2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 立體幾何限時(shí)檢測(cè)(文、理).doc
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2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 立體幾何限時(shí)檢測(cè)(文、理) 一、選擇題(本大題共8小題,每小題6分,共48分;在每小題給出四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1.(xx福建省質(zhì)檢)如圖,AB是⊙O的直徑,VA垂直⊙O所在的平面,C是圓周上不同于A、B的任意一點(diǎn),M、N分別為VA、VC的中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是( ) A.MN∥AB B.MN與BC所成的角為45 C.OC⊥平面VAC D.平面VAC⊥平面VBC [答案] D [解析] 依題意,MN∥AC,又直線AC與AB相交,因此MN與AB不平行;注意到AC⊥BC,因此MN與BC所成的角是90;注意到直線OC與AC不垂直,因此OC與平面VAC不垂直;由于BC⊥AC,BC⊥VA,因此BC⊥平面VAC.又BC?平面VBC,所以平面VBC⊥平面VAC.綜上所述可知選D. 2.(xx菱湖月考)若某多面體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則此多面體的體積是( ) A.cm3 B.cm3 C.cm3 D.cm3 [答案] C [解析] 由三視圖知,該幾何體是由一個(gè)正方體割去一個(gè)角所得到的多面體,如圖,其正方體的棱長(zhǎng)為1,則該多面體的體積為13-13=cm3. 3.(文)已知某個(gè)幾何體的三視圖如下,根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸(單位:cm),可得這個(gè)幾何體的體積是( ) A.cm3 B.cm3 C.cm3 D.cm3 [答案] C [解析] 由三視圖知幾何體為三棱錐,底面等腰三角形底邊長(zhǎng)2,高為2,棱錐高為2,V=(22)2=cm3. (理)正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是棱AB上的動(dòng)點(diǎn),則直線A1D與直線C1E所成的角等于( ) A.60 B.90 C.30 D.隨點(diǎn)E的位置而變化 [答案] B [解析] ∵A1D⊥AB,A1D⊥AD1, ∴A1D⊥平面AD1C1B,∴A1D⊥C1E. 4.(文)(xx河北名校名師俱樂(lè)部模擬)一簡(jiǎn)單組合體的三視圖及尺寸如圖所示(單位:cm),該組合體的體積為( ) A.42cm3 B.48cm3 C.56cm3 D.44cm3 [答案] D [解析] 由三視圖可知該幾何體是一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為6、4、1的長(zhǎng)方體和一個(gè)直三棱柱組合而成,直三棱柱的底面是等腰三角形,三角形的底邊長(zhǎng)為4,高為5,棱柱的高為2,其體積V=146+452=44(cm3). (理)(xx鄭州市質(zhì)檢)如圖,四邊形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,BD⊥CD.將四邊形ABCD沿對(duì)角線BD折成四面體A′-BCD,使平面A′BD⊥平面BCD,則下列結(jié)論正確的是( ) A.A′C⊥BD B.∠BA′C=90 C.CA′與平面A′BD所成的角為30 D.四面體A′-BCD的體積為 [答案] B [解析] 取BD的中點(diǎn)O,∵A′B=A′D,∴A′O⊥BD,又平面A′BD⊥平面BCD,平面A′BD∩平面BCD=BD,∴A′O⊥平面BCD,∵CD⊥BD,∴OC不垂直于BD.假設(shè)A′C⊥BD,∵OC為A′C在平面BCD內(nèi)的射影,∴OC⊥BD,矛盾,∴A′C不垂直于BD,A錯(cuò)誤;∵CD⊥BD,平面A′BD⊥平面BCD,∴CD⊥平面A′BD,A′C在平面A′BD內(nèi)的射影為A′D,∵A′B=A′D=1,BD=,∴A′B⊥A′D,A′B⊥A′C,B正確;∠CA′D為直線CA′與平面A′BD所成的角,∠CA′D=45,C錯(cuò)誤;VA′-BCD=S△A′BDCD=,D錯(cuò)誤,故選B. 5.(文)(xx濟(jì)南四校聯(lián)考)已知m、n是兩條不同直線,α、β為兩個(gè)不同平面,那么使m∥α成立的一個(gè)充分條件是( ) A.m∥β,α∥β B.m⊥β,α⊥β C.m⊥n,n⊥α,m?α D.m上有不同的兩個(gè)點(diǎn)到α的距離相等 [答案] C [解析] 對(duì)于A,直線m可能位于平面α內(nèi);對(duì)于B,直線m可能位于平面α內(nèi);對(duì)于D,當(dāng)直線m與平面α相交時(shí),顯然在該直線上也能找到兩個(gè)不同的點(diǎn)到平面α的距離相等.故選C. (理)過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A,引PA⊥平面ABCD.