2019年高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布 2.3 離散型隨機(jī)變量的均值與方差課時(shí)訓(xùn)練 理 新人教A版選修2-3.doc

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2019年高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布 2.3 離散型隨機(jī)變量的均值與方差課時(shí)訓(xùn)練 理 新人教A版選修2-3 1．離散型隨機(jī)變量的均值 一般地，若離散型隨機(jī)變量的分布列為 說明：（1）均值刻畫的是取值的“中心位置”，這是隨機(jī)變量的一個(gè)重要特征；（2）根據(jù)均值的定義，可知隨機(jī)變量的分布完全確定了它的均值．但反過來，兩個(gè)不同的分布可以有相同的均值．這表明分布描述了隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律，從而也決定了隨機(jī)變量的均值．而均值只是刻畫了隨機(jī)變量取值的“中心位置”這一重要特征，并不能完全決定隨機(jī)變量的性質(zhì)． 2．均值的性質(zhì) 若，其中，是常數(shù)，是隨機(jī)變量，則也是隨機(jī)變量，且_______________． 3．常用分布的均值 （1）兩點(diǎn)分布：若隨機(jī)變量服從參數(shù)為的兩點(diǎn)分布，則_______________． （2）二項(xiàng)分布：若離散型隨機(jī)變量，則_______________． （3）二項(xiàng)分布均值公式的直觀解釋：在一次試驗(yàn)中，試驗(yàn)成功的概率是，則在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，試驗(yàn)成功的平均次數(shù)為． 注意：兩點(diǎn)分布是特殊的二項(xiàng)分布，若一次試驗(yàn)中，試驗(yàn)成功的概率是，則隨機(jī)變量等于1的概率是，隨機(jī)變量等于0的概率是． 4．離散型隨機(jī)變量的方差 一般地，若離散型隨機(jī)變量的分布列為 則稱_______________為隨機(jī)變量的方差，并稱其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差． 說明：（1）描述了1，2，…，相對(duì)于均值的偏離程度，而是上述偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機(jī)變量與其均值的平均偏離程度．隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差均反映了隨機(jī)變量取值偏離于均值的平均程度．方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越??；（2）標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量有相同的單位，而方差的單位是隨機(jī)變量單位的平方． 5．方差的性質(zhì) （1）若，其中，是常數(shù)，是隨機(jī)變量，則． （2）方差公式的變形：_______________． 6．常見分布的方差 （1）兩點(diǎn)分布：若隨機(jī)變量服從參數(shù)為的兩點(diǎn)分布，則． （2）二項(xiàng)分布：若離散型隨機(jī)變量，則_______________． 參考答案： 1． 2． 3． 4． 5． 6． 重點(diǎn) 離散型隨機(jī)變量的期望和方差的求解 難點(diǎn) 離散型隨機(jī)變量的期望和方差的性質(zhì)的運(yùn)用 易錯(cuò) 混淆常見分布的期望和方差的相關(guān)公式導(dǎo)致錯(cuò)誤 離散型隨機(jī)變量的均值與方差的求解 求離散型隨機(jī)變量的均值和方差的步驟：（1）理解的意義，寫出的所有可能取值；（2）求取每個(gè)值時(shí)的概率；（3）寫出的分布列（有時(shí)可以省略）；（4）由定義求，． 根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，某工程施工期間的降水量(單位：mm)對(duì)工期的影響如下表： 降水量 工期延誤天數(shù) 歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量小于300，700，900的概率分別為，，，求工期延誤天數(shù)的均值與方差． 【解析】（1）由已知條件和概率的加法公式有：， ， ， ， 所以的分布列為 故， ． 某農(nóng)場計(jì)劃種植某種新作物，為此對(duì)這種作物的兩個(gè)品種（分別稱為品種甲和品種乙）進(jìn)行田間試驗(yàn)．選取兩大塊地，每大塊地分成小塊地，在總共小塊地中，隨機(jī)選小塊地種植品種甲，另外小塊地種植品種乙．若，在第一大塊地中，種植品種甲的小塊地的數(shù)目記為，求的分布列、均值和方差． 