2019-2020年高三數(shù)學上冊 15.6《球面距離》教案（2） 滬教版.doc

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2019-2020年高三數(shù)學上冊 15.6《球面距離》教案（2） 滬教版 授課地點：學校多媒體教室； 學生狀況：學生整體基礎(chǔ)尚好，學習勤奮，但是，思維水平差異較大．可喜的是學生普遍喜歡上數(shù)學課，并且參與意識較強，課堂上師生感情融洽、民主、平等． 教學目標： 1. 認知目標：理解球面距離的合理性，掌握幾種簡單球面距離的求法,改進有關(guān)“距離”的認知結(jié)構(gòu)． 2. 能力目標：滲透類比、猜想及“數(shù)學化”的思想，提高動手實驗、合情推理的能力，培養(yǎng)數(shù)學交流能力，體驗基本的“科研”方法． 3. 情感目標：通過“做數(shù)學”，親歷“球面距離”的形成過程，并體驗研究與成功的快樂，感悟“數(shù)學美”，激發(fā)學習熱情，并潛移默化地得到熱愛地球、熱愛科學的德育熏陶；樹立正確的“數(shù)學觀”并初步形成創(chuàng)新意識和科學精神． 教學重點： 球面距離發(fā)現(xiàn)過程及激勵學生主動參與、相互協(xié)作、探索研究的精神． 教學難點: 實際問題數(shù)學化（建模），球面距離定義的合理性． 教具學具： TI-92Plus圖形計算器、計算機、實物投影儀、橡皮筋、地球儀等． 教學過程 1． 創(chuàng)設(shè)問題情境 引發(fā)研究課題 教師： 同學們，今天是6月6日，請問昨天（6月5日）是一個什么日子？ 學生眾：世界環(huán)境日！ 教師：對！是第30個世界環(huán)境日．聯(lián)合國環(huán)境規(guī)劃署將今年的環(huán)境日主題確定為：“讓地球充滿生機”，如果說上個世紀是人類環(huán)境意識覺醒的世紀，那么，新世紀將是人類保護環(huán)境、拯救地球開始采取切實可行的實際行動的世紀.為紀念并慶祝這一節(jié)日，我們今天研究一個關(guān)于地球的問題． 引例（計算機演示）： 1993年4月7日,中國東方航空公司的MU583航班噴氣客機，從上海（A）飛往美國洛杉磯（B），因受強氣流影響，被迫在美國阿拉斯加州阿留申群島（C）的某空軍基地緊急降落．經(jīng)過緊急處置，除60名傷員仍留在阿拉斯加的安克雷奇醫(yī)院中之外，其余173名旅客已于4月9日到達洛杉磯．（用FLASH軟件制作演示文稿：世界政區(qū)圖及客機動畫模型,略）. 學生觀察后提出問題：從世界地圖（平面）上看似乎沿北緯300的圓“直行”最近，可為什么從上海飛往洛杉磯的飛機會迫降在東北方向的阿拉斯加呢？這豈不是在繞遠道嗎？ 老師：同學們，生活中處處有數(shù)學，就看我們是否有發(fā)現(xiàn)的眼睛了．對于這一現(xiàn)象我們該做何解釋呢？我們能用數(shù)學的觀點給出一個合理、科學的解釋嗎？進而，我們能把這個問題一般化嗎？ （回答多種多樣，但最終統(tǒng)一到選擇航線的主要標準是什么？——行程盡可能短．問題的一般化——球面上兩地間的最短路線是什么？） 師：那么，怎樣的航線可能最短呢？ 生1：沿緯線圈走可能短些． 生2：不對，從上海飛往洛杉磯的飛機繞道東北方向的阿拉斯加這一現(xiàn)象，可以說明沿緯線圈走不是最短． 生3：對地球上任意兩點來說，并不是都有同一緯線經(jīng)過它們，所以沿緯線圈走不可能總是最短． 師：非常好！同學們的討論說明這是一個值得研究的問題．即，到底什么是球面上兩點間的最短路線?目前還不知道，那么,能否想起與這個問題類似而已經(jīng)研究過的問題嗎？ 生4：螞蟻在正方體的表面上從一個頂點爬行到相對頂點的最短路線問題． 生5：在圓錐、圓臺側(cè)面上爬行也可提出類似的問題． 生6：上述問題的解決方法是相同的，都是將空間圖形展開成平面圖形，利用兩點之間線段最短，使問題獲解． 師：非常好！對我們的問題有幫助嗎？ 