若PA=BA,則平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是( ) A.30 B.45 C.60 D.90 [答案] B [解析] 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,不難求出平面APB與平面PCD的法向量分別為n1=(0,1,0),n2=(0,1,1),故平面ABP與平面CDP所成二面角(銳角)的余弦值為=, 故所求的二面角的大小是45. 6.如圖,在正四面體P-ABC中,D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn),下列四個(gè)結(jié)論不成立的是 ( ) A.BC∥平面PDF B.DF⊥平面PAE C.平面PDF⊥平面PAE D.平面PDE⊥平面ABC [答案] D [解析] ∵D、F分別為AB、AC的中點(diǎn),∴BC∥DF, ∵BC?平面PDF,∴BC∥平面PDF,故A正確;在正四面體中,∵E為BC中點(diǎn),易知BC⊥PE,BC⊥AE,∴BC⊥平面PAE,∵DF∥BC,∴DF⊥平面PAE,故B正確;∵DF⊥平面PAE,DF?平面PDF,∴平面PDF⊥平面PAE,∴C正確,故選D. 7.(文)如圖,在棱長(zhǎng)為5的正方體ABCD-A1B1C1D1中,EF是棱AB上的一條線段,且EF=2,Q是A1D1的中點(diǎn),點(diǎn)P是棱C1D1上的動(dòng)點(diǎn),則四面體P-QEF的體積( ) A.是變量且有最大值 B.是變量且有最小值 C.是變量且有最大值和最小值 D.是常量 [答案] D [解析] 因?yàn)镋F=2,點(diǎn)Q到AB的距離為定值,所以△QEF的面積為定值,設(shè)為S,又因?yàn)镈1C1∥AB,所以D1C1∥平面QEF;點(diǎn)P到平面QEF的距離也為定值,設(shè)為d,從而四面體P-QEF的體積為定值Sd. (理)一個(gè)四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)分別是(0,0,0)、(1,2,0)、(0,2,2)、(3,0,1),則該四面體中以yOz平面為投影面的正視圖的面積為( ) A.3 B. C.2 D. [答案] A [解析] 四個(gè)點(diǎn)在yOz平面上的正投影依次為(0,0,0),(0,2,0),(0,2,2),(0,0,1),故其面積S=(1+2)2=3. 8.(文)已知α、β、γ是三個(gè)不同的平面,命題“α∥β,且α⊥γ?β⊥γ”是真命題,如果把α、β、γ中的任意兩個(gè)換成直線,另一個(gè)保持不變,在所得的所有新命題中,真命題有( ) A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè) [答案] C [解析] 若α、β?lián)Q成直線a、b,則命題化為“a∥b,且a⊥γ?b⊥γ”,此命題為真命題;若α、γ換為直線a、b,則命題化為“a∥β,且a⊥b?b⊥β”,此命題為假命題;若β、γ換為直線a、b,則命題化為“a∥α,且b⊥α?a⊥b”,此命題為真命題,故選C. (理)如圖,在△ABC中,AB⊥AC,若AD⊥BC,則AB2=BDBC;類似地有命題:在三棱錐A-BCD中,AD⊥平面ABC,若A點(diǎn)在平面BCD內(nèi)的射影為M,則有S=S△BCMS△BCD.上述命題是( ) A.真命題 B.增加條件“AB⊥AC”才是真命題 C.增加條件“M為△BCD的垂心”才是真命題 D.增加條件“三棱錐A-BCD是正三棱錐”才是真命題 [答案] A [解析] 因?yàn)锳D⊥平面ABC,所以AD⊥AE,AD⊥BC,在△ADE中,AE2=MEDE,又A點(diǎn)在平面BCD內(nèi)的射影為M,所以AM⊥平面BCD,AM⊥BC,所以BC⊥平面ADE,所以BC⊥DE,將S△ABC、S△BCM、S△BCD分別表示出來(lái),可得S=S△BCMS△BCD,故選A. 二、填空題(本大題共2小題,每小題6分,共12分,將答案填寫(xiě)在題中橫線上.) 9.(文)已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,點(diǎn)E、F分別是棱PC、PD的中點(diǎn),則 ①棱AB與PD所在直線垂直; ②平面PBC與平面ABCD垂直; ③△PCD的面積大于△PAB的面積; ④直線AE與平面BF是異面直線. 以上結(jié)論正確的是________.(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào)) [答案]?、佗? [解析] 由條件可得AB⊥平面PAD,∴AB⊥PD,故①正確; 若平面PBC⊥平面ABCD,由PB⊥BC,得PB⊥平面ABCD,從而PA∥PB,這是不可能的,故②錯(cuò); S△PCD=CDPD,S△PAB=ABPA,由AB=CD,PD>PA知③正確; 由E、F分別是棱PC、PD的中點(diǎn),可得EF∥CD,又AB∥CD,∴EF∥AB,故AE與BF共面,④錯(cuò),故填①③. (理)如圖,正方形BCDE的邊長(zhǎng)為a,已知AB=BC,將直角△ABE沿BE邊折起,A點(diǎn)在面BCDE上的射影為D點(diǎn),則翻折后的幾何體中有如下描述: ①AB與DE所成角的正切值是; ②VB-ACE的體積是a3; ③AB∥CD; ④平面EAB⊥平面ADE; ⑤直線BA與平面ADE所成角的正弦值為. 