2019-2020年高三數(shù)學(xué)上冊(cè) 15.6《球面距離》教案（1） 滬教版.doc

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2019-2020年高三數(shù)學(xué)上冊(cè) 15.6《球面距離》教案（1） 滬教版 教學(xué)目標(biāo)： 1. 認(rèn)知目標(biāo)：理解球面距離的合理性，掌握幾種簡(jiǎn)單球面距離的求法,改進(jìn)有關(guān)“距離”的認(rèn)知結(jié)構(gòu)． 2. 能力目標(biāo)：滲透類(lèi)比、猜想及“數(shù)學(xué)化”的思想，提高動(dòng)手實(shí)驗(yàn)、合情推理的能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)交流能力，體驗(yàn)基本的“科研”方法． 3. 情感目標(biāo)：通過(guò)“做數(shù)學(xué)”，親歷“球面距離”的形成過(guò)程，并體驗(yàn)研究與成功的快樂(lè)，感悟“數(shù)學(xué)美”，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情，并潛移默化地得到熱愛(ài)地球、熱愛(ài)科學(xué)的德育熏陶；樹(shù)立正確的“數(shù)學(xué)觀”并初步形成創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)精神． 教學(xué)重點(diǎn)： 球面距離發(fā)現(xiàn)過(guò)程及激勵(lì)學(xué)生主動(dòng)參與、相互協(xié)作、探索研究的精神． 教學(xué)難點(diǎn): 實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化（建模），球面距離定義的合理性． 教具學(xué)具： TI-92Plus圖形計(jì)算器、計(jì)算機(jī)、實(shí)物投影儀、橡皮筋、地球儀等． 教學(xué)過(guò)程 1． 創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境 引發(fā)研究課題 教師： 同學(xué)們，今天是6月6日，請(qǐng)問(wèn)昨天（6月5日）是一個(gè)什么日子？ 學(xué)生眾：世界環(huán)境日！ 教師：對(duì)！是第30個(gè)世界環(huán)境日．聯(lián)合國(guó)環(huán)境規(guī)劃署將今年的環(huán)境日主題確定為：“讓地球充滿生機(jī)”，如果說(shuō)上個(gè)世紀(jì)是人類(lèi)環(huán)境意識(shí)覺(jué)醒的世紀(jì)，那么，新世紀(jì)將是人類(lèi)保護(hù)環(huán)境、拯救地球開(kāi)始采取切實(shí)可行的實(shí)際行動(dòng)的世紀(jì).為紀(jì)念并慶祝這一節(jié)日，我們今天研究一個(gè)關(guān)于地球的問(wèn)題． 引例（計(jì)算機(jī)演示）： 1993年4月7日,中國(guó)東方航空公司的MU583航班噴氣客機(jī)，從上海（A）飛往美國(guó)洛杉磯（B），因受強(qiáng)氣流影響，被迫在美國(guó)阿拉斯加州阿留申群島（C）的某空軍基地緊急降落．經(jīng)過(guò)緊急處置，除60名傷員仍留在阿拉斯加的安克雷奇醫(yī)院中之外，其余173名旅客已于4月9日到達(dá)洛杉磯．（用FLASH軟件制作演示文稿：世界政區(qū)圖及客機(jī)動(dòng)畫(huà)模型,略）. 學(xué)生觀察后提出問(wèn)題：從世界地圖（平面）上看似乎沿北緯300的圓“直行”最近，可為什么從上海飛往洛杉磯的飛機(jī)會(huì)迫降在東北方向的阿拉斯加呢？這豈不是在繞遠(yuǎn)道嗎？ 老師：同學(xué)們，生活中處處有數(shù)學(xué)，就看我們是否有發(fā)現(xiàn)的眼睛了．對(duì)于這一現(xiàn)象我們?cè)撟龊谓忉屇?？我們能用?shù)學(xué)的觀點(diǎn)給出一個(gè)合理、科學(xué)的解釋嗎？進(jìn)而，我們能把這個(gè)問(wèn)題一般化嗎？ （回答多種多樣，但最終統(tǒng)一到選擇航線的主要標(biāo)準(zhǔn)是什么？——行程盡可能短．問(wèn)題的一般化——球面上兩地間的最短路線是什么？） 師：那么，怎樣的航線可能最短呢？ 生1：沿緯線圈走可能短些． 