生7：把球面展成平面圖形…… 生8：球面不能展成平面圖形！ 師：有這方面的經(jīng)驗嗎？ 生9：吃剩下的西瓜皮無論怎樣切，它總是展不平． 師：對，球面是不可展的，這一點與多面體、圓柱、圓錐、圓臺有本質(zhì)的不同．那么，這些問題的解決方法對我們現(xiàn)在的問題有幫助嗎？ 學生10：有！前面那幾個“最短路線”都是“平面曲線”它類似于直線，因此，可猜想球面上兩點間最短的路線也是一條類似于“直線段”的曲線的長，它可能是某個平面與球面的交線，也就是一條特殊圓弧的長． 師：好極了，經(jīng)驗和直覺都告訴我們，球面上兩點間最短的路線應(yīng)是一條特殊圓?。谇蛎嫔辖?jīng)過兩點的圓弧有無數(shù)多條，哪一條最短？同學們，數(shù)學是一種活動，不僅應(yīng)該動腦，也應(yīng)該動手，請同學們以小組為單位，動手探索球面上兩點間的最短路線，并給出你的猜想． 2．動手實驗 探索新知 學生以小組為單位，利用地球儀、橡皮筋,協(xié)作實驗探索，2～3分鐘后， 學生11、12到前面提供了實驗1: 一位同學將橡皮筋的兩頭分別置于地球儀的上海和洛杉磯處(此時橡皮筋已被伸長),另一同學將橡皮筋在球面上來回移動，由于“摩擦力”的作用，橡皮筋并不是總回到“理想”位置，兩同學面露難色．此時，一位女生跑上前去，提起橡皮筋的中部再突然放開,由于彈性的作用, 橡皮筋停止于最短的狀態(tài)（同學們報以熱烈掌聲，團結(jié)協(xié)作精神也體現(xiàn)的淋漓盡致）． 由經(jīng)驗猜想:沿橡皮筋這條弧線航行行程最短． 師：wonderful！同學們，科學需要觀察，但觀察并不總是可靠的，眼睛有時也會欺騙我們．誰能進一步說明或者推翻他們的這一結(jié)論？ 生13：（實驗2）借助TI-92Plus圖形計算器中“幾何畫板”功能，做出以線段AB為公共弦的若干圓，并用畫板中的度量功能，分別測算出這幾個圓中AB弦所對的劣弧的長，不難發(fā)現(xiàn)，較大的圓中AB弦所對的劣弧的長較?。? （用實物投影儀演示,如圖1） 猜想1：以線段AB為公共弦的若干個圓，以半徑較大的圓中AB弦所對的劣弧長較小. 生14：由于地球上大圓的半徑最大，根據(jù)上述猜想1，學生11、12的結(jié)論是正確的，即地球上兩地間的最短路線就是經(jīng)過這兩點的大圓在這兩點間的劣?。? 3．思辯論證，得出結(jié)論 師：經(jīng)過上面的實驗和探索，我們已基本上“認同”了上述猜想，但“認同”畢竟不是“論證”．數(shù)學的一大特征是它的邏輯嚴謹性．我們能證明這一猜想嗎？ 首先，我們要先弄清問題（將實際問題數(shù)學化—建模）． 生15：（實物投影）如圖，AB是圓O1和圓O2的公共弦，O2A＞O1A， 求證：． 分析：分析：設(shè)∠A O1B=2α，∠A O2B=2β，O2A=R,O1A=r, 則0＜β＜α＜，0＜ r＜R．欲證，，即：2αr＞2βR（公式化），也就是，α＞β， ＞，或證，＜．又因為y=（0＜x＜是單調(diào)減函數(shù)，所以，問題得證． 在球面上，由于，大圓的半徑最大，所以，大圓中所對的劣弧最短． 師：同學15用他濃郁的家鄉(xiāng)話再一次向我們展示了他的聰明才智．但，我們也注意到在他的證明中用到了“（0＜x＜是單調(diào)減函數(shù)”這一結(jié)論，而它的證明有一定的困難，我們能檢驗這一結(jié)論嗎？ 生16：能！用TI圖形計算器，從下圖示中，我們不難發(fā)現(xiàn)函數(shù)（0＜x＜是單調(diào)減函數(shù)． 師：漂亮！這從“形”的方面支持了同學15的證明是正確的，若那位同學能從“數(shù)”的一面給出證明，將顯得嚴謹有力．由于時間的關(guān)系，這個問題留給感興趣的同學課下研究． 師：我們已證明了上述猜想是正確的，那么，我們給球面上任兩點這一條最短的路線的長度取個什么名字呢？ 生眾：兩點間的球面距離． （多媒體演示課題：球面距離） 師：好，請同學們用數(shù)學語言陳述球面距離的定義． 