2019年高中數(shù)學(xué) 第三章 統(tǒng)計(jì)案例 3.2 獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用課時(shí)訓(xùn)練 理 新人教A版選修2-3.doc

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2019年高中數(shù)學(xué) 第三章 統(tǒng)計(jì)案例 3.2 獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用課時(shí)訓(xùn)練 理 新人教A版選修2-3 3.2獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用 1．分類變量和列聯(lián)表 （1）分類變量： 變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的__________，像這樣的變量稱為分類變量． （2）列聯(lián)表： ①定義：列出的兩個(gè)分類變量的________稱為列聯(lián)表． ②22列聯(lián)表． 一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為22列聯(lián)表）為 總計(jì) 總計(jì) 從列表中，依據(jù)與的值可直觀得出結(jié)論：兩個(gè)變量是否有關(guān)系.. 2．等高條形圖 （1）等高條形圖和表格相比，更能直觀地反映出兩個(gè)分類變量間是否__________，常用等高條形圖表示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的__________． （2）觀察等高條形圖發(fā)現(xiàn)__________和__________相差很大，就判斷兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系． 3．獨(dú)立性檢驗(yàn) 定義 利用隨機(jī)變量來判斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn) 公式 ，其中___________為樣本容量. 具體 步驟 ①確定，根據(jù)實(shí)際問題的需要，確定容許推斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤概率的上界，然后查表確定________． ②計(jì)算，利用公式計(jì)算隨機(jī)變量的觀測(cè)值為________． ③下結(jié)論，如果_________，就推斷“與有關(guān)系”，這種推斷_____________不超過；否則，就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過α的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”，或者在樣本數(shù)據(jù)中___________________支持結(jié)論“與有關(guān)系” 參考答案 1．（1）不同類別 （2）頻數(shù)表 2．（1）相互影響 頻率特征 （2） 3． 臨界值 ③觀測(cè)值 犯錯(cuò)誤的概率 沒有發(fā)現(xiàn)足夠證據(jù) 重點(diǎn) 了解分類變量的意義，會(huì)列出的列聯(lián)表，會(huì)計(jì)算，并理解其意義 難點(diǎn) 了解實(shí)際推理和假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想 易錯(cuò) 思維不清易出錯(cuò) 錯(cuò)把統(tǒng)計(jì)當(dāng)確定 1.列聯(lián)表和等高條形圖的應(yīng)用 某學(xué)校對(duì)高三學(xué)生作了一項(xiàng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：在平時(shí)的模擬考試中，性格內(nèi)向的學(xué)生426人中332人在考前心情緊張，性格外向的學(xué)生594人中有213人在考前心情緊張．作出等高條形圖，利用圖形判斷考前心情緊張與性格類別是否有關(guān)系． 【答案】詳見解析 【解析】作列聯(lián)表如下： 性格內(nèi)向 性格外向 總計(jì) 考前心情緊張 332 213 545 考前心情不緊張 94 381 475 總計(jì) 426 594 1020 相應(yīng)的等高條形圖如圖所示： 圖中陰影部分表示考前心情緊張與考前心情不緊張中性格內(nèi)向的比例．從圖中可以看出，考前緊張的樣本中性格內(nèi)向占的比例比考前心情不緊張樣本中性格內(nèi)向占的比例高，可以認(rèn)為考前緊張與性格類型有關(guān)． 【名師點(diǎn)睛】1．判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系的兩種常用方法 （1）利用數(shù)形結(jié)合思想，借助等高條形圖來判斷兩個(gè)分類變量是否相關(guān)是判斷變量相關(guān)的常見方法． （2）一般地，在等高條形圖中，與相差越大，兩個(gè)分類變量有關(guān)系的可能性就越大． 