高考數(shù)學一輪復習 坐標系與參數(shù)方程 2 參數(shù)方程課件(理) 選修4-4.ppt

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第二節(jié) 參 數(shù) 方 程,【知識梳理】 1.曲線的參數(shù)方程 一般地,在平面直角坐標系中,如果曲線上任意一點的 坐標x,y都是某個變數(shù)t的函數(shù) 并且對于t的每 一個允許值,由這個方程組所確定的點M(x,y)都在這條 曲線上,那么這個方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程,,,聯(lián)系變數(shù)x,y的變數(shù)t叫做_______,簡稱_____. 相對于參數(shù)方程而言,直接給出點的坐標間關系的方 程F(x,y)=0叫做_____方程.,參變數(shù),參數(shù),普通,2.參數(shù)方程和普通方程的互化 (1)參數(shù)方程化普通方程:主要利用兩個方程相加、 減、乘、除或者代入法消去參數(shù). (2)普通方程化參數(shù)方程:如果x=f(t),把它代入普通 方程,求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關系y=g(t),則得曲線 的參數(shù)方程,3.直線、圓與橢圓的普通方程和參數(shù)方程,【特別提醒】 1.將參數(shù)方程化為普通方程時,要注意防止變量x和y取值范圍的擴大或縮小,必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍,確定函數(shù)f(t)和g(t)的值域,即x和y的取值范圍.,2.直線的參數(shù)方程中,參數(shù)t的系數(shù)的平方和為1時,t才 有幾何意義且?guī)缀我饬x為:|t|是直線上任一點M(x,y) 到M0(x0,y0)的距離.,考向一 直線的參數(shù)方程與應用 【典例1】(2015陜西高考)在直角坐標系xOy中,直線 l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),以原點為極點,x 軸的正半軸為極軸建立極坐標系,☉C的極坐標方程為 ρ=2 sinθ.,(1)寫出☉C的直角坐標方程. (2)P為直線l上一動點,當P到圓心C的距離最小時,求點P的直角坐標.,【解題導引】(1)利用直角坐標與極坐標的關系進行代換即得. (2)直角坐標與極坐標進行坐標代換后,利用兩點間的距離公式可求解.,【規(guī)范解答】 (1)由ρ=2 sinθ,得ρ2=2 ρsinθ, 從而有x2+y2=2 y,所以x2+(y- )2=3. (2)設P ,又C(0, ), 則|PC|= 故當t=0時,|PC|取得最小值, 此時P點的坐標為(3,0).,【規(guī)律方法】直線的參數(shù)方程在交點問題中的應用 已知直線l經(jīng)過點M0(x0,y0),傾斜角為α,點M(x,y)為l 上任意一點,則直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)).,(1)若M1,M2是直線l上的兩個點,對應的參數(shù)分別為t1, t2,則 (2)若線段M1M2的中點為M3,點M1,M2,M3對應的參數(shù)分別 為t1,t2,t3,則t3= (3)若直線l上的線段M1M2的中點為M0(x0,y0),則t1+t2=0, t1t20.,【變式訓練】(2016臨汾模擬)已知直線l經(jīng)過點 P(1,1),傾斜角α= . (1)寫出直線l的參數(shù)方程. (2)設直線l與圓x2+y2=4相交于A,B兩點,求點P到A,B兩點的距離之積.,【解析】(1)直線l的參數(shù)方程為 即,(2)把直線 代入x2+y2=4, 得 =4,即t2+( +1)t-2=0,故t1t2=-2, 則點P到A,B兩點的距離之積為2.,【加固訓練】 1.(2014江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中,已知直 線l的參數(shù)方程 (t是參數(shù)),直線l與拋物線 y2=4x相交于A,B兩點,求線段AB的長.,【解析】把直線l:x+y=3代入拋物線y2=4x 并整理得x2-10x+9=0, 所以交點A(1,2),B(9,-6), 故|AB|=,2.(2015湖北高考改編)在直角坐標系xOy中,以O為極 點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.已知直線l的極 坐標方程為ρ(sinθ-3cosθ)=0,曲線C的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),l與C相交于A,B兩點,求|AB|的長.,【解析】由ρ(sin θ-3cos θ)=0知,直線的方程是 y=3x，由曲線C的參數(shù)方程為 ( t為參數(shù))， 消去參數(shù)得，y2-x2=4, 解方程組,得,考向二 圓的參數(shù)方程與應用 【典例2】(2015全國卷Ⅱ)在直角坐標系xOy中,曲 線C1: (t為參數(shù),且t≠0),其中0≤απ,在 以O為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2: ρ=2sinθ,C3:ρ=2 cosθ.,(1)求C2與C3交點的直角坐標. (2)若C1與C2相交于點A,C1與C3相交于點B,求|AB|的最大值.,【解題導引】(1)把曲線C2與C3的極坐標方程化為普通方程聯(lián)立求得交點坐標. (2)把曲線C1的方程化為極坐標方程與曲線C2與C3聯(lián)立可求得A,B的極坐標,進而可求|AB|的最大值.,【規(guī)范解答】(1)曲線C2的直角坐標方程為x2+y2-2y=0, 曲線C3的直角坐標方程為x2+y2-2 x=0. 聯(lián)立 解得 或 所以C2與C3交點的直角坐標為(0,0)和,(2)曲線C1的極坐標方程為θ=α(ρ∈R,ρ≠0), 其中0≤απ. 