生17： …（投影球面距離的定義，略） 師：由上不難知道，為什么飛機、輪船都是盡可能以大圓劣弧為航線了． 4．看圖辨析 強化概念 師：請同學們觀察下列球面模型（多媒體演示，略）中，標出的弧AnB的長是不是A、B兩點的球面距離？ 同學通過觀察、比較總結(jié)出球面距離概念的內(nèi)涵：（1）A、B兩點必須在大圓上;（2）是大圓在這兩點間的劣弧（或不超過半圓?。┑拈L度 . 5．距離擴張的歷程回顧 師：好，經(jīng)過同學們的探索、研究發(fā)現(xiàn)了球面距離的概念，擴大了知識、提高了能力．請回憶,以前我們還學習了哪幾種幾何基本對象間的距離？它們有什么共同的特征？ 經(jīng)過學生的討論可以回憶出下面各種距離：（演示文稿） 兩點間的距離 點到直線的距離 　 異面直線間的距離 點到平面的距離 　 平行直線間的距離 平行平面間的離 　 平行于平面的直線與平面間的距離 共同的特征：存在性、最小性、唯一性，是一條特殊線段的長． 師：正如同學們總結(jié)的那樣，以前各種“距離”都是一條特殊線段的長，而“球面距離”卻是一條特殊的圓弧長．但是，它們都是平面“曲線”,具有 “最小性”和“唯一性”，體現(xiàn)了數(shù)學概念“和諧發(fā)展”． 6．例題分類 尋求解法 師：數(shù)學來源于生產(chǎn)與科研實踐，又服務(wù)于生產(chǎn)與科研實踐． 例1． 東方明珠香港于97年7月1日回歸祖國，之前京九鐵路也已全面貫通．請計算北京（約北緯400、東經(jīng)1160）與香港（約北緯220、東經(jīng)1160）的距離大約是多少千米？ 例2． 求上海到洛杉磯的距離．（上海和洛杉磯的緯度差不多都在北緯300 稍北的位置，而上海的經(jīng)度為東經(jīng)1200稍偏東，洛杉磯的經(jīng)度為西經(jīng)1200稍偏西）． 例3． xx年的奧運會在雅典舉行，xx年的奧運會在北京舉行．請計算北京與雅典之間的距離．（供學有余力的同學課后研究） 同學們借TI圖形計算器分組得出了例1、例2的答案，為規(guī)范書寫格式提供“標準”答案仍是必要的（用文稿演示，略）． 師：例3的解決有一定的困難，請有興趣的同學課下研究，我期待著你們的成功．從經(jīng)緯度來看，球面距離問題可分為幾種類型？如何解決？ 生18：1.同經(jīng)度不同緯度的兩地間的距離—經(jīng)度差的絕對值乘以地球半徑；2.同緯度不同經(jīng)度的兩地間的距離—先在緯度圈（小圓）中求出弦長，再在大圓中求出這兩點的球心角，進而求出劣弧的長，即：線段AB的長——→∠AOB的弧度數(shù)——→大圓劣弧AB的長；3.經(jīng)、緯度都不同度的兩地間的距離． 生19：計算球面距離的關(guān)鍵是先求出此兩點所對應(yīng)的球心角，再根據(jù)弧長公式即可求出劣弧長，即這兩點的球面距離． 師：非常好！同學們先做后說，提煉出了程序性、操作性的方法，這就是算法． 7.課題小結(jié) 交流體驗 師：同學們，一節(jié)課在不知不覺中就要過去了，愉快的時光總是顯得那么短暫．下面就請同學們小結(jié)一下，你有何收獲和體驗？ 生：…… 師：隨便說，一句不少，十句不多． 生20：數(shù)學無處不在、無處沒有．現(xiàn)實生活中存在著大量的數(shù)學問題，我們要養(yǎng)成用數(shù)學的眼光觀察、發(fā)現(xiàn)、分析、解決實際問題的習慣，做有數(shù)學頭腦的人． 師：實際問題數(shù)學化是重要的數(shù)學能力，也是數(shù)學素養(yǎng)的體現(xiàn)． 生21：這節(jié)課跟以前的數(shù)學課不大一樣，更像物理課．通過觀察、轉(zhuǎn)化、猜想、實驗、證明，不僅知道了什么是球面距離，還了解了研究問題的一些方法． 師：方法往往比知識重要，而探索方法的過程更重要． 生22：TI圖形計算器是我們探索數(shù)學奧秘的好幫手，能使我們更好地發(fā)現(xiàn)、探究和理解數(shù)學． 生23：這樣上課很好玩、很有趣．