生2：不對(duì)，從上海飛往洛杉磯的飛機(jī)繞道東北方向的阿拉斯加這一現(xiàn)象，可以說(shuō)明沿緯線圈走不是最短． 生3：對(duì)地球上任意兩點(diǎn)來(lái)說(shuō)，并不是都有同一緯線經(jīng)過(guò)它們，所以沿緯線圈走不可能總是最短． 師：非常好！同學(xué)們的討論說(shuō)明這是一個(gè)值得研究的問(wèn)題．即，到底什么是球面上兩點(diǎn)間的最短路線?目前還不知道，那么,能否想起與這個(gè)問(wèn)題類(lèi)似而已經(jīng)研究過(guò)的問(wèn)題嗎？ 生4：螞蟻在正方體的表面上從一個(gè)頂點(diǎn)爬行到相對(duì)頂點(diǎn)的最短路線問(wèn)題． 生5：在圓錐、圓臺(tái)側(cè)面上爬行也可提出類(lèi)似的問(wèn)題． 生6：上述問(wèn)題的解決方法是相同的，都是將空間圖形展開(kāi)成平面圖形，利用兩點(diǎn)之間線段最短，使問(wèn)題獲解． 師：非常好！對(duì)我們的問(wèn)題有幫助嗎？ 生7：把球面展成平面圖形…… 生8：球面不能展成平面圖形！ 師：有這方面的經(jīng)驗(yàn)嗎？ 生9：吃剩下的西瓜皮無(wú)論怎樣切，它總是展不平． 師：對(duì)，球面是不可展的，這一點(diǎn)與多面體、圓柱、圓錐、圓臺(tái)有本質(zhì)的不同．那么，這些問(wèn)題的解決方法對(duì)我們現(xiàn)在的問(wèn)題有幫助嗎？ 學(xué)生10：有！前面那幾個(gè)“最短路線”都是“平面曲線”它類(lèi)似于直線，因此，可猜想球面上兩點(diǎn)間最短的路線也是一條類(lèi)似于“直線段”的曲線的長(zhǎng)，它可能是某個(gè)平面與球面的交線，也就是一條特殊圓弧的長(zhǎng)． 師：好極了，經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)都告訴我們，球面上兩點(diǎn)間最短的路線應(yīng)是一條特殊圓弧．而在球面上經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的圓弧有無(wú)數(shù)多條，哪一條最短？同學(xué)們，數(shù)學(xué)是一種活動(dòng)，不僅應(yīng)該動(dòng)腦，也應(yīng)該動(dòng)手，請(qǐng)同學(xué)們以小組為單位，動(dòng)手探索球面上兩點(diǎn)間的最短路線，并給出你的猜想． 2．動(dòng)手實(shí)驗(yàn) 探索新知 學(xué)生以小組為單位，利用地球儀、橡皮筋,協(xié)作實(shí)驗(yàn)探索，2～3分鐘后， 學(xué)生11、12到前面提供了實(shí)驗(yàn)1: 一位同學(xué)將橡皮筋的兩頭分別置于地球儀的上海和洛杉磯處(此時(shí)橡皮筋已被伸長(zhǎng)),另一同學(xué)將橡皮筋在球面上來(lái)回移動(dòng)，由于“摩擦力”的作用，橡皮筋并不是總回到“理想”位置，兩同學(xué)面露難色．此時(shí)，一位女生跑上前去，提起橡皮筋的中部再突然放開(kāi),由于彈性的作用, 橡皮筋停止于最短的狀態(tài)（同學(xué)們報(bào)以熱烈掌聲，團(tuán)結(jié)協(xié)作精神也體現(xiàn)的淋漓盡致）． 由經(jīng)驗(yàn)猜想:沿橡皮筋這條弧線航行行程最短． 師：wonderful！同學(xué)們，科學(xué)需要觀察，但觀察并不總是可靠的，眼睛有時(shí)也會(huì)欺騙我們．誰(shuí)能進(jìn)一步說(shuō)明或者推翻他們的這一結(jié)論？ 生13：（實(shí)驗(yàn)2）借助TI-92Plus圖形計(jì)算器中“幾何畫(huà)板”功能，做出以線段AB為公共弦的若干圓，并用畫(huà)板中的度量功能，分別測(cè)算出這幾個(gè)圓中AB弦所對(duì)的劣弧的長(zhǎng)，不難發(fā)現(xiàn)，較大的圓中AB弦所對(duì)的劣弧的長(zhǎng)較小． （用實(shí)物投影儀演示,如圖1） 猜想1：以線段AB為公共弦的若干個(gè)圓，以半徑較大的圓中AB弦所對(duì)的劣弧長(zhǎng)較小. 生14：由于地球上大圓的半徑最大，根據(jù)上述猜想1，學(xué)生11、12的結(jié)論是正確的，即地球上兩地間的最短路線就是經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的劣弧． 3．