【解析】隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，3，4， ，，， ，， 所以的分布列為 故， ． 離散型隨機(jī)變量均值與方差的性質(zhì) （1）口袋中有個(gè)形狀和大小完全相同的小球，編號(hào)分別為0，1，2，3，4，從中任取3個(gè)球，以表示取出球的最小號(hào)碼，則 A． B． C． D． （2）已知是離散型隨機(jī)變量，，，若，，，則 A． B． C． D．或 （3）若隨機(jī)變量，則 A．2 B．4 C．8 D．9 【答案】（1）B；（2）C；（3）B． 【解析】（1）由題易得，，， 所以，故選B． （2）因?yàn)槭请x散型隨機(jī)變量，且，，，， 所以，解得或（舍去），所以．故選C． （3）因?yàn)殡S機(jī)變量，所以，故．故選B． 袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號(hào)的有10個(gè)，記上號(hào)的有個(gè)（1，2，3，4）．現(xiàn)從袋中任取一球，用表示所取球的標(biāo)號(hào)． （1）求的分布列、均值和方差； （2）若，，，試求，的值． 【解析】（1）由題可得的所有可能取值為0，1，2，3，4， ，，，，， 所以的分布列為 故， ． （2）因?yàn)?，，，? 所以且，解得或． 【名師點(diǎn)睛】利用公式，，將求，的問題轉(zhuǎn)化為求，的問題，從而可以避免求的分布列的煩瑣的計(jì)算，解題時(shí)可根據(jù)兩者之間的關(guān)系列出等式，進(jìn)行相關(guān)計(jì)算即可． 二項(xiàng)分布的均值與方差 根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，某地車主購買甲種保險(xiǎn)的概率為，購買乙種保險(xiǎn)但不購買甲種保險(xiǎn)的概率為，假設(shè)各車主購買保險(xiǎn)相互獨(dú)立． （1）求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種的概率； （2）表示該地的200位車主中，甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購買的車主數(shù)，求的均值和方差． 【解析】設(shè)事件表示“該地的1位車主購買甲種保險(xiǎn)”， 事件表示“該地的1位車主購買乙種保險(xiǎn)但不購買甲種保險(xiǎn)”， 事件表示“該地的1位車主至少購買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種”， 事件表示“該地的1位車主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購買”，則，相互獨(dú)立． （1）由題意知，，， 則． （2）易得，則，由題意可得， 所以，． 某種有獎(jiǎng)銷售的飲料，瓶蓋內(nèi)印有“再來壹瓶”或“謝謝惠顧”字樣，購買一瓶若其瓶蓋內(nèi)印有“再來壹瓶”字樣即為中獎(jiǎng)，中獎(jiǎng)概率為．甲、乙、丙三位同學(xué)每人購買了一瓶該飲料． （1）求甲中獎(jiǎng)且乙、丙都沒有中獎(jiǎng)的概率； （2）求中獎(jiǎng)人數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望和方差． 【解析】（1）設(shè)甲、乙、丙中獎(jiǎng)的事件分別為、、，那么， 所以甲中獎(jiǎng)且乙、丙都沒有中獎(jiǎng)的概率為． （2）由題可得的所有可能取值為0，1，2，3，且0，1，2，3， 所以中獎(jiǎng)人數(shù)的分布列為 方法一：由分布列可得， ． 方法二：由題易得，故，． 【名師點(diǎn)睛】若離散型隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則其均值和方差既可以利用定義求解，也可以代入二項(xiàng)分布的均值和方差的計(jì)算公式求解． 利用均值、方差進(jìn)行決策 某突發(fā)事件，在不采取任何預(yù)防措施的情況下發(fā)生的概率為，一旦發(fā)生，將造成萬元的損失．現(xiàn)有甲、乙兩種相互獨(dú)立的預(yù)防措施可供采取，單獨(dú)采取甲、乙預(yù)防措施所需的費(fèi)用分別為萬元和萬元，采取相應(yīng)預(yù)防措施后此突發(fā)事件不發(fā)生的概率分別為和．若預(yù)防方案允許甲、乙兩種預(yù)防措施單獨(dú)采取、聯(lián)合采取或不采取，請(qǐng)確定預(yù)防方案使產(chǎn)生的總費(fèi)用最少． 【解析】①不采取預(yù)防措施時(shí)，總費(fèi)用即損失均值為(萬元)； ②若單獨(dú)采取甲預(yù)防措施，則預(yù)防措施費(fèi)用為萬元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為， 損失均值為(萬元)，所以總費(fèi)用為(萬元)； ③若單獨(dú)采取乙預(yù)防措施，則預(yù)防措施費(fèi)用為萬元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為， 損失均值為(萬元)，所以總費(fèi)用為(萬元)； ④若聯(lián)合采取甲、乙兩種預(yù)防措施，發(fā)生突發(fā)事件的概率為，則預(yù)防措施費(fèi)用為(萬元)，損失均值為(萬元)，所以總費(fèi)用為(萬元)． 