其中正確的敘述有________(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào)). [答案]?、佗冖堍? [解析] 由題意可得如圖所示的幾何體,對(duì)于①,AB與DE所成角為∠ABC,在△ABC中,∠ACB=90,AC=a,BC=a,所以tan∠ABC=,故①正確; 對(duì)于②,VB-ACE=VA-ECB=aaa=a3,故②正確;③明顯錯(cuò)誤; 對(duì)于④,因?yàn)锳D⊥平面BCDE,所以AD⊥BE,又因?yàn)镈E⊥BE,所以BE⊥平面ADE,可得平面EAB⊥平面ADE,故④正確;對(duì)于⑤,由④可知,∠BAE即為直線BA與平面ADE所成的角,在△ABE中,∠AEB=90,AB=a,BE=a,所以sin∠BAE=,故⑤正確. 10.(xx邯鄲一模)已知直角梯形ABCD,AB⊥AD,CD⊥AD,AB=2AD=2CD=2沿AC折成三棱錐,當(dāng)三棱錐體積最大時(shí),求此時(shí)三棱錐外接球的體積________. [答案] π [解析] 在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,CD⊥AD,AB=2AD=2CD=2,∴AB=2,AD=1,CD=1,∴AC=,BC=,∴BC⊥AC,取AC的中點(diǎn)E,AB中點(diǎn)O,當(dāng)三棱錐體積最大時(shí),平面DCA⊥平面ACB,∴OA=OB=OC=OD,∴OB=1,∴V=πR3=π. 三、解答題(本大題共3小題,共40分,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟) 11.(本小題滿分13分)(文)如圖,已知矩形ABCD中,AB=10,BC=6,沿對(duì)角線BD把△ABD折起,使A點(diǎn)移到A1點(diǎn),且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上. (1)求證:BC⊥A1D; (2)求證:平面A1BC⊥平面A1BD; (3)求三棱錐A1-BCD的體積. [解析] (1)∵A1在平面BCD上的射影O在CD上, ∴A1O⊥平面BCD,又BC?平面BCD,∴BC⊥A1O. 又BC⊥CO,CO∩A1O=O,CO?平面A1CD,A1O?平面A1CD, ∴BC⊥平面A1CD,又A1D?平面A1CD,∴BC⊥A1D. (2)∵四邊形ABCD為矩形, ∴A1D⊥A1B,由(1)知BC⊥A1D. 又BC∩A1B=B,BC?平面A1BC,A1B?平面A1BC, ∴A1D⊥平面A1BC,又A1D?平面A1BD, ∴平面A1BC⊥平面A1BD. (3)∵A1D⊥平面A1BC,∴A1D⊥A1C. ∵CD=10,A1D=6,∴A1C=8, ∴VA1-BCD=VD-A1BC=686=48. (理)(xx大興區(qū)模擬)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC是等邊三角形,D是BC的中點(diǎn). (1)求證:直線A1D⊥B1C1; (2)判斷A1B與平面ADC1的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論. [解析] (1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,所以AA1⊥BC, 在等邊△ABC中,D是BC中點(diǎn),所以AD⊥BC, 因?yàn)樵谄矫鍭1AD中,A1A∩AD=A, 所以BC⊥平面A1AD, 又因?yàn)锳1D?平面A1AD,所以A1D⊥BC, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,四邊形BCC1B1是平行四邊形,所以B1C1∥BC, 所以,A1D⊥B1C1. (2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,四邊形ACC1A1是平行四邊形,在平行四邊形ACC1A1中連接A1C,交AC1于點(diǎn)O,連接DO. 故O為A1C的中點(diǎn). 在三角形A1CB中,D為BC中點(diǎn),O為A1C中點(diǎn),故DO∥A1B. 因?yàn)镈O?平面ADC1,A1B?平面ADC1, 所以,A1B∥平面ADC1, 故A1B與平面ADC1平行. 12.(本小題滿分13分)(文)如圖,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=∠ADC=90,AB=2AD=2CD=2. (1)求證:AC⊥平面BB1C1C; (2)在A1B1上是否存在一點(diǎn)P,使得DP和平面BCB1、平面ACB1都平行?證明你的結(jié)論. [解析] (1)直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,BB1⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,∴BB1⊥AC. 