思辯論證，得出結(jié)論 師：經(jīng)過(guò)上面的實(shí)驗(yàn)和探索，我們已基本上“認(rèn)同”了上述猜想，但“認(rèn)同”畢竟不是“論證”．?dāng)?shù)學(xué)的一大特征是它的邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性．我們能證明這一猜想嗎？首先，我們要先弄清問(wèn)題（將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化—建模）． 生15：（實(shí)物投影）如圖，AB是圓O1和圓O2的公共弦，O2A＞O1A， 求證：． 分析：分析：設(shè)∠A O1B=2α，∠A O2B=2β，O2A=R,O1A=r, 則0＜β＜α＜，0＜ r＜R．欲證，，即：2αr＞2βR（公式化），也就是，α＞β， ＞，或證，＜．又因?yàn)閥=（0＜x＜是單調(diào)減函數(shù)，所以，問(wèn)題得證． 在球面上，由于，大圓的半徑最大，所以，大圓中所對(duì)的劣弧最短． 師：同學(xué)15用他濃郁的家鄉(xiāng)話再一次向我們展示了他的聰明才智．但，我們也注意到在他的證明中用到了“（0＜x＜是單調(diào)減函數(shù)”這一結(jié)論，而它的證明有一定的困難，我們能檢驗(yàn)這一結(jié)論嗎？ 生16：能！用TI圖形計(jì)算器，從下圖示中，我們不難發(fā)現(xiàn)函數(shù)（0＜x＜是單調(diào)減函數(shù)． 師：漂亮！這從“形”的方面支持了同學(xué)15的證明是正確的，若那位同學(xué)能從“數(shù)”的一面給出證明，將顯得嚴(yán)謹(jǐn)有力．由于時(shí)間的關(guān)系，這個(gè)問(wèn)題留給感興趣的同學(xué)課下研究． 師：我們已證明了上述猜想是正確的，那么，我們給球面上任兩點(diǎn)這一條最短的路線的長(zhǎng)度取個(gè)什么名字呢？ 生眾：兩點(diǎn)間的球面距離． （多媒體演示課題：球面距離） 師：好，請(qǐng)同學(xué)們用數(shù)學(xué)語(yǔ)言陳述球面距離的定義． 生17： …（投影球面距離的定義，略） 師：由上不難知道，為什么飛機(jī)、輪船都是盡可能以大圓劣弧為航線了． 4．看圖辨析 強(qiáng)化概念 師：請(qǐng)同學(xué)們觀察下列球面模型（多媒體演示，略）中，標(biāo)出的弧AnB的長(zhǎng)是不是A、B兩點(diǎn)的球面距離？ 同學(xué)通過(guò)觀察、比較總結(jié)出球面距離概念的內(nèi)涵：（1）A、B兩點(diǎn)必須在大圓上;（2）是大圓在這兩點(diǎn)間的劣弧（或不超過(guò)半圓?。┑拈L(zhǎng)度 . 5．距離擴(kuò)張的歷程回顧 師：好，經(jīng)過(guò)同學(xué)們的探索、研究發(fā)現(xiàn)了球面距離的概念，擴(kuò)大了知識(shí)、提高了能力．請(qǐng)回憶,以前我們還學(xué)習(xí)了哪幾種幾何基本對(duì)象間的距離？它們有什么共同的特征？ 經(jīng)過(guò)學(xué)生的討論可以回憶出下面各種距離：（演示文稿） 兩點(diǎn)間的距離 點(diǎn)到直線的距離 　 異面直線間的距離 點(diǎn)到平面的距離 　 平行直線間的距離 平行平面間的離 　 平行于平面的直線與平面間的距離 共同的特征：存在性、最小性、唯一性，是一條特殊線段的長(zhǎng)． 師：正如同學(xué)們總結(jié)的那樣，以前各種“距離”都是一條特殊線段的長(zhǎng)，而“球面距離”卻是一條特殊的圓弧長(zhǎng)．但是，它們都是平面“曲線”,具有 “最小性”和“唯一性”，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)概念“和諧發(fā)展”． 6．例題分類(lèi) 尋求解法 師：數(shù)學(xué)來(lái)源于生產(chǎn)與科研實(shí)踐，又服務(wù)于生產(chǎn)與科研實(shí)踐． 例1． 東方明珠香港于97年7月1日回歸祖國(guó)，之前京九鐵路也已全面貫通．請(qǐng)計(jì)算北京（約北緯400、東經(jīng)1160）與香港（約北緯220、東經(jīng)1160）的距離大約是多少千米？ 例2． 求上海到洛杉磯的距離．（上海和洛杉磯的緯度差不多都在北緯300 稍北的位置，而上海的經(jīng)度為東經(jīng)1200稍偏東，洛杉磯的經(jīng)度為西經(jīng)1200稍偏西）． 