2019-2020年高中數(shù)學 4.1 坐標系教案 蘇教版選修4-4.doc

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2019-2020年高中數(shù)學 4.1 坐標系教案 蘇教版選修4-4 4．1.1直角坐標系 課標解讀 1.掌握在平面直角坐標系中刻畫點的位置的方法，體會坐標系的作用． 2.對具體問題，能建立適當?shù)淖鴺讼?，使所刻畫的代?shù)形式具有更簡便的結果. 1．直線坐標系 在直線上，取一個點為原點，并確定一個長度單位和直線的方向，就建立了直線上的坐標系，即數(shù)軸． 數(shù)軸上任意一點P都可以由惟一的實數(shù)x確定，x稱為點P的坐標． 2．平面直角坐標系 在平面上，取兩條互相垂直的直線的交點為原點，并確定一個長度單位和這兩條直線的方向，就建立了平面直角坐標系． 平面上任意一點P都可以由惟一的有序實數(shù)對(x，y)確定，(x，y)稱為點P的坐標． 3．空間直角坐標系 在空間中，選擇兩兩垂直且交于一點的三條直線，取這三條直線的交點為原點，并確定一個長度單位和這三條直線的方向，就建立了空間直角坐標系． 空間中任意一點P都可以由惟一的三元有序實數(shù)組(x，y，z)確定，(x，y，z)稱為點P的坐標． 1．建立適當?shù)淖鴺讼狄话阌心男┮?guī)則？ 【提示】　(1)如果圖形有對稱中心，可以選擇對稱中心為坐標原點； (2)如果圖形有對稱軸，可以選擇對稱軸為坐標軸； (3)使圖形上的特殊點盡可能多的落在坐標軸上． 2．由坐標(x，y)怎樣確定點的位置？ 【提示】　在平面直角坐標系中，分別過點M(x,0)，N(0，y)作x軸和y軸的垂線，兩條直線的交點P即(x，y)所確定的點. 建立適當?shù)淖鴺讼悼坍孅c的位置 　正方形的邊長等于4，試選擇適當?shù)淖鴺讼?，表示其頂點與中心的坐標． 【自主解答】　　法一　以正方形的一個頂點為原點，兩條鄰邊為坐標軸，且把第四個頂點放在第一象限，建立平面直角坐標系，如圖(1)所示．此時，其四個頂點的坐標分別為O(0,0)、A(4,0)、B(4,4)、C(0,4)，中心為M(2,2)． 法二　以正方形的中心為原點，且使兩條坐標軸平行于正方形的邊，建立平面直角坐標系，如圖(2)所示．此時，正方形的頂點坐標分別為A(2，－2)、B(2,2)、C(－2,2)、D(－2，－2)，中心為O(0,0)． 法三　以正方形的兩條對角線為坐標軸建立直角坐標系，如圖(3)所示．此時，正方形的頂點坐標分別為A(2，0)、B(0,2)、C(－2，0)、D(0，－2)，中心為O(0,0)．(作圖時只要以圖(2)中的原點O為圓心，OA為半徑作圓，該圓與坐標軸的四個交點即是圖(3)中正方形的各個頂點) 選擇適當?shù)淖鴺讼?，表示兩條直角邊長都為1的直角三角形的三個頂點的坐標． 【解】　法一　以直角三角形的兩條直角邊AC、BC所在直線分別為x軸、y軸，建立如圖(1)所示的平面直角坐標系，則C(0,0)，A(1,0)，B(0,1)． 法二　以斜邊AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸，建立如圖(2)所示的平面直角坐標系．則A(－，0)，B(，0)，C(0，)． 建立坐標系解決證明問題 　用解析法證明：等腰三角形底邊延長線上一點，到兩腰的距離之差等于一腰上的高． 【自主解答】　　如圖，在△ABC中，AB＝AC， P為BC延長線上一點，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CF⊥AB于F，以BC所在直線為x軸，以BC的中垂線為y軸， 建立直角坐標系，如圖所示， 設A(0，b)，B(－a,0)，C(a,0)(a＞0，b＞0)，則直線AB的方程為bx－ay＋ab＝0， 直線AC的方程為bx＋ay－ab＝0， 取P(x0,0)，使x0＞a，則點P到直線AB、AC的距離分別為 PD＝＝， PE＝＝. 