又∵∠BAD=∠ADC=90,AB=2AD=2CD=2, ∴AC=,∠CAB=45,∴BC=,∴BC⊥AC, 又BB1∩BC=B,BB1、BC?平面BB1C1C, ∴AC⊥平面BB1C1C; (2)存在符合條件的點(diǎn)P,且P為A1B1的中點(diǎn). 證明:∵P為A1B1的中點(diǎn), 所以PB1∥AB,且PB1=AB, 又DC∥AB,DC=AB, ∴DC∥PB1,且DC=PB1. ∴四邊形CDPB1為平行四邊形,從而CB1∥DP. 又CB1?平面ACB1,DP?平面ACB1. ∴DP∥平面ACB1,同理DP∥平面BCB1. [點(diǎn)評(píng)] (2)問(wèn)中假如存在點(diǎn)P,使得DP∥平面BCB1,DP∥平面ACB1,又∵平面BCB1∩平面ACB1=CB1,∴DP∥CB1,又CD∥PB1,故四邊形CDPB1為平行四邊形,∵A1B1=2CD,故只須P為A1B1的中點(diǎn),即有PB1綊DC,而獲解. 對(duì)于存在性命題,常常是先假設(shè)存在,把其作為一個(gè)條件與其他已知條件結(jié)合加以分析,探尋解題的思路. (理)(xx哈三中一模)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,∠BAD=60,Q為AD的中點(diǎn). (1)若PA=PD,求證:平面PQB⊥平面PAD; (2)若平面PAD⊥平面ABCD,且PA=PD=AD=2,點(diǎn)M在線段PC上,試確定點(diǎn)M的位置,使二面角M-BQ-C大小為60,并求出的值. [解析] (1)∵PA=PD,Q為AD的中點(diǎn),∴PQ⊥AD,又∵底面ABCD為菱形,∠BAD=60,∴BQ⊥AD,又PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面PQB,又∵AD?平面PAD,∴平面PQB⊥平面PAD; (2)∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PQ⊥AD, ∴PQ⊥平面ABCD.∴以Q為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以QA、QB、QP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖. 則Q(0,0,0),P(0,0,),B(0,,0),C(-2,,0),設(shè)=λ(0<λ<1), 所以M(-2λ,λ,(1-λ)),平面CBQ的一個(gè)法向量是n1=(0,0,1), 設(shè)平面MQB的一個(gè)法向量為n2=(x,y,z), 所以∴ ∴ 取n2=(,0,), 由二面角M-BQ-C大小為60,可得: =,解得λ=,此時(shí)=. 13.(本小題滿分14分)(文)(xx福建文,18)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,BC=5,DC=3,AD=4,∠PAD=60. (1)當(dāng)正視方向與向量的方向相同時(shí),畫(huà)出四棱錐P-ABCD的正視圖(要求標(biāo)出尺寸,并寫(xiě)出演算過(guò)程); (2)若M為PA的中點(diǎn),求證:DM∥平面PBC; (3)求三棱錐D-PBC的體積. [解析] (1)在梯形ABCD中,過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB,垂足為E. 由已知得,四邊形ADCE為矩形,AE=CD=3, 在Rt△BEC中,由BC=5,CE=4,依勾股定理知 BE=3,從而AB=6. 又由PD⊥平面ABCD得PD⊥AD, 從而在Rt△PDA中,由AD=4,∠PAD=60, 得PD=4. 正視圖如圖所示: (2)取PB中點(diǎn)為N,連接MN、CN. 在△PAB中,∵M(jìn)是PA中點(diǎn), ∴MN∥AB,MN=AB=3,又CD∥AB,CD=3, ∴MN∥CD,MN=CD, ∴四邊形MNCD為平行四邊形,∴DM∥CN. 又DM?平面PBC,CN?平面PBC, ∴DM∥平面PBC. (3)VD-PBC=VP-DBC=S△DBCPD, 又S△DBC=6,PD=4,所以VD-PBC=8. (理)(xx陜西理,18)如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O為底面中心,A1O⊥平面ABCD,AB=AA1=. (1)證明:A1C⊥平面BB1D1D (2)求平面OCB1與平面BB1D1D的夾角θ的大?。? [解析] 如圖建立空間直角坐標(biāo)系, 由AB=AA1=可知O(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),B1(-1,1,1),C(-1,0,0),A1(0,0,1),D1(-1,-1,1),D(0,-1,0). (1)∵=(-1,0,-1),=(0,2,0),=(-1,0,1) ∴=0,=0, 即A1C⊥DB,A1C⊥BB1且DB∩BB1=B, ∴A1C⊥平面BB1D1D (2)易求得平面OCB1的一個(gè)法向量n=(0,1,-1),平面BB1D1D的一個(gè)法向量為m=(1,0,1),所求夾角余弦值為cosθ==, 所求夾角的大小為60. 