例3． xx年的奧運(yùn)會(huì)在雅典舉行，xx年的奧運(yùn)會(huì)在北京舉行．請(qǐng)計(jì)算北京與雅典之間的距離．（供學(xué)有余力的同學(xué)課后研究） 同學(xué)們借TI圖形計(jì)算器分組得出了例1、例2的答案，為規(guī)范書(shū)寫(xiě)格式提供“標(biāo)準(zhǔn)”答案仍是必要的（用文稿演示，略）． 師：例3的解決有一定的困難，請(qǐng)有興趣的同學(xué)課下研究，我期待著你們的成功．從經(jīng)緯度來(lái)看，球面距離問(wèn)題可分為幾種類(lèi)型？如何解決？ 生18：1.同經(jīng)度不同緯度的兩地間的距離—經(jīng)度差的絕對(duì)值乘以地球半徑；2.同緯度不同經(jīng)度的兩地間的距離—先在緯度圈（小圓）中求出弦長(zhǎng)，再在大圓中求出這兩點(diǎn)的球心角，進(jìn)而求出劣弧的長(zhǎng)，即：線段AB的長(zhǎng)——→∠AOB的弧度數(shù)——→大圓劣弧AB的長(zhǎng)；3.經(jīng)、緯度都不同度的兩地間的距離． 生19：計(jì)算球面距離的關(guān)鍵是先求出此兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的球心角，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求出劣弧長(zhǎng)，即這兩點(diǎn)的球面距離． 師：非常好！同學(xué)們先做后說(shuō)，提煉出了程序性、操作性的方法，這就是算法． 7.課題小結(jié) 交流體驗(yàn) 師：同學(xué)們，一節(jié)課在不知不覺(jué)中就要過(guò)去了，愉快的時(shí)光總是顯得那么短暫．下面就請(qǐng)同學(xué)們小結(jié)一下，你有何收獲和體驗(yàn)？ 生：…… 師：隨便說(shuō)，一句不少，十句不多． 生20：數(shù)學(xué)無(wú)處不在、無(wú)處沒(méi)有．現(xiàn)實(shí)生活中存在著大量的數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們要養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的眼光觀察、發(fā)現(xiàn)、分析、解決實(shí)際問(wèn)題的習(xí)慣，做有數(shù)學(xué)頭腦的人． 師：實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化是重要的數(shù)學(xué)能力，也是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的體現(xiàn)． 生21：這節(jié)課跟以前的數(shù)學(xué)課不大一樣，更像物理課．通過(guò)觀察、轉(zhuǎn)化、猜想、實(shí)驗(yàn)、證明，不僅知道了什么是球面距離，還了解了研究問(wèn)題的一些方法． 師：方法往往比知識(shí)重要，而探索方法的過(guò)程更重要． 生22：TI圖形計(jì)算器是我們探索數(shù)學(xué)奧秘的好幫手，能使我們更好地發(fā)現(xiàn)、探究和理解數(shù)學(xué)． 生23：這樣上課很好玩、很有趣．好像是在“做數(shù)學(xué)”． 師：樸素的語(yǔ)言，真實(shí)的感受． 以上同學(xué)都談的非常好，對(duì)體驗(yàn)、方法和球面距離的具體求法進(jìn)行了總結(jié)．我相信其他同學(xué)也定會(huì)有不少感受，這樣吧，請(qǐng)同學(xué)們課下將學(xué)習(xí)體會(huì)寫(xiě)出來(lái)，下周一交給課代表．. 結(jié)束語(yǔ)：同學(xué)們，6月5日是世界環(huán)境日，無(wú)獨(dú)有偶，每年的4月22日為世界地球日．人類(lèi)只有一個(gè)地球，為了明天更美好，為了我們的子孫后代，人類(lèi)必須“善待地球”，為此，首先要更多地了解地球，那么,我們還應(yīng)研究球體的那些問(wèn)題呢？ 生眾：面積和體積！ 師：對(duì)，下一節(jié)我們將研究這些問(wèn)題．這一節(jié)課，同學(xué)們表現(xiàn)的都非常出色，祝同學(xué)們學(xué)習(xí)成功，下課！ 