好像是在“做數(shù)學”． 師：樸素的語言，真實的感受． 以上同學都談的非常好，對體驗、方法和球面距離的具體求法進行了總結(jié)．我相信其他同學也定會有不少感受，這樣吧，請同學們課下將學習體會寫出來，下周一交給課代表．. 結(jié)束語：同學們，6月5日是世界環(huán)境日，無獨有偶，每年的4月22日為世界地球日．人類只有一個地球，為了明天更美好，為了我們的子孫后代，人類必須“善待地球”，為此，首先要更多地了解地球，那么,我們還應(yīng)研究球體的那些問題呢？ 生眾：面積和體積！ 師：對，下一節(jié)我們將研究這些問題．這一節(jié)課，同學們表現(xiàn)的都非常出色，祝同學們學習成功，下課！ 案例分析 “距離”是數(shù)學中重要的“源”概念，作為中學八種距離中的最后一個的“球面距離”，因為不能像其它距離那樣可以轉(zhuǎn)化成一條特殊線段的長而成為學生的認和難點，所以，“球面距離”對于學生來說是一個極富有挑戰(zhàn)性的問題．如何讓學生在愉悅的環(huán)境中主動地對“球面距離”進行有意義的建構(gòu)，并且在思維能力、人文素養(yǎng)等方面得到提升是本教案設(shè)計的初衷． 本課例，以現(xiàn)代建構(gòu)主義理論為指導(dǎo)，輔以TI技術(shù)教育手段，既重視了學生“知識”和“技能”的學習，又注意思想方法的滲透和使用，并且，創(chuàng)設(shè)了一個很好的情景，使得既能向?qū)W生滲透“環(huán)保”的有關(guān)思想，又能自然地感受到拓展“距離”概念的必要性，同時，把探索發(fā)現(xiàn)“球面距離定義”的過程，作為教學重點，“既教猜想、又教證明”，準確地抓住了實際問題數(shù)學化和定義的合理性． 對球面距離定義的合理性，學生在原有的知識和經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，不難理解它的存在性和唯一性，但，對球面距離為什么是大圓劣弧的長頗感困惑．美國數(shù)學家哈爾莫斯說：“學習數(shù)學的唯一方法是做數(shù)學”．由于TI技術(shù)能以更多的方式向?qū)W生提供刺激(多元聯(lián)系表示)，產(chǎn)生直觀豐富的形象，從不同側(cè)面認識數(shù)學的中的同一個對象(球面距離)，因而可以突破傳統(tǒng)技術(shù)在時空上的限制，表現(xiàn)傳統(tǒng)技術(shù)所不能表現(xiàn)的內(nèi)容．學生通過親自動手實驗，輔以TI圖形計算器的支持，可以地看到球面距離概念的形成和發(fā)展過程，深刻理解了概念的本質(zhì)． 教材上對球面距離的處理是重計算、輕發(fā)現(xiàn)，枯燥、乏味，給人一種冰冷的感覺．而人類(學生)對數(shù)學的思考、發(fā)現(xiàn)卻是火熱的、生動活潑的．因此，本節(jié)課又遵循了“返璞歸真”原則，把“球面距離”的學術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)，“把冰冷的美麗變?yōu)榛馃岬乃伎肌保麄€教學過程，沿著發(fā)現(xiàn)問題——提出問題——分析問題——探索和解決問題的途徑展開，在師生共同參與下，親歷了知識生長(即“球面距離”概念的形成)過程，學生不僅認識到當前這個概念是應(yīng)運而生，又是合理的(承襲了“距離”概念的極小性、存在性、唯一性，又有所不同——由直線段變成了圓弧的長)，而且，通過對拓廣與承襲關(guān)系的分析，把新舊知識聯(lián)結(jié)起來，形成更為完善的有關(guān)“距離”的認知結(jié)構(gòu)(包括計算方法)．在親歷“球面距離”概念的形成和發(fā)展過程中，學生的創(chuàng)新精神得到了高揚、創(chuàng)新能力得到了培養(yǎng)，特別是為每一個學生個性的充分展開創(chuàng)造了空間，課堂上洋溢著濃郁的人文精神，體現(xiàn)著鮮明的時代特色．