一、選擇題 1.(xx鄭州質(zhì)檢)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則這個(gè)幾何體的表面積為( ) A.6+ B.6+2 C.8+ D.8+2 [答案] D [解析] 由三視圖可知該幾何體為一橫放的直三棱柱,其中底面正對(duì)觀察者,為一直角三角形,兩直角邊長(zhǎng)分別為1,2,棱柱的高為2,故其表面積S=(2+1+)2+21=8+2. 2.(xx福州質(zhì)檢)如圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖,這個(gè)幾何體的體積是( ) A.2π B.4π C.6π D.8π [答案] D [解析] 由圖可知該幾何體是一個(gè)圓柱內(nèi)挖去一個(gè)圓錐所得的幾何體,V=V圓柱-V圓錐=π223-π223=8π,故選D. 3.(文)在正四面體(棱長(zhǎng)都相等的四面體)A-BCD中,棱長(zhǎng)為4,M是BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在線段AM上運(yùn)動(dòng)(P不與A、M重合),過(guò)點(diǎn)P作直線l⊥平面ABC,l與平面BCD交于點(diǎn)Q,給出下列命題: ①BC⊥平面AMD; ②Q點(diǎn)一定在直線DM上; ③VC-AMD=4. 其中正確的是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ [答案] A [解析] 由BC⊥AM,BC⊥MD,可得BC⊥平面AMD,即①正確;由BC⊥平面AMD可得平面AMD⊥平面ABC,則若過(guò)P作直線l⊥平面ABC,l與平面BCD交于點(diǎn)Q,Q點(diǎn)一定在直線DM上,即②正確;由VC-AMD=VC-ABD=43=,即③不正確,綜上可得正確的命題序號(hào)為①②,故應(yīng)選A. (理)(xx唐山市二模)直三棱柱ABC-A1B1C1的所有頂點(diǎn)都在半徑為的球面上,AB=AC=,AA1=2,則二面角B-AA1-C的余弦值為( ) A.- B.- C. D. [答案] D [解析] 如圖,設(shè)球心為O,底面△ABC外接圓的圓心為O′,則OA=OB=OC=,OO′=1,∴O′A=O′B=O′C=1,∴BC=,∴△ABC為正三角形,∴二面角B-AA1-C的平面角BAC=60,∴二面角B-AA1-C的余弦值為. 4.(文)設(shè)m、n是兩條不同的直線,α、β是兩個(gè)不同的平面,則下列命題不正確的是( ) A.若m⊥n,m⊥α,n?α,則n∥α B.若m⊥β,α⊥β,則m∥α或m?α C.若m⊥n,m⊥α,n⊥β,則α⊥β D.若m∥α,α⊥β,則m⊥β [答案] D [解析] 對(duì)于選項(xiàng)D,當(dāng)直線m位于平面β內(nèi)且與平面α,β的交線平行時(shí),直線m∥α,顯然m與平面β不垂直,因此選項(xiàng)D不正確. (理)(xx嘉興二測(cè))已知α、β、γ是三個(gè)不重合的平面,m、n是不重合的直線,下列判斷正確的是( ) A.若α⊥β,β⊥γ,則α∥γ B.若α⊥β,l∥β,則l∥α C.若m∥α,n∥α,則m∥n D.若m⊥α,n⊥α,則m∥n [答案] D [解析] A錯(cuò),兩平面還可垂直;B錯(cuò),還可能有l(wèi)∥α;C錯(cuò),兩直線m,n的位置關(guān)系不確定;D正確,垂直于同一平面的兩直線互相平行. 5.如圖,正△ABC的中線AF與中位線DE相交于G,已知△A′ED是△AED繞DE旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的一個(gè)圖形,下列命題中,錯(cuò)誤的是( ) A.動(dòng)點(diǎn)A′在平面ABC上的投影在線段AF上 B.恒有平面A′GF⊥平面BCED C.三棱錐A′-FED的體積有最大值 D.異面直線A′E與BD不可能垂直 [答案] D [解析] 由題意,DE⊥平面AGA′, ∴A、B、C正確,故選D. 6.(文)(xx山西太原月考)如圖所示,正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為1, E、F分別是棱AA′、CC′的中點(diǎn),過(guò)直線EF的平面分別與棱BB′、DD′交于M、N,設(shè)BM=x,x∈[0,1],給出以下四個(gè)命題: ①平面MENF⊥平面BDD′B′; ②當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí),四邊形MENF的面積最??; ③四邊形MENF周長(zhǎng)L=f(x),x∈[0,1]是單調(diào)函數(shù); ④四棱錐C′-MENF的體積V=h(x)為常函數(shù); 以上命題中假命題的序號(hào)為( ) A.①④ B.② C.③ D.