：TI圖形計算器是我們探索數學奧秘的好幫手，能使我們更好地發(fā)現、探究和理解數學． 生23：這樣上課很好玩、很有趣．好像是在“做數學”． 師：樸素的語言，真實的感受． 以上同學都談的非常好，對體驗、方法和球面距離的具體求法進行了總結．我相信其他同學也定會有不少感受，這樣吧，請同學們課下將學習體會寫出來，下周一交給課代表．. 結束語：同學們，6月5日是世界環(huán)境日，無獨有偶，每年的4月22日為世界地球日．人類只有一個地球，為了明天更美好，為了我們的子孫后代，人類必須“善待地球”，為此，首先要更多地了解地球，那么,我們還應研究球體的那些問題呢？ 生眾：面積和體積！ 師：對，下一節(jié)我們將研究這些問題．這一節(jié)課，同學們表現的都非常出色，祝同學們學習成功，下課！ 案例分析 “距離”是數學中重要的“源”概念，作為中學八種距離中的最后一個的“球面距離”，因為不能像其它距離那樣可以轉化成一條特殊線段的長而成為學生的認和難點，所以，“球面距離”對于學生來說是一個極富有挑戰(zhàn)性的問題．如何讓學生在愉悅的環(huán)境中主動地對“球面距離”進行有意義的建構，并且在思維能力、人文素養(yǎng)等方面得到提升是本教案設計的初衷． 本課例，以現代建構主義理論為指導，輔以TI技術教育手段，既重視了學生“知識”和“技能”的學習，又注意思想方法的滲透和使用，并且，創(chuàng)設了一個很好的情景，使得既能向學生滲透“環(huán)?！钡挠嘘P思想，又能自然地感受到拓展“距離”概念的必要性，同時，把探索發(fā)現“球面距離定義”的過程，作為教學重點，“既教猜想、又教證明”，準確地抓住了實際問題數學化和定義的合理性． 對球面距離定義的合理性，學生在原有的知識和經驗的基礎上，不難理解它的存在性和唯一性，但，對球面距離為什么是大圓劣弧的長頗感困惑．美國數學家哈爾莫斯說：“學習數學的唯一方法是做數學”．由于TI技術能以更多的方式向學生提供刺激(多元聯系表示)，產生直觀豐富的形象，從不同側面認識數學的中的同一個對象(球面距離)，因而可以突破傳統(tǒng)技術在時空上的限制，表現傳統(tǒng)技術所不能表現的內容．學生通過親自動手實驗，輔以TI圖形計算器的支持，可以地看到球面距離概念的形成和發(fā)展過程，深刻理解了概念的本質． 教材上對球面距離的處理是重計算、輕發(fā)現，枯燥、乏味，給人一種冰冷的感覺．而人類(學生)對數學的思考、發(fā)現卻是火熱的、生動活潑的．因此，本節(jié)課又遵循了“返璞歸真”原則，把“球面距離”的學術形態(tài)轉化為教育形態(tài)，“把冰冷的美麗變?yōu)榛馃岬乃伎肌保麄€教學過程，沿著發(fā)現問題——提出問題——分析問題——探索和解決問題的途徑展開，在師生共同參與下，親歷了知識生長(即“球面距離”概念的形成)過程，學生不僅認識到當前這個概念是應運而生，又是合理的(承襲了“距離”概念的極小性、存在性、唯一性，又有所不同——由直線段變成了圓弧的長)，而且，通過對拓廣與承襲關系的分析，把新舊知識聯結起來，形成更為完善的有關“距離”的認知結構(包括計算方法)．在親歷“球面距離”概念的形成和發(fā)展過程中，學生的創(chuàng)新精神得到了高揚、創(chuàng)新能力得到了培養(yǎng)，特別是為每一個學生個性的充分展開創(chuàng)造了空間，課堂上洋溢著濃郁的人文精神，體現著鮮明的時代特色．