點C到直線AB的距離為 CF＝＝， 則PD－PE＝＝CF. 故所需證明命題成立． 已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE分別為兩腰上的高，求證：BD＝CE. 【證明】　如圖，以BC所在直線為x軸，BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系． 設B(－a,0)，C(a,0)，A(0，h)． 則直線AC的方程為y＝－x＋h， 即：hx＋ay－ah＝0. 直線AB的方程為y＝x＋h， 即：hx－ay＋ah＝0. 由點到直線的距離公式得： BD＝， CE＝. ∴BD＝CE. 建立坐標系求軌跡方程 　如圖4－1－1所示，過點P(2,4)有兩條互相垂直的直線l1，l2，l1交x軸于A點，l2交y軸于B點，求線段AB的中點M滿足的方程． 圖4－1－1 【思路探究】　法一　設點→求斜率→斜率積為－1→整理得方程→檢查有無不適合的點→結論 法二　設M(x，y)→尋求M滿足的條件→列方程→檢查有無不適合的點→結論 法三：O，A，P，B四點共圓→PM＝MO→求kOP及OP中點坐標→點斜式寫出OP的垂直平分線方程為所求 【自主解答】　法一　設點M的坐標為(x，y)，因為M為線段AB的中點，所以點A的坐標為(2x,0)，點B的坐標為(0,2y)． 因為l1⊥l2，且l1，l2過點P(2,4)， 所以kAPkPB＝－1. 而kAP＝(x≠1)，kPB＝，所以＝－1(x≠1)，整理，得x＋2y－5＝0(x≠1)． 因為當x＝1時，點A，B的坐標分別為(2,0)，(0,4)，所以線段AB的中點坐標是(1,2)，它滿足方程x＋2y－5＝0. 綜上所述，點M滿足的方程是x＋2y－5＝0. 法二　設點M的坐標為(x，y)，則A，B兩點的坐標分別是(2x,0)，(0,2y)， 連接PM.因為l1⊥l2，所以PM＝AB. 而PM＝， AB＝， 所以2＝， 化簡，得x＋2y－5＝0，即為所求方程． 法三　因為l1⊥l2，OA⊥OB，點M為線段AB的中點，所以O，A，P，B四點共圓， 且該圓的圓心為M(x，y)，所以PM＝MO，所以點M的軌跡為線段OP的垂直平分線． 因為kOP＝＝2，OP的中點坐標為(1,2)，所以點M滿足的方程為y－2＝－(x－1)， 化簡得x＋2y－5＝0. 通過建立坐標系精確地刻畫集合圖形的位置和物體運動的軌跡的方法稱為解析法．解決此類問題的關鍵： (1)建立平面直角坐標系； (2)設點(點與坐標的對應)； (3)列式(方程與坐標的對應，列出幾何條件，并將幾何條件代數(shù)化)； (4)化簡(注意變形的等價性)； (5)證明(若保證等價變形，則此步驟可以省略)． 設圓(x－1)2＋y2＝1的圓心為C，過原點作圓的弦OA，求OA中點B的軌跡方程． 【解】　法一　(直接法)：設B點坐標為(x，y)， 由題意，得OB2＋BC2＝OC2，如圖所示， 即x2＋y2＋[(x－1)2＋y2]＝1，即OA中點B的軌跡方程為(x－)2＋y2＝(去掉原點)． 法二　(幾何法)：設B點坐標為(x，y)， 由題意知CB⊥OA，OC的中點記為M(，0)， 則MB＝OC＝， 故B點的軌跡方程為(x－)2＋y2＝(去掉原點)． 法三　(代入法)：設A點坐標為(x1，y1)，B點坐標為(x，y)， 由題意得 即 又因為(x1－1)2＋y＝1， 所以(2x－1)2＋(2y)2＝1， 即(x－)2＋y2＝(去掉原點)． 法四　(交點法)：設直線OA的方程為y＝kx， 當k＝0時，B為(1,0)；當k≠0時，直線BC的方程為： y＝－(x－1)，直線OA，BC的方程聯(lián)立消去k即得其交點軌跡方程：y2＋x(x－1)＝0，即(x－)2＋y2＝(x≠0,1)， 顯然B(1,0)滿足(x－)2＋y2＝， 故(x－)2＋y2＝(去掉原點)為所求． 　(教材第16頁習題4.1第4題)據(jù)氣象臺預報，在A市正東方300 km的B處有一臺風中心形成，并以每小時40 km的速度向西北方向移動，在距臺風中心250 km以內的地區(qū)將受其影響．