2．利用等高條形圖判斷兩個(gè)分類變量是否相關(guān)的步驟 2.獨(dú)立性檢驗(yàn) 某班主任對(duì)全班50名學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和對(duì)待班級(jí)工作的態(tài)度進(jìn)行了調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示： 積極參加班級(jí)工作 不太主動(dòng)參加班級(jí)工作 合計(jì) 學(xué)習(xí)積極性高 18 7 25 學(xué)習(xí)積極性一般 6 19 25 合計(jì) 24 26 50 （1）如果隨機(jī)抽查這個(gè)班的一名學(xué)生，那么抽到積極參加班級(jí)工作的學(xué)生的概率是多少？抽到不太主動(dòng)參加班級(jí)工作且學(xué)習(xí)積極性一般的學(xué)生的概率是多少？ （2）試運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法分析：學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與對(duì)待班級(jí)工作的態(tài)度是否有關(guān)系？并說明理由？ 參考公式及數(shù)據(jù)：，其中為樣本容量. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】詳見解析 【解析】（1）積極參加班級(jí)工作的學(xué)生有24人，總?cè)藬?shù)為50人．概率為；不太主動(dòng)參加班級(jí)工作且學(xué)習(xí)積極性一般的學(xué)生有19人，概率為. （2）由表中數(shù)據(jù)可得， ∴有99.9%的把握說學(xué)習(xí)積極性與對(duì)待班級(jí)工作的態(tài)度有關(guān)系． 【名師點(diǎn)睛】獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟： 第一步，確定分類變量，獲取樣本頻數(shù)，得到列聯(lián)表． 第二步，根據(jù)實(shí)際問題的需要確定容許推斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤概率的上界，然后查表確定臨界值． 第三步，利用公式計(jì)算隨機(jī)變量的觀測(cè)值． 第四步，作出判斷． 如果，就推斷“X與Y有關(guān)系”，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過，否則就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”，或者在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)現(xiàn)足夠證據(jù)支持結(jié)論“X與Y有關(guān)系”． 3．思維不清易出錯(cuò) 錯(cuò)把統(tǒng)計(jì)當(dāng)確定 試分析下列說法正確與否： 在用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法檢驗(yàn)?zāi)硢挝徽衅感姓ぷ魅藛T和技術(shù)工作人員所招聘的男女人數(shù)時(shí)，得到了 的觀測(cè)值為，這就證明該單位在兩類工作崗位上的招聘中一定存在性別歧視. 【錯(cuò)解】這種說法都是正確的. 【錯(cuò)因分析】統(tǒng)計(jì)思維得出的結(jié)論是帶有隨機(jī)性的、不能完全確定的結(jié)論. 錯(cuò)解中依據(jù)確定性思維對(duì)統(tǒng)計(jì)計(jì)算的結(jié)果給出了錯(cuò)誤的解釋. 【正解】說法錯(cuò)誤.根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)，當(dāng)?shù)挠^測(cè)值為時(shí)，有95%的把握認(rèn)為該單位在兩類工作崗位上的招聘中存在性別歧視，即該單位在招聘工作中存在性別歧視的嫌疑很大，概率高達(dá)95%，即使是這樣也不能100% 肯定該單位在招聘工作中存在性別歧視. 另一方面，由于男女在選擇工作崗位上的心理不同，也會(huì)造成各個(gè)崗位招聘男女人數(shù)的差異，導(dǎo)致計(jì)算的的觀測(cè)值過大，因此，單純從這個(gè)計(jì)算結(jié)果不能得出該單位在兩類工作崗位上的招聘中一定存在性別歧視的結(jié)論. 1．下列關(guān)于等高條形圖的敘述正確的是 A．從等高條形圖中可以精確地判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系 B．從等高條形圖中可以看出兩個(gè)變量頻數(shù)的相對(duì)大小 C．從等高條形圖中可以粗略地看出兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系 D．以上說法都不對(duì) 2．下面是一個(gè)22列聯(lián)表： 總計(jì) 21 73 8 25 33 總計(jì) 46 則表中a、b處的值分別為 A．