線性代數(shù)第五章(第一節(jié)內(nèi)積).ppt

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第 五 章,,相似矩陣,討論矩陣在相似意義下化簡為對(duì)角矩陣的問題.,本章討論在理論上和實(shí)際應(yīng)用上都非常重,要的矩陣特征值問題, 并利用特征值的有關(guān)理論,,內(nèi)積定義,主要內(nèi)容,內(nèi)積的性質(zhì),n 維向量的長度（范數(shù)）和夾角,第 一 節(jié) 向量的內(nèi)積,向量夾角，正交向量組的性質(zhì),正交基與規(guī)范正交基,施密特正交化方法,定義1 設(shè)有 n 維向量,令 = x1y1 + x2y2 + … + xnyn , 稱為向,量 x 與 y 的內(nèi)積.,一、內(nèi)積的定義,內(nèi)積是向量的一種運(yùn)算，這種運(yùn)算也可用矩,陣記號(hào)表示.,當(dāng) x 與 y 都是列向量時(shí)，有, = xTy .,（1） =; （2） = ?; （3） = + ; （4） ? 0, 且當(dāng) x ? 0 時(shí)有 0.,下列性質(zhì)：,二、內(nèi)積的性質(zhì),設(shè) x, y, z 為 n 維向量，? 為實(shí)數(shù)，則內(nèi)積有,在解析幾何中，我們?cè)M(jìn)向量的數(shù)量積,度和夾角：,廣.,并且反過來，利用內(nèi)積來定義 n 維向量的長,念，因此只能按數(shù)量積的直角坐標(biāo)計(jì)算公式來推,維向量沒有 3 維向量那樣直觀的長度和夾角的概,所以 n 維向量的內(nèi)積是數(shù)量積的一種推廣.,但 n,( x1, x2, x3 ) (y1, y2 , y3 ) = x1y1 + x2y2 + x3y3 .,且在直角坐標(biāo)系中，有,x y = |x| |y| cos? ,,三、向量的長度和夾角,1. 向量的長度 定義2 令,‖ x ‖ 稱為 n 維向量 x 的長度 ( 或范數(shù) ).,特別地，當(dāng) ‖x‖=1 時(shí), 則稱 x 為單位向量.,顯然,當(dāng)α=0時(shí), ‖α‖=0; 當(dāng)α≠0時(shí), 則 ‖α‖0,,單位向量 稱為向量α的單位化.,2. 向量的夾角 向量的內(nèi)積滿足施瓦茨不等式 2 ? , 由此可得,(當(dāng) || x || || y || ? 0 時(shí)),,于是有下面的定義: 定義3 當(dāng) || x || ? 0, || y || ? 0 時(shí),,稱為 n 維向量 x 與 y 的夾角.,量正交.,x = 0, 則 x 與任何向量都正交, 即零向量與任何向,當(dāng) = 0 時(shí), 稱向量 x 與 y 正交.,顯然,若,1. 正交向量組的定義 定義4 由兩兩正交的非零向量構(gòu)成的向量,兩兩正交的非零向量, 則 a1 , a2 , … , ar 線性無關(guān).,定理1 若 n 維向量 a1 , a2 , … , ar 是一組,2. 正交向量組的性質(zhì),組稱為正交向量組.,四、正交向量組,設(shè)有 k1 , k2 , … , kr 使 k1a1 + k2a2 + … + krar = 0 , 那么,證明:,對(duì)任意的αi (1≤i≤r) ,,因 ≠0, 從而必有ki=0. 證畢.,例 1 已知 4 維向量空間 R4 中三個(gè)向量,正交,試求一個(gè)非零向量 a4,使 a1,a2,a3,a4兩兩正交.,令,解,則 a4 應(yīng)滿足齊次線性方程 Ax = 0, 即,解之得,1. 定義5 設(shè) a1 , a2 , … , ar 是向量空間 V ( V? Rn ),單位向量, 則稱 ε1, …, εr 是 V 的一個(gè)正交規(guī)范基.,( V?Rn ) 的一個(gè)基, 如果 ε1 , … , εr 兩兩正交, 且都是,定義 6 設(shè) n 維向量 ε1 , ε2 , … , εr 是向量空間V,a1, a2 , …, ar 是 V 的一個(gè)正交基.,的一個(gè)基, 如果 a1 , a2 , … , ar 兩兩正交, 則稱,五、正交規(guī)范基,2. 用正交規(guī)范基表示向量,即 ki = .,得 = =ki=ki,,分別用 εi 與α做內(nèi)積,a = k1ε1 + k2 ε2 + … + krεr .,示, 設(shè)表示式為,么 V 中任一向量 a 應(yīng)能由 ε1 , ε2 , … , εr 線 性 表,若 ε1 , ε2 , … , εr 是 V 的一個(gè)正交規(guī)范基, 那,六規(guī)范正交基的求法 設(shè) a1 , a2 , … , ar 是向量空間 V 的一個(gè)基, 要,正交化:,我們可以用以下方法把 a1 , a2 , … , ar 規(guī)范,… , ar 這個(gè)基規(guī)范正交化.,a1 , a2 , … , ar 等價(jià)這樣一個(gè)問題, 稱為把 a1 , a2 ,,正交的單位向量 ε1 , ε2 , … , εr , 使 ε1 , … , εr 與,求 V 的一個(gè)正交規(guī)范基.,這也就是要找一組兩兩,取 b1 = a1 ;,容易驗(yàn)證 b1 , … , br 兩兩正交, 且 b1 , … , br 與,然后只要把它們單位化, 即取,a1 , …, ar 等價(jià).,就得 V 的一個(gè)正交規(guī)范基.,bk 與 a1 , … , ak 等價(jià).,等價(jià), 還滿足對(duì)任何 k (1 ? k ? r), 向量組 b1 , … ,,正交化過程.,它不僅滿足 b1 , … , br 與 a1, … , ar,向量組 b1 , … , br 的過程稱為施密特(Schimidt),上述從線性無關(guān)向量組 a1 , … , ar 導(dǎo)出正交,綜上所述, 求向量空間 V 的一個(gè)規(guī)范正交基,的 一個(gè)規(guī)范正交基.,Step 3 : 把 正交基 b1 , … , br 單位化即得 V,得正交基 b1 , … , br ;,Step 2 : 用施密特過程把 a1 , … , ar 正交化,,Step 1 : 求 V 的任意一個(gè)基 a1 , … , ar;,可歸為以下三步:,例 2 設(shè),試用施密特正交化過程把這組向量規(guī)范正交化.,取 b1 = a1 ;,解,再把它們單位化, 取,則 ε1 , ε2 , ε3 即為所求.,例 3 已知,求一組非零向量,a2 , a3 使 a1 , a2 , a3 兩兩正交.,a2 , a3 應(yīng)滿足方程 = 0, 即,它的基礎(chǔ)解系為:,解,把基礎(chǔ)解系正交化，即為所求.,其中,于是得,亦即取,