問：從現(xiàn)在起經(jīng)過多少時間，臺風將影響A市，持續(xù)時間多長？ 　(xx鄭州模擬)已知B村位于A村的正西方向1公里處，原計劃經(jīng)過B村沿著北偏東60的方向埋設一條地下管線m.但在A村的西北方向400米處，發(fā)現(xiàn)一古代文物遺址W.根據(jù)初步勘察的結果，文物管理部門將遺址W周圍100米范圍劃為禁區(qū)．試問：埋設地下管線m的計劃需要修改嗎？ 【命題意圖】　本題主要考查合理建立直角坐標系，并能應用其解決實際問題的能力． 【解】　以A村為原點，直線BA為x軸，建立如圖所示的坐標系． 則點B坐標為(－1 000,0)，點W坐標為(－200，200)，由題意，管線m的斜率為k＝tan 30＝， 所以管線m所在的方程為y＝(x＋1 000)， 化簡得x－3y＋1 000＝0， 即x－y＋1 000＝0. 點W到該直線m的距離為 d＝ ＝|500－100－100|＝100(5－－)． 因為5－－＞1，所以d＞100. 故管線m不會穿過禁區(qū)，故該計劃不需要修改． 1．已知點P(－1＋2m，－3－m)在第三象限，則m的取值范圍是________． 【解析】　∵第三象限點的坐標特征是橫坐標與縱坐標均小于0， ∴即∴－3＜m＜. 【答案】　(－3，) 2．點P(2，－3，－1)關于yOz坐標平面對稱的點的坐標是________． 【解析】　∵P(x，y，z)關于平面yOz坐標平面對稱的為點P′(－x，y，z)， ∴點(2，－3，－1)關于yOz平面的對稱點為(－2，－3，－1)． 【答案】　(－2，－3，－1) 3．△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，△ABC的周長為10，則A點的軌跡方程是________． 【解析】　∵BC＝4，∴AB＋AC＝10－BC＝6＞BC， ∴A的軌跡為橢圓除去B、C兩點，∴設橢圓方程為＋＝1，故2a＝6,2c＝4，即a＝3，c＝2，∴b2＝32－22＝5. 故軌跡方程為＋＝1(y≠0)． 【答案】　＋＝1(y≠0) 4．點(－2，－3)關于直線3x＋4y＋5＝0對稱的點的坐標為________． 【解析】　設所求對稱點為(x，y)，則 解得 所求對稱點坐標為(，)． 【答案】　(，) 1．已知點Q(1,2)，求Q點關于M(3,4)的對稱點． 【解】　設點P的坐標為(x，y)， 由題意知，M是PQ的中點， 因此∴∴點P的坐標為(5,6)． 2．設△ABC的三個頂點坐標分別為A(3，－1)，B(8,2)，C(4,6)，求△ABC的面積． 【解】　如圖，作直線l：y＝－1，過點B、C向l引垂線，垂足分別為B1、C1，則△ABC的面積為 S＝S△AC1C＋S梯形C C1B1B－S△AB1B＝17＋(7＋3)4－53＝16. 3．已知點P(0,4)，求P點關于直線l：3x－y－1＝0的對稱點． 【解】　設P點關于l的對稱點Q的坐標為(a，b)，由題意得 即 解之得 ∴P點關于直線l的對稱點坐標為(3,3)． 4．已知一條長為6的線段兩端點A，B分別在x，y軸上滑動，點M在線段AB上，且AM∶MB＝1∶2，求動點M的軌跡方程．  【解】　如圖，設A(xA,0)，B(0，yB)，M(x，y)，∵AB＝6， ∴＝6，即x＋y＝36，① 又∵AM∶MB＝1∶2， ∴x＝，y＝， 即 代入①得x2＋9y2＝36， 即x2＋4y2＝16. 得動點M的軌跡方程為x2＋4y2＝16. 5．設點P是矩形ABCD所在平面上任意一點，試用解析法證明：PA2＋PC2＝PB2＋PD2. 【證明】　如圖，以(矩形的)頂點A為坐標原點，邊AB、AD所在直線分別為x軸與y軸建立平面直角坐標系，并設B(b,0)、D(0，d)，則點C的坐標為(b，d)．又設P(x，y)， 則PA2＋PC2＝x2＋y2＋(x－b)2＋(y－d)2， PB2＋PD2＝(x－b)2＋y2＋x2＋(y－d)2. 