94、96 B．52、50 C．52、60 D．54、52 3．利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來考慮兩個(gè)分類變量與是否有關(guān)系時(shí)，通過查閱下表來確定“和有關(guān)系”的可信度.如果，那么就有把握認(rèn)為“與有關(guān)系”的百分比為 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A．5% B．95% C．2.5% D．97.5% 4．為了調(diào)查患慢性氣管炎是否與吸煙有關(guān)，調(diào)查了339名50歲以下的人，調(diào)查結(jié)果如下表： 患慢性氣管炎 未患慢性氣管炎 合計(jì) 吸煙 43 162 205 不吸煙 13 121 134 合計(jì) 56 283 339 根據(jù)列表數(shù)據(jù)，求得的觀測(cè)值________. 5．某生產(chǎn)線上，質(zhì)量監(jiān)督員甲在生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)時(shí)，990件產(chǎn)品中有合格品982件，次品8件；不在生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)時(shí)，510件產(chǎn)品中有合格品493件，次品17件．試?yán)昧新?lián)表和等高條形圖判斷監(jiān)督員甲在不在生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量好壞有無影響． 6．調(diào)查某醫(yī)院某段時(shí)間內(nèi)嬰兒出生的時(shí)間與性別的關(guān)系，得到下面的數(shù)據(jù)：出生時(shí)間在晚上的男嬰為24人，女嬰為8人；出生時(shí)間在白天的男嬰為31人，女嬰為26人． （1）將22列聯(lián)表補(bǔ)充完整． 　　　　　　 出生時(shí)間 總計(jì) 晚上 白天 男嬰 女嬰 總計(jì) （2）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為嬰兒性別與出生時(shí)間有關(guān)系？ 7．某班主任對(duì)全班50名學(xué)生進(jìn)行了作業(yè)量多少的調(diào)查，數(shù)據(jù)如下表： 認(rèn)為作業(yè)多 認(rèn)為作業(yè)不多 總數(shù) 喜歡玩電腦游戲 18 9 27 不喜歡玩電腦游戲 8 15 23 總數(shù) 26 24 50 則認(rèn)為喜歡玩電腦游戲與認(rèn)為作業(yè)量的多少有關(guān)系的把握大約為 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A．99% B．97.5% C．95% D．無充分依據(jù) 8．兩個(gè)分類變量X、Y，它們的取值分別為x1、x2和y1、y2，其列聯(lián)表為： y1 y2 總計(jì) x1 a b a+b x2 c d c+d 總計(jì) a+c b+d a+b+c+d 若兩個(gè)分類變量X、Y獨(dú)立，則下列結(jié)論： ①；②；③；④； ⑤. 其中正確的序號(hào)是________． 9．下表是某地區(qū)的一種傳染病與飲用水的調(diào)查表： 得病 不得病 合計(jì) 干凈水 52 466 518 不干凈水 94 218 312 合計(jì) 146 684 830 （1）這種傳染病是否與飲用水的衛(wèi)生程度有關(guān)，請(qǐng)說明理由； （2）若飲用干凈水得病5人，不得病50人；飲用不干凈水得病9人，不得病22人．按此樣本數(shù)據(jù)分析這種傳染病是否與飲用水的衛(wèi)生程度有關(guān)，并比較兩種樣本在反映總體時(shí)的差異． 10．某城市隨機(jī)抽取一年(365天)內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù),結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下: 空氣質(zhì)量 優(yōu) 良 輕微污染 輕度污染 中度污染 中度重污染 重度污染 天數(shù) 4 13 18 30 9 11 15 記某企業(yè)每天由空氣污染造成的經(jīng)濟(jì)損失為(單位:元),空氣質(zhì)量指數(shù)為.在區(qū)間[0,100]對(duì)企業(yè)沒有造成經(jīng)濟(jì)損失;在區(qū)間對(duì)企業(yè)造成的經(jīng)濟(jì)損失成直線模型(當(dāng)為150時(shí)，造成的經(jīng)濟(jì)損失為500元,當(dāng)API為200時(shí),造成的經(jīng)濟(jì)損失為700元);當(dāng)大于300時(shí)造成的經(jīng)濟(jì)損失為xx元; （1）試寫出的表達(dá)式: （2）試估計(jì)在本年內(nèi)隨機(jī)抽取一天,該天經(jīng)濟(jì)損失S大于500元且不超過900元的概率; （3）若本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有30天是在供暖季,其中有8天為重度污染,完成下面22列聯(lián)表,并判斷能否有95%的把握認(rèn)為該市本年空氣重度污染與供暖有關(guān)? 