③④ [答案] C [解析] AC⊥平面BDD′B′,EF∥AC,∴EF⊥平面BDD′B′,∴①正確;∵EF為所在棱的中點(diǎn),由對(duì)稱性及條件知四邊形EMFN為菱形,其面積隨著對(duì)角線MN的增大而增大,當(dāng)x=時(shí),M為BB′的中點(diǎn),此時(shí)MN取最小值,∴②正確,③錯(cuò)誤;V四棱錐C′-MENF=2VC′-MEF=2VE-MFC′為常數(shù),∴V=h(x)為常函數(shù). (理)(xx杭州質(zhì)檢)如圖,設(shè)平面α∩β=EF,AB⊥α,CD⊥α,垂足分別是B、D,如果增加一個(gè)條件,就能推出BD⊥EF,這個(gè)條件不可能是下面四個(gè)選項(xiàng)中的( ) A.AC⊥β B.AC⊥EF C.AC與BD在β內(nèi)的射影在同一條直線上 D.AC與α、β所成的角相等 [答案] D [解析] 因?yàn)锽D是AC在平面α內(nèi)的射影,所以只需得到AC⊥EF,那么由三垂線定理的逆定理可得BD⊥EF.對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)锳C⊥β,EF?β?AC⊥EF?BD⊥EF.選項(xiàng)B,因?yàn)锳C⊥EF,所以BD⊥EF.對(duì)于選項(xiàng)C,可得平面ABDC⊥β,所以BD⊥EF.對(duì)于選項(xiàng)D,AC與α、β所成的角相等,無(wú)法保證AC⊥EF.綜上知選D. 7.(文)已知某個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸,可知這個(gè)幾何體的側(cè)面積是( ) A.π B. C. D.π [答案] D [解析] 由三視圖知,該幾何體是一個(gè)圓錐,底半徑為1,高為2,母線長(zhǎng)l==,∴側(cè)面積S=π. (理)已知正四面體A-BCD,設(shè)異面直線AB與CD所成的角為α,側(cè)棱AB與底面BCD所成的角為β,側(cè)面ABC與底面BCD所成的角為γ,則( ) A.α>β>γ B.α>γ>β C.β>α>γ D.γ>β>α [答案] B [解析] 如圖,設(shè)底面BCD的中心為點(diǎn)O,連接AO,BO,易知∠ABO=β,取BC的中點(diǎn)E,連接AE、OE,易知∠AEO=γ,在正三角形BCD中,OB>OE,因此0<β<γ<,延長(zhǎng)BO交CD于F,則BF⊥CD,又AO⊥CD, ∴CD⊥平面ABF.∴CD⊥AB,即α=.∴α>γ>β. 8.(文)在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M為AB的中點(diǎn),則點(diǎn)C到平面A1DM的距離為( ) A.a B.a C.a D.a [答案] A [解析] 設(shè)點(diǎn)C到平面A1DM的距離為h,則由已知得DM=A1M==a,A1D=a,S△A1DM=a=a2,連接CM,S△CDM=a2,由VC-A1DM=VA1-CDM,得S△A1DMh=S△CDMa,即a2h=a2a,得h=a,所以點(diǎn)C到平面A1DM的距離為a,選A. (理)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,將△ABC沿對(duì)角線AC折起,使平面ABC⊥平面ACD,得到如右圖所示的三棱錐B-ACD.若O為AC邊的中點(diǎn),M、N分別為線段DC、BO上的動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn)),且BN=CM.設(shè)BN=x,則三棱錐N-AMC的體積y=f(x)的函數(shù)圖象大致是( ) [答案] B [解析] 由條件知,AC=4,BO=2,S△AMC=CMAD=x,NO=2-x,∴VN-AMC=S△AMCNO=x(2-x),即f(x)=x(2-x),故選B. 二、填空題 9.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),則三棱錐P-ABC的正(主)視圖與側(cè)(左)視圖的面積的比值為_(kāi)_______. [答案] 1 [解析] 依題意得三棱錐P-ABC的主視圖與左視圖均為三角形,且這兩個(gè)三角形的底邊長(zhǎng)都等于正方體的棱長(zhǎng),底邊上的高也都相等,因此三棱錐P-ABC的主視圖與左視圖的面積之比等于1. 10.(文)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位:m),則該幾何體的體積為_(kāi)_______m3. [答案] 30 [解析] 本題考查三視圖及柱體體積公式. 由三視圖知該幾何體由一個(gè)棱長(zhǎng)為3,4,2的長(zhǎng)方體和一個(gè)底面是直角梯形高為4的直棱柱組成,則體積V=342+14=30. [點(diǎn)評(píng)] 解決三視圖問(wèn)題應(yīng)弄清圖中各量與原幾何體的量的關(guān)系. (理)設(shè)C是∠AOB所在平面外的一點(diǎn),若∠AOB=∠BOC=∠AOC=θ,其中θ是銳角,而OC和平面AOB所成角的余弦值等于,則θ的值為_(kāi)_______. [答案] 60 [解析] 作CC1⊥平面AOB于點(diǎn)C1,C1A1⊥OA于點(diǎn)A1,C1B1⊥OB于點(diǎn)B1,連接OC1,則∠COC1為直線OC與平面AOB所成的角,且OC1是∠AOB的平分線, 設(shè)OA1=x,則OC=, OC1=, 易求得cos∠COC1===, 即2cos2-cos-1=0,解之得 cos=或cos=-(舍去), 故=30,所以θ=60. 