綜合①②③④可知，選擇聯(lián)合采取甲、乙兩種預(yù)防措施，可使產(chǎn)生的總費(fèi)用最少． 有甲、乙兩名學(xué)生，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，他們?cè)诮獯鹜环輸?shù)學(xué)試卷時(shí)，各自的成績?cè)?0分、90分、100分的概率分布大致如下表所示： 甲 分?jǐn)?shù) 概率 乙 分?jǐn)?shù) 概率 試分析甲、乙兩名學(xué)生誰的成績好一些． 【解析】由題易得， ， ， ， 因?yàn)?，? 所以甲、乙兩人所得分?jǐn)?shù)的均值相等，但兩人的分?jǐn)?shù)的穩(wěn)定程度不同，甲學(xué)生分?jǐn)?shù)較穩(wěn)定，乙學(xué)生分?jǐn)?shù)波動(dòng)較大，所以甲學(xué)生的成績好一些． 【名師點(diǎn)睛】均值能夠反映隨機(jī)變量取值的“平均水平”，因此，當(dāng)均值不同時(shí)，兩個(gè)隨機(jī)變量取值的水平可見分曉．但有時(shí)兩個(gè)隨機(jī)變量即使均值相同，其取值差異也可能很大，此時(shí)，我們就要利用方差來反映隨機(jī)變量取值的集中程度．由此來刻畫兩個(gè)隨機(jī)變量的分布，對(duì)實(shí)際問題作出決策判斷． 超幾何分布的均值與方差 一般地，從含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則服從參數(shù)為，，的超幾何分布，其分布列為，0，1，2，…，，其中，且，，，，，求超幾何分布的均值與方差有兩種方法： （1）列出隨機(jī)變量的分布列，利用均值與方差的計(jì)算公式直接求解； （2）利用公式：，． 某學(xué)校要從5名男生和2名女生中選出2人作為世博會(huì)志愿者，若用隨機(jī)變量表示選出的志愿者中女生的人數(shù)，則（1）均值___________；（2）方差___________．(結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示) 【答案】（1）；（2）． 【解析】方法一：由題意知隨機(jī)變量服從參數(shù)為，，的超幾何分布， 的可能取值為0，1，2，因此，，， 故的分布列為 0 1 2 故，． 方法二：由題意知隨機(jī)變量服從參數(shù)為，，的超幾何分布， 直接代入超幾何分布均值和方差的計(jì)算公式可得， ． 【名師點(diǎn)睛】超幾何分布均值公式的直觀解釋：件產(chǎn)品中有件次品，從中任取1件產(chǎn)品，易知平均取到件次品；若從中任取件產(chǎn)品，則平均取到件次品． 1．下面說法中正確的是 A．離散型隨機(jī)變量的均值反映了取值的概率的平均值 B．離散型隨機(jī)變量的方差反映了取值的平均水平 C．離散型隨機(jī)變量的均值反映了取值的平均水平 D．離散型隨機(jī)變量的方差反映了取值的概率的平均值 2．已知，，則的值為 A．10 B．7 C．3 D．6 3．已知，，，則，的值分別為 A．， B．， C．， D．， 4．隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，若，，則方差 A． B． C． D． 5．現(xiàn)有10件產(chǎn)品，其中3件是次品，任取2件，若表示取到次品的個(gè)數(shù)，則______________． 6．設(shè)袋中有兩個(gè)紅球一個(gè)黑球，除顏色不同，其他均相同，現(xiàn)有放回的抽取，每次抽取一個(gè)，記下顏色后放回袋中，連續(xù)摸三次，表示三次中紅球被摸中的次數(shù)（每個(gè)小球被抽取的概率相同，每次抽取相互獨(dú)立），則方差______________． 7．若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，且，，則______________． 8．假定1500件產(chǎn)品中有100件不合格品，若從中抽取15件進(jìn)行檢查，則15件產(chǎn)品中不合格品數(shù)的均值______________． 9．某企業(yè)完成一項(xiàng)工程有三個(gè)方案，甲、乙、丙每個(gè)方案的獲利情況如下表所示： 自然狀況 方案甲 方案乙 方案丙 概率 獲利（萬元） 概率 獲利（萬元） 概率 獲利（萬元） 巨大成功 中等成功 不成功 為使企業(yè)獲利最大，該企業(yè)應(yīng)選擇哪種方案？ 10．