比較兩式，可知PA2＋PC2＝PB2＋PD2. 6．有相距1 400 m的A、B兩個觀察站，在A站聽到爆炸聲的時間比在B站聽到時間早4 s．已知當時聲音速度為340 m/s，試求爆炸點所在的曲線． 【解】　由題知：爆炸點P到B的距離比到A的距離多3404＝1 360米． 即PB－PA＝1 360＜1 400，PB＞PA. 故P在以A、B為焦點的雙曲線上，且離A近的一支． 以A、B兩點所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系，由題意得，2a＝1 360,2c＝1 400，故a＝680，c＝700，b2＝7002－6802＝27 600，故爆炸點所在曲線為－＝1(x＜0)． 7．在黃巖島海域執(zhí)行漁政執(zhí)法的漁政310船發(fā)現(xiàn)一艘不明船只從離小島O正東方向80海里的B處，沿東西方向向O島駛來．指揮部立即命令在島嶼O正北方向40海里的A處的我船沿直線前往攔截，以東西方向為x軸，南北方向為y軸，島嶼O為原點，建立平面直角坐標系并標出A，B兩點，若兩船行駛的速度相同，在上述 坐標系中標出我船最快攔住不明船只的位置，并求出該點的坐標． 【解】　A，B兩點如圖所示，A(0,40)，B(80,0)， ∴OA＝40(海里)，OB＝80(海里)． 我船直行到點C與不明船只相遇， 設C(x,0)， ∴OC＝x，BC＝OB－OC＝80－x. ∵兩船速度相同， ∴AC＝BC＝80－x. 在Rt△AOC中，OA2＋OC2＝AC2，即402＋x2＝(80－x)2，解得x＝30. ∴點C的坐標為(30,0)． 教師備選 8．學?？萍夹〗M在計算機上模擬航天器變軌返回試驗．設計方案如圖，航天器運行(按順時針方向)的軌跡方程為＋＝1，變軌(即航天器運行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€)后返回的軌跡是以y軸為對稱軸，M(0，)為頂點的拋物線的實線部分，降落點為D(8,0)．觀測點A(4,0)，B(6,0)． (1)求航天器變軌后的運行軌跡所在的曲線方程； (2)試問：當航天器在x軸上方時，航天器離觀測點A、B分別為多遠時，應向航天器發(fā)出變軌指令？ 【解】　(1)設曲線方程為y＝ax2＋， ∵ 點D(8,0)在拋物線上，∴a＝－， ∴曲線方程為y＝－x2＋. (2)設變軌點為C(x，y)，根據(jù)題意可知 得4y2－7y－36＝0. y＝4或y＝－(舍去)， ∴y＝4. 得x＝6或x＝－6(舍去)． ∴C點的坐標為(6,4)，AC＝2，BC＝4. 所以當航天器離觀測點A、B的距離分別為2、4時，應向航天器發(fā)出變軌指令．  4．1.2極坐標系 課標解讀 1.了解極坐標系． 2.會在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置． 3.體會在極坐標系和平面直角坐標系中刻畫點的位置的區(qū)別. 1．極坐標系 (1)在平面上取一個定點O，自點O引一條射線Ox，同時確定一個長度單位和計算角度的正方向(通常取逆時針方向為正方向)，這樣就建立了一個極坐標系．其中，點O稱為極點，射線Ox稱為極軸． (2)設M是平面上任一點，ρ表示OM的長度，θ表示以射線Ox為始邊，射線OM為終邊所成的角．那么，每一個有序實數(shù)對(ρ，θ)確定一個點的位置． ρ稱為點M的極徑，θ稱為點M的極角．有序實數(shù)對(ρ，θ)稱為點M的極坐標．約定ρ＝0時，極角θ可取任意角． (3)如果(ρ，θ)是點M的極坐標，那么(ρ，θ＋2kπ)或(－ρ，θ＋(2k＋1)π)(k∈Z)都可以看成點M的極坐標． 2．極坐標與直角坐標的互化 以平面直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且在兩種坐標系中取相同的長度單位(如圖4－1－2所示)，平面內任一點M的直角坐標(x，y)與極坐標(ρ，θ)可以互換， 圖4－1－2 公式是：或 通常情況下，將點的直角坐標化為極坐標時，取ρ≥0,0≤θ＜2π. 1．