2019-2020年高中數(shù)學(xué)《空間幾何體的表面積和體積》教案1 蘇教版必修2.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《空間幾何體的表面積和體積》教案1 蘇教版必修2 1．平面展開(kāi)圖 2．概念： 直棱柱： 正棱柱： 正棱錐： 正棱臺(tái)： 3．面積公式： S直棱柱側(cè)＝ S正棱錐側(cè)＝ S正棱臺(tái)側(cè)＝ S圓柱側(cè)＝ ＝ S圓錐側(cè)＝ ＝ S圓臺(tái)側(cè)＝ ＝ S球面＝ 相互間的關(guān)系： 4．體積公式： V長(zhǎng)方體＝ ＝ V柱體＝ V錐體＝ V臺(tái)體＝ V球＝ 相互間的關(guān)系： 空間幾何體的表面積和體積教案 例1：已知直三棱柱底面各邊的比為17∶10∶9，側(cè)棱長(zhǎng)為16 cm，全面積為1440 cm2，求底面各邊之長(zhǎng). 例2：正三棱錐底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱與底面成45角，求此棱錐的側(cè)面積與全面積. 例3：從一個(gè)正方體中，如圖那樣截去4個(gè)三棱錐后，得到一個(gè)正三棱錐A—BCD，求它的體積是正方體體積的幾分之幾？ 例4：假設(shè)正棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為2a，求對(duì)角面的面積和側(cè)面積. 例5：如圖，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，求證： （1）球的表面積等于圓柱的側(cè)面積； （2）球的表面積等于圓柱全面積的 例6：有三個(gè)球，第一個(gè)球內(nèi)切于正方體的六個(gè)面，第二個(gè)球與這個(gè)正方體各條棱都相切，第三個(gè)球過(guò)這個(gè)正方體的各頂點(diǎn)，求這三個(gè)球的表面積之比. 例7：已知圓錐的全面積是它內(nèi)切球表面積的2倍，求圓錐側(cè)面積與底面積之比. 練習(xí)： 1.已知球面上A、B、C三點(diǎn)的截面和球心的距離等于球的半徑的一半，且AB=BC=CA=2，求球的體積. 2.一個(gè)體積為8的正方體的各個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，求此球的體積. 例8：求球與它的外切圓柱、外切等邊圓錐的體積之比. 例9：半徑為R的球的內(nèi)接四面體內(nèi)有一內(nèi)切球，求這兩球的體積比？ 空間幾何體的表面積和體積教案 例1：已知直三棱柱底面各邊的比為17∶10∶9，側(cè)棱長(zhǎng)為16 cm，全面積為1440 cm2，求底面各邊之長(zhǎng). 分析：這是一道跟直棱柱側(cè)面積有關(guān)的問(wèn)題，從結(jié)論出發(fā)，欲 求底面各邊之長(zhǎng)，而各邊之比已知，可分別設(shè)為17a、10a、 9a，故只須求出參數(shù)a即可，那么如何利用已知條件去求 a呢？ ［生］設(shè)底面三邊長(zhǎng)分別是17a、10a、9a, S側(cè)＝（17a＋10a＋9a）16＝576a 設(shè)17a所對(duì)三角形內(nèi)角α， 則cosα＝＝－，sinα＝ S底＝10a9a＝36a2 ∴576a＋72a2＝1440 解得：a＝2 ∴三邊長(zhǎng)分別為34 cm，20 cm，18 cm. ［師］此題中先設(shè)出參數(shù)a，再消去參數(shù)，很有特色. 例2：正三棱錐底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱與底面成45角，求此棱錐的側(cè)面積與全面積. 分析：可根據(jù)正棱錐的側(cè)面積與全面積公式求得. 解：如圖所示，設(shè)正三棱錐S—ABC的高為SO，斜高為SD， 在Rt△SAO中，∴AO＝SAcos45 ∵AO＝AD＝a ∴SA＝a 在Rt△SBD中 SD＝ ∴S側(cè)＝3aSD＝a2. ∵S底＝a2 ∴S全＝（＋）a2 例3：從一個(gè)正方體中，如圖那樣截去4個(gè)三棱錐后，得到一個(gè)正三棱錐A—BCD，求它的體積是正方體體積的幾分之幾？ 分析：在準(zhǔn)確識(shí)圖的基礎(chǔ)上，求出所截得的每個(gè)三棱錐的 體積和正三棱錐A—BCD的體積即可. 