某市為了制定合理的節(jié)電方案，供電局對(duì)居民用電情況進(jìn)行了調(diào)查，通過抽樣，獲得了某年戶居民每戶的月均用電量（單位：度），將數(shù)據(jù)按照，，，，，，，，分成9組，制成了如下圖所示的頻率分布直方圖． （1）求頻率分布直方圖中的值并估計(jì)居民月均用電量的中位數(shù)； （2）從樣本中月均用電量不低于700度的用戶中隨機(jī)抽取4戶，用表示月均用電量不低于800度的用戶數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望． 11．袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號(hào)的有5個(gè)，記上號(hào)的有個(gè)（1，2，3，4，5），現(xiàn)從袋中任取一球，用表示所取球的標(biāo)號(hào)． （1）求的分布列、均值和方差； （2）若，，，試求，的值． 12．已知某離散型隨機(jī)變量服從的分布列如下表，則隨機(jī)變量的方差等于 A． B． C． D． 13．甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分，比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或打滿6局時(shí)停止．設(shè)甲在每局中獲勝的概率為，乙在每局中獲勝的概率為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立，則比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)的期望 A． B． C． D． 14．設(shè)隨機(jī)變量的分布列為，0，1，2，…，，且，則 ______________． 15．已知是離散型隨機(jī)變量，，，，若，，，則______________． 16．已知集合，則滿足條件的事件的概率為_____________；集合的元素中含奇數(shù)的個(gè)數(shù)的期望為_____________． 17．甲、乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)，現(xiàn)分別從他們?cè)谂嘤?xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績中隨機(jī)抽取8次，記錄如下：甲：82 81 79 78 95 88 93 84 乙：92 95 80 75 83 80 90 85． （1）現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競賽，從平均狀況和方差的角度考慮，你認(rèn)為派哪位學(xué)生參加合適？請(qǐng)說明理由； （2）若將頻率視為概率，對(duì)學(xué)生甲在今后的三次數(shù)學(xué)競賽成績進(jìn)行預(yù)測(cè)，記這三次成績中高于80分的次數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望． 18．某廠有4臺(tái)大型機(jī)器，在一個(gè)月中，一臺(tái)機(jī)器至多出現(xiàn)1次故障，且每臺(tái)機(jī)器是否出現(xiàn)故障是相互獨(dú)立的，出現(xiàn)故障時(shí)需1名工人進(jìn)行維修，每臺(tái)機(jī)器出現(xiàn)故障需要維修的概率為． （1）問該廠至少有多少名維修工人才能保證每臺(tái)機(jī)器在任何時(shí)刻同時(shí)出現(xiàn)故障時(shí)能及時(shí)進(jìn)行維修的概率不小于？ （2）已知1名工人每月只有維修1臺(tái)機(jī)器的能力，每月需支付給每位工人1萬元的工資，每臺(tái)機(jī)器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障能及時(shí)維修，能使該廠產(chǎn)生5萬元的利潤，否則將不產(chǎn)生利潤．若該廠現(xiàn)有2名工人，求該廠每月獲利的均值． 19．【xx四川理】同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時(shí)，就說這次試驗(yàn)成功，則在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值是______________． 20．【xx山東理】甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語，在一輪活動(dòng)中，如果兩人都猜對(duì)，則“星隊(duì)”得3分；如果只有一個(gè)人猜對(duì)，則“星隊(duì)”得1分；如果兩人都沒猜對(duì)，則“星隊(duì)”得0分．已知甲每輪猜對(duì)的概率是，乙每輪猜對(duì)的概率是；每輪活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果亦互不影響．假設(shè)“星隊(duì)”參加兩輪活動(dòng)，求： （1）“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語的概率； （2）“星隊(duì)”兩輪得分之和的分布列和數(shù)學(xué)期望． 