建立極坐標系需要哪幾個要素？ 【提示】　建立極坐標系的要素是：(1)極點；(2)極軸；(3)長度單位；(4)角度單位和它的正方向，四者缺一不可． 2．為什么點的極坐標不惟一？ 【提示】　根據(jù)我們學過的任意角的概念：一是終邊相同的角有無數(shù)個，它們相差2π的整數(shù)倍，所以點(ρ，θ)還可以寫成(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)；二是終邊在一條直線上且互為反向延長線的兩角的關系，所以點(ρ，θ)的坐標還可以寫成(－ρ，θ＋2kπ＋π)(k∈Z)． 3．將直角坐標化為極坐標時如何確定ρ和θ的值？ 【提示】　由ρ2＝x2＋y2求ρ時，ρ不取負值；由tan θ＝(x≠0)確定θ時，根據(jù)點(x，y)所在的象限取得最小正角．當x≠0時，θ角才能由tan θ＝按上述方法確定．當x＝0時，tan θ沒有意義，這時又分三種情況：(1)當x＝0，y＝0時，θ可取任何值；(2)當 x＝0，y＞0時，可取θ＝；(3)當x＝0，y＜0時，可取θ＝. 極坐標系中點的坐標 　寫出下圖中A、B、C、D、E、F、G各點的極坐標(ρ＞0,0≤θ＜2π)． 圖4－1－3 【自主解答】　對每個點我們先看它的極徑的長，再確定它的極角，因此這些點的極坐標為A，B，C，D，E，F(xiàn)(3，π)，G. 已知邊長為a的正六邊形ABCDEF，建立適當?shù)臉O坐標系，寫出各點的極坐標． 【解】　以正六邊形中心O為極點，OC所在直線為極軸建立如圖所示的極坐標系．由正六邊形性質得： C(a,0)，D(a，)，E(a，)，F(xiàn)(a，π)，A(a，π)，B(a，π) 或C(a,0)，D(a，)， E(a，)，F(xiàn)(a，π)，A(a，－)，B(a，－). 極坐標的對稱性 　在極坐標系中，求與點M(3，－)關于極軸所在的直線對稱的點的極坐標． 【自主解答】　極坐標系中點M(ρ，θ)關于極軸對稱的點的極坐標為M′(ρ，2kπ－θ)(k∈Z)，利用這個規(guī)律可得對稱點的坐標(3,2kπ＋)(k∈Z)． 在極坐標系中，點A的極坐標為(3，)(限定ρ＞0，0≤θ＜2π)． (1)點A關于極軸對稱的點的極坐標是________； (2)點A關于極點對稱的點的極坐標是________． (3)點A關于直線θ＝對稱的點的極坐標是________． 【解析】　通過作圖如圖可求解為 【答案】　(1)(3，)　(2)(3，)　(3)(3，) 極坐標與直角坐標的互化 　(1)把點M的極坐標化成直角坐標； (2)把點P的直角坐標(，－)化成極坐標(ρ＞0，0≤θ＜2π)． 【自主解答】　(1)x＝8cos＝－4，y＝8sin＝4，因此，點M的直角坐標是(－4,4)． (2)ρ＝＝2， tan θ＝＝－， 又因為點P在第四象限且0≤θ≤2π，得θ＝.因此，點P的極坐標為(2，)． (1)把點A的極坐標(2，)化成直角坐標； (2)把點P的直角坐標(1，－)化成極坐標(ρ＞0,0≤θ＜2π)． 【解】　(1)x＝2cos ＝－， y＝2sin ＝－1， 故點A的直角坐標為(－，－1)． (2)ρ＝＝2，tan θ＝＝－. 又因為點P在第四象限且0≤θ＜2π，得θ＝. 因此點P的極坐標是(2，). 極坐標系的應用 　在極坐標系中，已知A(3，－)，B(1，)，求A、B兩點之間的距離． 【思路探究】　將點的極坐標化為直角坐標，在用兩點間距離公式求解． 【自主解答】　對于A(3，－)， x＝3cos(－)＝；y＝3sin(－)＝－， ∴A(，－)． 對于B(1，)，x＝1cos ＝－，y＝1sin ＝，∴B(－，)． ∵AB＝＝＝4， ∴A、B兩點之間的距離為4. 有些問題在用極坐標表示時沒有現(xiàn)成的解法，但在直角坐標系中卻是一個常見的問題．