2019-2020年高中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料《平面幾何名定理》.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料《平面幾何名定理》 四個重要定理： 梅涅勞斯(Menelaus)定理（梅氏線） △ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上有點P、Q、R，則P、Q、R共線的充要條件是 。 塞瓦(Ceva)定理（塞瓦點） △ABC的三邊BC、CA、AB上有點P、Q、R，則AP、BQ、CR共點的充要條件是。 托勒密(Ptolemy)定理 四邊形的兩對邊乘積之和等于其對角線乘積的充要條件是該四邊形內(nèi)接于一圓。 西姆松(Simson)定理（西姆松線） 從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接圓上。 例題講解 1．設(shè)AD是△ABC的邊BC上的中線，直線CF交AD于F。求證：。 2．過△ABC的重心G的直線分別交AB、AC于E、F，交CB于D。求證：。 3．D、E、F分別在△ABC的BC、CA、AB邊上，，AD、BE、CF交成△LMN。 求S△LMN。 4．以△ABC各邊為底邊向外作相似的等腰△BCE、△CAF、△ABG。求證：AE、BF、CG相交于一點。 5．已知△ABC中，∠B=2∠C。求證：AC2=AB2+ABBC。 6．已知正七邊形A1A2A3A4A5A6A7。求證：。 7．△ABC的BC邊上的高AD的延長線交外接圓于P，作PE⊥AB于E，延長ED交AC延長線于F。 求證：BCEF=BFCE+BECF。 8．正六邊形ABCDEF的對角線AC、CE分別被內(nèi)分點M、N分成的比為AM：AC=CN：CE=k，且B、M、N共線。求k。（23-IMO-5） 9．O為△ABC內(nèi)一點，分別以da、db、dc表示O到BC、CA、AB的距離，以Ra、Rb、Rc表示O到A、B、C的距離。 求證：（1）aRa≥bdb+cdc;　　 (2) aRa≥cdb+bdc; (3) Ra+Rb+Rc≥2(da+db+dc)。 10．△ABC中，H、G、O分別為垂心、重心、外心。求證：H、G、O三點共線，且HG=2GO。（歐拉線） 11．⊙O1和⊙O2與ΔABC的三邊所在直線都相切，E、F、G、H為切點，EG、FH的延長線交于P。求證：PA⊥BC。 12．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC平分∠BAD。在CD上取一點E，BE與AC相交于F，延長DF交BC于G。求證：∠GAC=∠EAC。 例題答案： 1.分析：CEF截△ABD→（梅氏定理） 評注：也可以添加輔助線證明：過A、B、D之一作CF的平行線。 2.分析：連結(jié)并延長AG交BC于M，則M為BC的中點。 DEG截△ABM→（梅氏定理） DGF截△ACM→（梅氏定理） ∴===1 評注：梅氏定理 3. 梅氏定理 4. 塞瓦定理 5. 分析：過A作BC的平行線交△ABC的外接圓于D，連結(jié)BD。則CD=DA=AB，AC=BD。 由托勒密定理，ACBD=ADBC+CDAB。 評注：托勒密定理 6.評注：托勒密定理 7.評注：西姆松定理（西姆松線） 8.評注：面積法 9.評注：面積法 10. 評注：同一法 11. 證明：連結(jié)BD交AC于H。對△BCD用塞瓦定理，可得 因為AH是∠BAD的角平分線，由角平分線定理， 可得，故。 過C作AB的平行線交AG的延長線于I，過C作AD的平行線交AE的延長線于J。 則， 所以，從而CI=CJ。 又因為CI//AB，CJ//AD，故∠ACI=π-∠BAC=π-∠DAC=∠ACJ。 因此，△ACI≌△ACJ，從而∠IAC=∠JAC，即∠GAC=∠EAC。