1．C【解析】離散型隨機(jī)變量的均值反映了取值的平均水平，它的方差反映了的取值的離散程度．故選C． 2．A【解析】由題意得，解得．故選A． 3．C【解析】由題意可得，解得，．故選C． 4．B【解析】設(shè)，，所以，解得，，所以，故選B． 5．【解析】由題意得，隨機(jī)變量的可能取值為0，1，2，，，所以．（或） 6．【解析】每次取球時(shí)，取到紅球的概率為、黑球的概率為，所以服從二項(xiàng)分布，即，所以． 7．【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，所以，，則，解得． 8．【解析】易知服從超幾何分布，，，，故． 9．方案甲的平均獲利最大，應(yīng)選擇方案甲． 【解析】用，，分別表示甲、乙、丙三個(gè)方案的獲利金額，則 采用方案甲的平均獲利為萬元； 采用方案乙的平均獲利為萬元； 采用方案丙的平均獲利為萬元， 顯然，即， 所以方案甲的平均獲利最大，應(yīng)選擇方案甲． 10．（1），中位數(shù)為度，（2）分布列見解析，． 【解析】（1）， 解得． 設(shè)中位數(shù)是度，前5組的頻率之和為， 而前4組的頻率之和為， 所以，，解得，故居民月均用電量的中位數(shù)為度． （2）200戶居民月均用電量在度的戶數(shù)是8，月均用電量在度的戶數(shù)是4． 故隨機(jī)變量的可能取值為0，1，2，3，4， ，，， ，， 所以隨機(jī)變量的分布列為 0 1 2 3 4 故． 11．（1）分布列見解析，，；（2），或，． 【解析】（1）的可能取值為0，1，2，3，4，5，且，， ，，，． 所以的分布列為 0 1 2 3 4 5 故， ． （2）由，可得，解得， 又，所以當(dāng)時(shí)，，解得； 當(dāng)時(shí)，，解得． 綜上，，或，． 12．B【解析】由可得，，所以，=，故選B．（或） 13．B【解析】依題意知，的所有可能取值為2，4，6，設(shè)每兩局比賽為一輪，則該輪結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為．若該輪結(jié)束時(shí)比賽還將繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時(shí)，該輪比賽結(jié)果對(duì)下輪比賽是否停止沒有影響，從而有，，，故．故選B． 14．【解析】易知，所以，解得，所以． 15．【解析】由，可得，求解可得． 16．【解析】由題意，無滿足條件的事件，故所求概率為；集合的元素中含奇數(shù)個(gè)數(shù)的可能情況為，對(duì)應(yīng)概率分別為，，故數(shù)學(xué)期望為． 17．（1）甲，理由見解析；（2）分布列見解析，． 【解析】（1）甲參加比較合適．理由如下： ， ， ， ， 因?yàn)椋?，所以甲的成績比較穩(wěn)定，派甲參加比較合適． （2）“甲同學(xué)在一次數(shù)學(xué)競賽中成績高于80分”為事件，則， 隨機(jī)變量的可能取值為0，1，2，3，且，所以，． 故的分布列為 0 1 2 3 所以．（或） 18．（1）；（2）萬元． 【解析】（1）設(shè)“機(jī)器出現(xiàn)故障設(shè)”為事件，則． 設(shè)出現(xiàn)故障的機(jī)器臺(tái)數(shù)為，則， ，，， ，． 故的分布列為 0 1 2 3 4 設(shè)該廠有名工人，則“每臺(tái)機(jī)器在任何時(shí)刻同時(shí)出現(xiàn)故障時(shí)能及時(shí)進(jìn)行維修”為，，，，…，，這個(gè)互斥事件的和事件，則 0 1 2 3 4 因?yàn)?，所以至少?名工人，才能保證每臺(tái)機(jī)器在任何時(shí)刻同時(shí)出現(xiàn)故障時(shí)能及時(shí)進(jìn)行維修的概率不小于． （2）設(shè)該廠獲利為萬元，則的所有可能取值為18，13，8， ， ，． 故的分布列為 18 13 8 所以，故該廠獲利的均值為萬元． 19．【解析】同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，可能的結(jié)果有（正正），（正反），（反正），（反反），所以在1次試驗(yàn)中成功的概率為，所以，，故． 20．（1）；（2）分布列見解析，． 【解析】（1）記事件：“甲第一輪猜對(duì)”，記事件：“乙第一輪猜對(duì)”，記事件：“甲第二輪猜對(duì)”，記事件：“乙第二輪猜對(duì)”，記事件：“‘星隊(duì)’至少猜對(duì)3個(gè)成語”． 由題意，． 由事件的獨(dú)立性與互斥性，可得， 所以“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語的概率為． （2）由題意，隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，3，4，6． 由事件的獨(dú)立性與互斥性，得， ， ， ， ， ， 所以隨機(jī)變量的分布列為 0 1 2 3 4 6 所以數(shù)學(xué)期望．