因此點A的極坐標為(2sinα,α),點B的極坐標為 (2 cosα,α). 所以|AB|=|2sinα-2 cosα|= 當α= 時,|AB|取得最大值,最大值為4.,【母題變式】 1.本例條件不變,若直線 (m為參數(shù))與曲線 C1平行,求α的值. 【解析】曲線C1為過原點的直線,直線的普通方程為 x-y-1=0,由兩直線平行得tanα=1,所以α= .,2.本例條件不變,求直線x+y-1=0被C3:ρ=2 cosθ 截得的弦長. 【解析】曲線C3的普通方程為 +y2=3,圓心到 直線的距離為 所以弦長為,【規(guī)律方法】利用圓的參數(shù)方程求最值的技巧 (1)解決與圓上的動點有關的距離取值范圍以及最大值和最小值問題,通?？梢赞D化為點與圓、直線與圓的位置關系.,(2)求距離的問題,通過設圓的參數(shù)方程,就轉化為求三角函數(shù)的值域問題. 易錯提醒:把曲線的參數(shù)方程化為普通方程或極坐標方程時易忽視參數(shù)的范圍導致出錯.,【變式訓練】(2016衡水模擬)已知直線l的參數(shù)方程 為 (t為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸的 正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為 ρ=2sinθ-2cosθ. (1)求曲線C的參數(shù)方程. (2)當α= 時,求直線l與曲線C交點的極坐標.,【解析】(1)由ρ=2sinθ-2cosθ, 可得ρ2=2ρsinθ-2ρcosθ. 所以曲線C的直角坐標方程為x2+y2=2y-2x, 標準方程為(x+1)2+(y-1)2=2. 曲線C的極坐標方程化為參數(shù)方程為 (φ為參數(shù)).,(2)當α= 時,直線l的方程為 化成普通方程為y=x+2. 由 解得 或 所以直線l與曲線C交點的極坐標分別為 ,(2,π).,【加固訓練】 1.(2014福建高考)已知直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),圓C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù)). (1)求直線l和圓C的普通方程. (2)若直線l與圓C有公共點,求實數(shù)a的取值范圍.,【解析】(1)直線l的普通方程為2x-y-2a=0, 圓C的普通方程為x2+y2=16. (2)因為直線l與圓C有公共點, 故圓C的圓心到直線l的距離d= ≤4, 解得-2 ≤a≤2 .,2.(2014全國卷Ⅱ)在直角坐標系xOy中,以坐標原點 為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,半圓C的極坐 標方程為ρ=2cosθ,θ∈ (1)求C的參數(shù)方程. (2)設點D在C上,C在D處的切線與直線l:y= x+2垂直,根據(jù)(1)中你得到的參數(shù)方程,確定D的坐標.,【解析】(1)C的普通方程為(x-1)2+y2=1(0≤y≤1). 可得C的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)，0≤t≤π).,(2)設D(1+cost,sint).由(1)知C是以G(1,0)為圓心, 1為半徑的上半圓. 因為C在點D處的切線與l垂直,所以直線GD與l的斜率 相同,tant= ,t= . 故點D的直角坐標為 ,即 .,考向三 橢圓的參數(shù)方程與應用 【典例3】在平面直角坐標系xOy中,若l: (t為 參數(shù))過橢圓C: (φ為參數(shù))的右頂點,求常數(shù) a的值.,【解題導引】把橢圓的參數(shù)方程化為普通方程,找出右 頂點,代入直線的普通方程中,即可求出a的值. 【規(guī)范解答】直線l的普通方程是x-y-a=0,橢圓C的普 通方程是 =1,其右頂點為(3,0),代入直線方程 得a=3.,【規(guī)律方法】圓與橢圓的參數(shù)方程的異同點 (1)圓與橢圓的參數(shù)方程實質都是三角代換,有關圓或橢圓上的動點距離的最大值、最小值以及取值范圍的問題,通常利用圓或橢圓的參數(shù)方程轉化為三角函數(shù)的最大值、最小值求解.,(2)圓的參數(shù)方程中的參數(shù)與橢圓的參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義不同,圓的參數(shù)方程中的參數(shù)是旋轉角,橢圓的參數(shù)方程中的參數(shù)是離心角,只有橢圓上的點在坐標軸上時,離心角才等于圓心角.,【變式訓練】(2014遼寧高考)將圓x2+y2=1上每一點的橫坐標保持不變,縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,得曲線C. (1)寫出C的參數(shù)方程. (2)設直線l:2x+y-2=0與C的交點為P1,P2,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,求過線段P1P2的中點且與l垂直的直線的極坐標方程.,【解析】(1)設(x1,y1)為圓上的點，在已知變換下 變?yōu)镃上的點(x,y). 依題意得 由x12+y12=1得 即曲線C的方程為 故C的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)).,(2)由 解得 或 不妨設P1(1,0),P2(0,2)， 則線段P1P2的中點坐標為 所求直線斜率為k= . 于是所求直線方程為y-1= 化為極坐標方程，并化簡得,【加固訓練】 已知直線l的參數(shù)方程為 曲線C的參數(shù)方程 為 設直線l與曲線C交于兩點A,B. (1)求|AB|. (2)設P為曲線C上的一點,當△ABP的面積取最大值時,求點P的坐標.,【解析】(1)由已知可得直線l的方程為x+2y=2, 曲線C的方程為 由 ?A(2,0),B(0,1),所以|AB|=,(2)設P(2cos θ,sin θ), 當sin(θ+ )=-1,即θ= 時d最大， 所以,