案例分析 “距離”是數(shù)學(xué)中重要的“源”概念，作為中學(xué)八種距離中的最后一個(gè)的“球面距離”，因?yàn)椴荒芟衿渌嚯x那樣可以轉(zhuǎn)化成一條特殊線段的長(zhǎng)而成為學(xué)生的認(rèn)和難點(diǎn)，所以，“球面距離”對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)極富有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題．如何讓學(xué)生在愉悅的環(huán)境中主動(dòng)地對(duì)“球面距離”進(jìn)行有意義的建構(gòu)，并且在思維能力、人文素養(yǎng)等方面得到提升是本教案設(shè)計(jì)的初衷． 本課例，以現(xiàn)代建構(gòu)主義理論為指導(dǎo)，輔以TI技術(shù)教育手段，既重視了學(xué)生“知識(shí)”和“技能”的學(xué)習(xí)，又注意思想方法的滲透和使用，并且，創(chuàng)設(shè)了一個(gè)很好的情景，使得既能向?qū)W生滲透“環(huán)?！钡挠嘘P(guān)思想，又能自然地感受到拓展“距離”概念的必要性，同時(shí)，把探索發(fā)現(xiàn)“球面距離定義”的過(guò)程，作為教學(xué)重點(diǎn)，“既教猜想、又教證明”，準(zhǔn)確地抓住了實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化和定義的合理性． 對(duì)球面距離定義的合理性，學(xué)生在原有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，不難理解它的存在性和唯一性，但，對(duì)球面距離為什么是大圓劣弧的長(zhǎng)頗感困惑．美國(guó)數(shù)學(xué)家哈爾莫斯說(shuō)：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一方法是做數(shù)學(xué)”．由于TI技術(shù)能以更多的方式向?qū)W生提供刺激(多元聯(lián)系表示)，產(chǎn)生直觀豐富的形象，從不同側(cè)面認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的中的同一個(gè)對(duì)象(球面距離)，因而可以突破傳統(tǒng)技術(shù)在時(shí)空上的限制，表現(xiàn)傳統(tǒng)技術(shù)所不能表現(xiàn)的內(nèi)容．學(xué)生通過(guò)親自動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，輔以TI圖形計(jì)算器的支持，可以地看到球面距離概念的形成和發(fā)展過(guò)程，深刻理解了概念的本質(zhì)． 教材上對(duì)球面距離的處理是重計(jì)算、輕發(fā)現(xiàn)，枯燥、乏味，給人一種冰冷的感覺(jué)．而人類(lèi)(學(xué)生)對(duì)數(shù)學(xué)的思考、發(fā)現(xiàn)卻是火熱的、生動(dòng)活潑的．因此，本節(jié)課又遵循了“返璞歸真”原則，把“球面距離”的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)，“把冰冷的美麗變?yōu)榛馃岬乃伎肌保麄€(gè)教學(xué)過(guò)程，沿著發(fā)現(xiàn)問(wèn)題——提出問(wèn)題——分析問(wèn)題——探索和解決問(wèn)題的途徑展開(kāi)，在師生共同參與下，親歷了知識(shí)生長(zhǎng)(即“球面距離”概念的形成)過(guò)程，學(xué)生不僅認(rèn)識(shí)到當(dāng)前這個(gè)概念是應(yīng)運(yùn)而生，又是合理的(承襲了“距離”概念的極小性、存在性、唯一性，又有所不同——由直線段變成了圓弧的長(zhǎng))，而且，通過(guò)對(duì)拓廣與承襲關(guān)系的分析，把新舊知識(shí)聯(lián)結(jié)起來(lái)，形成更為完善的有關(guān)“距離”的認(rèn)知結(jié)構(gòu)(包括計(jì)算方法)．在親歷“球面距離”概念的形成和發(fā)展過(guò)程中，學(xué)生的創(chuàng)新精神得到了高揚(yáng)、創(chuàng)新能力得到了培養(yǎng)，特別是為每一個(gè)學(xué)生個(gè)性的充分展開(kāi)創(chuàng)造了空間，課堂上洋溢著濃郁的人文精神，體現(xiàn)著鮮明的時(shí)代特色．