非重度污染 重度污染 合計(jì) 供暖季 非供暖季 合計(jì) 100 附： P(K2 ≥ k0) 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 1．C 【解析】在等高條形圖中僅能粗略判斷兩個(gè)分類變量的關(guān)系，故A錯(cuò)，在等高條形圖中僅能夠找出頻率，無法找出頻數(shù)，故B錯(cuò). 2．C 【解析】∵，∴.又. 3．B 【解析】因?yàn)?，所以有把握認(rèn)為“與有關(guān)系”的百分比為95%.故選B. 4．7.469 【解析】. 5．【解析】根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得如下22列聯(lián)表： 分類 合格品數(shù) 次品數(shù) 總計(jì) 甲在生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng) 982 8 990 甲不在生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng) 493 17 510 總計(jì) 1475 25 1500 ∵，比較大，說明甲在不在生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)與產(chǎn)品質(zhì)量好壞有關(guān)系． 相應(yīng)的等高條形圖如圖所示． 圖中兩個(gè)陰影部分的高分別表示甲在生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)和甲不在生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)時(shí)樣品中次品數(shù)的頻率．從圖中可以看出，甲不在生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)時(shí)樣本中次品數(shù)的頻率明顯高于甲在生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)時(shí)樣本中次品數(shù)的頻率．因此可以認(rèn)為質(zhì)量監(jiān)督員甲在不在生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)與產(chǎn)品質(zhì)量好壞有關(guān)系． 6.【解析】（1）列22列聯(lián)表： 　　　　　 出生時(shí)間 總計(jì) 晚上 白天 男嬰 24 31 55 女嬰 8 26 34 總計(jì) 32 57 89 （2）由所給數(shù)據(jù)計(jì)算的觀測(cè)值 . 根據(jù)臨界值表知. 因此在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為嬰兒的性別與出生的時(shí)間有關(guān)系． 7．B 【解析】由表中數(shù)據(jù)得的觀測(cè)值.所以約有97.5%的把握認(rèn)為兩變量之間有關(guān)系． 8．①②⑤ 【解析】∵分類變量獨(dú)立，∴，化簡(jiǎn)得，故①⑤正確；②式化簡(jiǎn)得，故②正確． 9．【解析】（1）根據(jù)題目中的列聯(lián)表，及公式得. 因?yàn)?，因此我們?9.9%的把握認(rèn)為該地區(qū)這種傳染病與飲用水的衛(wèi)生程度有關(guān)． （2）依題意得22列聯(lián)表： 得病 不得病 合計(jì) 干凈水 5 50 55 不干凈水 9 22 31 合計(jì) 14 72 86 由公式得. 由，所以我們有97.5%的把握認(rèn)為該種傳染病與飲用水的衛(wèi)生程度有關(guān)． 兩個(gè)樣本都能統(tǒng)計(jì)得到傳染病與飲用水的衛(wèi)生程度有關(guān)這一相同結(jié)論，但（1）問中我們有99.9%的把握肯定結(jié)論的正確性，（2）問中我們只有97.5%的把握肯定結(jié)論的正確性． 10．【解析】（1）由題意得當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，設(shè)，由題意可知時(shí)，；時(shí)，，從而可得，解得，所以； 當(dāng)時(shí)，. 綜上可得. （2）設(shè)“在本年內(nèi)隨機(jī)抽取一天,該天經(jīng)濟(jì)損失大于500元且不超過900元”為事件, 由,即，得，對(duì)應(yīng)的頻數(shù)為39,所以. （3）根據(jù)題中數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表: 非重度污染 重度污染 合計(jì) 供暖季 22 8 30 非供暖季 63 7 70 合計(jì) 85 15 100 的觀測(cè)值， 所以有95%的把握認(rèn)為該市本年空氣重度污染與供暖有關(guān).