三、解答題 11.(文)(xx威海兩校質(zhì)檢)如圖,四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,且PA=2,E是側(cè)棱PC上的動(dòng)點(diǎn). (1)求四棱錐P-ABCD的體積; (2)如果E是PA的中點(diǎn),求證PC∥平面BDE; (3)是否不論點(diǎn)E在側(cè)棱PA的任何位置,都有BD⊥CE?證明你的結(jié)論. [解析] (1)∵PA⊥平面ABCD, ∴VP-ABCD=S正方形ABCDPA=122=. 即四棱錐P-ABCD的體積為. (2)連接AC交BD于O,連接OE. ∵四邊形ABCD是正方形,∴O是AC的中點(diǎn). 又∵E是PA的中點(diǎn),∴PC∥OE. ∵PC?平面BDE,OE?平面BDE,∴PC∥平面BDE. (3)不論點(diǎn)E在何位置,都有BD⊥CE. 證明如下:∵四邊形ABCD是正方形,∴BD⊥AC. ∵PA⊥底面ABCD,且BD?平面ABCD,∴BD⊥PA. 又∵AC∩PA=A,∴BD⊥平面PAC. ∵不論點(diǎn)E在何位置,都有CE?平面PAC. ∴不論點(diǎn)E在何位置,都有BD⊥CE. (理)(xx成都一診)如圖,PO⊥平面ABCD,點(diǎn)O在AB上,EA∥PO,四邊形ABCD為直角梯形,BC⊥AB,BC=CD=BO=PO,EA=AO=CD. (1)求證:PE⊥平面PBC; (2)直線PE上是否存在點(diǎn)M,使DM∥平面PBC,若存在,求出點(diǎn)M;若不存在,說(shuō)明理由. (3)求二面角E-BD-A的余弦值. [解析] (1)證明:∵EA∥OP,AO?平面ABP, ∴點(diǎn)A,B,P,E共面. ∵PO⊥平面ABCD,PO?平面PEAB. ∴平面PEAB⊥平面ABCD, ∵BC?平面ABCD,BC⊥AB, 平面PEAB∩平面ABCD=AB, ∴BC⊥平面PEAB,∴PE⊥BC. 由平面幾何知識(shí)知PE⊥PB,又BC∩PB=B, ∴PE⊥平面PBC. (2)點(diǎn)E即為所求的點(diǎn),即點(diǎn)M與點(diǎn)E重合.取PB的中點(diǎn)F,連接EF、CF、DE,延長(zhǎng)PE交BA的延長(zhǎng)線于H,則E為PH的中點(diǎn),O為BH的中點(diǎn),∴EF綊OB, 又OB綊CD,∴EF∥CD,且EF=DC, ∴四邊形DCFE為平行四邊形,所以DE∥CF. ∵CF在平面PBC內(nèi),DE不在平面PBC內(nèi), ∴DE∥平面PBC. (3)由已知可知四邊形BCDO是正方形,顯然OD、OB、OP兩兩垂直,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)DC=1, 則B(0,1,0),D(1,0,0),E(0,-,), 設(shè)平面BDE的一個(gè)法向量為n1=(x,y,z), =(1,-1,0),=(0,-,), 即 取y=1,則x=1,z=3,從而n1=(1,1,3). 取平面ABD的一個(gè)法向量為n2=(0,0,1). cos〈n1,n2〉===, 故二面角E-BD-A的余弦值為. 12.(文)已知四棱錐P-ABCD的直觀圖和三視圖如圖所示,E是PB的中點(diǎn). (1)求三棱錐C-PBD的體積; (2)若F是BC上任一點(diǎn),求證:AE⊥PF; (3)邊PC上是否存在一點(diǎn)M,使DM∥平面EAC,并說(shuō)明理由. [解析] (1)由該四棱錐的三視圖可知,四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2和1的矩形,側(cè)棱PA⊥平面ABCD,且PA=2, ∴VC-PBD=VP-BCD=122=. (2)證明:∵BC⊥AB,BC⊥PA,AB∩PA=A. ∴BC⊥平面PAB,∴BC⊥AE, 又在△PAB中,∵PA=AB,E是PB的中點(diǎn), ∴AE⊥PB.又∵BC∩PB=B, ∴AE⊥平面PBC,且PF?平面PBC,∴AE⊥PF. (3)存在點(diǎn)M,可以使DM∥平面EAC. 連接BD,設(shè)AC∩BD=O,連接EO. 在△PBD中,EO是中位線. ∴PD∥EO, 又∵EO?平面EAC,PD?平面EAC, ∴PD∥平面EAC, ∴當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P重合時(shí),可以使DM∥平面EAC. (理)如圖①,邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中,點(diǎn)E、F分別為AB、BC的中點(diǎn),將△BEF剪去,將△AED、△DCF分別沿DE、DF折起,使A、C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)P,得一三棱錐如圖②所示. (1)求證:PD⊥EF; (2)求三棱錐P-DEF的體積; (3)求DE與平面PDF所成角的正弦值. [解析] (1)依題意知圖①折前AD⊥AE,CD⊥CF, ∴折起后PD⊥PE,PF⊥PD, ∵PE∩PF=P,∴PD⊥平面PEF. 又∵EF?