解：設(shè)正方體體積為Sh,則每個(gè)截去的三棱錐的體積 為 Sh＝Sh. ∵三棱錐A—BCD的體積為 Sh－4Sh＝Sh. ∴正三棱錐A—BCD的體積是正方體體積的. 例4：假設(shè)正棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為2a，求對(duì)角面的面積和側(cè)面積. 解：如圖所示，在正四棱錐P—ABCD中，AB＝a，PB＝2a， 作PO⊥底面ABCD于O.連結(jié)BD，則O∈BD，且PO⊥BC， 由AB＝a，得BD＝a，在Rt△PAB中， PO2＝PB2－BO2＝（2a）2－（a）2 ∴PO＝a，S對(duì)角面＝POBD＝a2. 又作PE⊥BC于E，這時(shí)E是BC的中點(diǎn) ∴PE2＝PB2－BE2＝（2a）2－（a）2 ∴PE＝a ∴S側(cè)＝4PEBC＝a2 ∴對(duì)角面面積為a2,側(cè)面積為 a2. 例5：如圖，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，求證： （1）球的表面積等于圓柱的側(cè)面積； （2）球的表面積等于圓柱全面積的 證明：（1）設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R， 高為2R，得 S球＝4πR2，S圓柱側(cè)＝2πR2R＝4πR2 ∴S球＝S圓柱側(cè) （2）∵S圓柱全＝4πR2+2πR2＝6πR2 S球＝4πR2 ∴S球＝S圓柱全 例6：有三個(gè)球，第一個(gè)球內(nèi)切于正方體的六個(gè)面，第二個(gè)球與這個(gè)正方體各條棱都相切，第三個(gè)球過(guò)這個(gè)正方體的各頂點(diǎn)，求這三個(gè)球的表面積之比. 解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則第一個(gè)球的半徑為 ，第二個(gè)球的半徑是a，第三個(gè)球的半徑為a. ∴r1∶r2∶r3＝1∶∶ ∴S1∶S2∶S3＝1∶2∶3 例7：已知圓錐的全面積是它內(nèi)切球表面積的2倍，求圓錐側(cè)面積與底面積之比. 解：過(guò)圓錐的軸作截面截圓錐和內(nèi)切球分別得軸截面SAB和球的大圓⊙O，且⊙O為 △SAB的內(nèi)切圓. 設(shè)圓錐底面半徑為r,母線(xiàn)長(zhǎng)為l;內(nèi)切圓半徑為R，則 S錐全＝πr2＋πrl，S球＝4πR2，∴r2＋rl＝8R2 ① 又∵△SOE∽△SAO1 ∴ ② 由②得：R2＝r2代入①得：r2＋rl＝8r2，得： l＝3r ∴ ∴圓錐側(cè)面積與底面積之比為3∶1. 練習(xí)： 1.已知球面上A、B、C三點(diǎn)的截面和球心的距離等于球的半徑的一半，且AB=BC=CA=2，求球的體積. 2.一個(gè)體積為8的正方體的各個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，求此球的體積. 例8：求球與它的外切圓柱、外切等邊圓錐的體積之比. 解：如圖所示，等邊△SAB為圓錐的軸截面，此截面截圓柱得正方形C1CDD1，截球面得球的大圓圓O1. 設(shè)球的半徑O1O＝R，則它的外切圓柱的高為2R，底面半徑為R，則有 OB＝O1Ocot30＝R SO＝OBtan60＝R＝3R ∴V球＝πR3,V柱＝πR22R＝2πR3 V錐＝π（R）23R＝3πR3 ∴V球∶V柱∶V錐＝ 4∶6∶9 ［師］以上題目，通過(guò)作球及外切圓柱、等邊圓錐的公共截面暴露這些幾何體之間的相互關(guān)系. 讓我們繼續(xù)體會(huì)有關(guān)球的相接切問(wèn)題. 例9：半徑為R的球的內(nèi)接四面體內(nèi)有一內(nèi)切球，求這兩球的體積比？ 解：如圖所示，大球O的半徑為R；設(shè)正四面體 A—BCD的棱長(zhǎng)為a，它的內(nèi)切球半徑為r，依題意 BO1＝a＝a， AO1＝＝＝a 又∵BO2＝BO12＋OO12， ∴R2＝（ ∴a＝R 連結(jié)OA，OB，OC，OD，內(nèi)切球球心到正四面體各面距離為r, VO—BCD＝VO—ABC＋VO—ACD＋VO—AOB＋VO—BCD ∴ ∴r＝ ∴r＝ ∴V小球∶V大球＝π（R）3∶πR3＝1∶27 ∴內(nèi)切球與外接球的體積比為1∶27.