平面PEF,∴PD⊥EF. (2)依題意知圖①中AE=CF=,∴PE=PF=,在△BEF中EF=BE=, 在△PEF中,PE2+PF2=EF2,∴PE⊥PF, ∴S△PEF=PEPF==, ∴VP-DEF=VD-PEF=S△PEFPD=1=. (3)由(2)知PE⊥PF,又PE⊥PD,∴PE⊥平面PDF, ∴∠PDE為DE與平面PDF所成的角. 在Rt△PDE中, ∵DE===,PE=, ∴sin∠PDE===. 13.(文)如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BB1=BC,AC1⊥平面A1BD,D為AC的中點(diǎn). (1)求證:B1C∥平面A1BD; (2)求證:B1C1⊥平面ABB1A1; (3)在CC1上是否存在一點(diǎn)E,使得∠BA1E=45,若存在,試確定E的位置,并判斷平面A1BD與平面BDE是否垂直?若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. [分析] (1)連接AB1,交A1B于M,則MD就是平面A1BD內(nèi)與B1C平行的直線;(2)需在平面ABB1A1中找兩條相交直線都與B1C1垂直,由直三棱柱的概念,知BB1⊥B1C1,另一條的尋找,從AC1⊥平面A1BD,以平行四邊形ABB1A1為正方形入手,證明A1B⊥平面AB1C1從而得出A1B⊥B1C1.(3)用余弦定理解△A1BE. [解析] (1)連接AB1與A1B相交于M,則M為A1B的中點(diǎn).連接MD,又D為AC的中點(diǎn), ∴B1C∥MD, 又B1C?平面A1BD,MD?平面A1BD,∴B1C∥平面A1BD. (2)∵AB=B1B,∴平行四邊形ABB1A1為正方形, ∴A1B⊥AB1.又∵AC1⊥平面A1BD, ∴AC1⊥A1B,∴A1B⊥平面AB1C1,∴A1B⊥B1C1. 又在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥B1C1, ∴B1C1⊥平面ABB1A1. (3)設(shè)AB=a,CE=x,∵B1C1⊥A1B1,在Rt△A1B1C1中有A1C1=a,同理A1B1=a,∴C1E=a-x, ∴A1E==, BE=, ∴在△A1BE中,由余弦定理得 BE2=A1B2+A1E2-2A1BA1Ecos45,即 a2+x2=2a2+x2+3a2-2ax-2a, ∴=2a-x, ∴x=a,即E是C1C的中點(diǎn), ∵D、E分別為AC、C1C的中點(diǎn),∴DE⊥AC1. ∵AC1⊥平面A1BD,∴DE⊥平面A1BD. 又DE?平面BDE,∴平面A1BD⊥平面BDE. [點(diǎn)評(píng)] 空間中直線與直線垂直、直線與平面垂直、平面與平面垂直三者之間可以相互轉(zhuǎn)化,每一種垂直的判定都是從某種垂直開(kāi)始轉(zhuǎn)向另一種垂直,最終達(dá)到目的,其轉(zhuǎn)化關(guān)系為線線垂直線面垂直面面垂直. (理)(xx齊魯名校聯(lián)考)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=2AA1,∠ABC=90,D是BC的中點(diǎn). (1)求證:A1B∥平面ADC1; (2)求二面角C1-AD-C的余弦值; (3)試問(wèn)線段A1B1上是否存在點(diǎn)E,使得AE與DC1成60角?若存在,確定E點(diǎn)位置;若不存在,說(shuō)明理由. [解析] (1)證明:連接A1C,交AC1于點(diǎn)O,連接OD. 由ABC-A1B1C1是直三棱柱得四邊形ACC1A1為矩形,O為A1C的中點(diǎn). 又D為BC中點(diǎn),所以O(shè)D為△A1BC中位線, 所以A1B∥OD, 所以O(shè)D?平面ADC1,A1B?平面ADC1, 所以A1B∥平面ADC1. (2)由ABC-A1B1C1是直三棱柱,且∠ABC=90,故BA、BC、BB1兩兩垂直. 如圖建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz. 設(shè)BA=2,則B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),C1(2,0,1),D(1,0,0). 所以=(1,-2,0),=(2,-2,1). 設(shè)平面ADC1的法向量為n=(x,y,z),則有 所以 取y=1,得n=(2,1,-2). 易知平面ADC的法向量為v=(0,0,1). 由二面角C1-AD-C的平面角是銳角,得 cos〈n,v〉==. 所以二面角C1-AD-C的余弦值為. (3)假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)E. 因?yàn)镋在線段A1B1上,A1(0,2,1),B1(0,0,1), 故可設(shè)E(0,λ,1),其中0≤λ≤2. 所以=(0,λ-2,1),=(1,0,1). 因?yàn)锳E與DC1成60角,所以=. 即=,解得λ=1,舍去λ=3. 所以當(dāng)點(diǎn)E為線段A1B1中點(diǎn)時(shí),AE與DC1成60角.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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