因此，換一個坐標系，把極坐標系中的元素換成直角坐標系中的元素，問題就可以迎刃而解了．如果題目要求用極坐標作答，那么解完再用極坐標表示就行了． 在極坐標系中，已知三點：A(4,0)、B(4，)、C(ρ，)． (1)求直線AB與極軸所成的角； (2)若A、B、C三點在一條直線上，求ρ的值． 【解】　(1)點A的直角坐標為(4,0)，點B的直角坐標為(0，－4)，直線AB在直角坐標系中的方程為x－y＝4.故直線AB與x軸所成角為. (2)點C的直角坐標為， 代入直線方程得 ρ－ρ＝4， 解得ρ＝＝4(＋1)． 　(教材第17頁習題4.1第6題)將下列各點的極坐標化為直角坐標： (，)，(6，－)，(－2，)，(5，π)，(4，－)， (－4，)． 　(xx鎮(zhèn)江模擬)已知下列各點的直角坐標，求它們的極坐標． (1)A(3，)；(2)B(－2，－2)； (3)C(0，－2)；(4)D(3,0)． 【命題意圖】　本題主要考查極坐標與直角坐標的互化，屬基礎題． 【解】　(1)由題意可知：ρ＝＝2，tan θ＝，所以θ＝， 所以點A的極坐標為(2，)． (2)ρ＝＝4，tan θ＝＝，又由于θ為第三象限角，故θ＝π，所以B點的極坐標為(4，π)． (3)ρ＝＝2.θ為π，θ在y軸負半軸上，所以點C的極坐標為(2，π)． (4)ρ＝＝3，tan θ＝＝0，故θ＝0. 所以D點的極坐標為(3,0)． 1．點P(－2,2)的極坐標(θ∈[0,2π))為________． 【解析】　由ρ＝＝＝2， tan θ＝＝－1， ∵P點在第二象限內， ∴θ＝， ∴ρ的極坐標為(2，)． 【答案】　(2，) 2．在極坐標系中，與(ρ，θ)關于極軸對稱的點是________． 【解析】　極徑為ρ，極角為θ，θ關于極軸對稱的角為負角－θ，故所求的點為(ρ，－θ)． 【答案】　(ρ，－θ) 3．將極坐標化為直角坐標為________． 【解析】　x＝ρcos θ＝2cosπ＝0，y＝ρsin θ＝2sinπ＝－2， 故直角坐標為(0，－2)． 【答案】　(0，－2) 4．已知A，B的極坐標分別是和，則A和B之間的距離等于________． 【解析】　由余弦定理得 AB＝ ＝ ＝＝ ＝. 【答案】　  1．在極坐標系中，作出下列各點： A，B，C，D，E(4，0)，F(xiàn)(2.5，π)． 【解】　各點描點如下圖． 2．極坐標系中，點A的極坐標是(3，)，求點A關于過極點且垂直于極軸的直線的對稱點的極坐標． 【解】　極坐標系中的點(ρ，θ)關于過極點且垂直于極軸的直線對稱的點的極坐標為(ρ，(2k＋1)π－θ)(k∈Z)，利用此，即可寫出其中一個為(3，)． 3．已知點M的極坐標為(－2，－)，若限定ρ＞0,0≤θ＜2π，求點M的極坐標． 【解】　∵(－ρ，θ)與(ρ，θ＋π)表示同一點， ∴(－2，)與(2，)為同一點的極坐標，故點M的極坐標為(2，)． 4．在極坐標中，若等邊△ABC的兩個頂點是A、B(2，)，那么頂點C的坐標是多少？ 【解】　如右圖，由題設可知A、B兩點關于極點O對稱，即O是AB的中點． 又AB＝4，△ABC為正三角形，OC＝2，∠AOC＝，C對應的極角θ＝＋＝或θ＝－ ＝－，即C點極坐標為或. 5．設有一顆彗星，圍繞地球沿一拋物線軌道運行，地球恰好位于該拋物線軌道的焦點處，當此彗星離地球為30(萬千米)時，經(jīng)過地球和彗星的直線與拋物線的軸的夾角為，試建立適當?shù)臉O坐標系，寫出彗星此時的極坐標． 【解】　如圖所示，建立極坐標系，使極點O位于拋物線的焦點處，極軸Ox過拋物線的對稱軸，由題設可得下列四種情形：(1)當θ＝時，ρ＝30(萬千米)；(2)當θ＝時，ρ＝30(萬千米)；(3)當θ＝時，ρ＝30(萬千米)；(4)當θ＝時，ρ ＝30(萬千米)． 彗星此時的極坐標有四種情形：(30，)，(30，)，(30，)，(30，)． 6．已知A、B兩點的極坐標分別是(2，)、(4，)，求A、B兩點間的距離和△AOB的面積． 【解】　求兩點間的距離可用如下公式： AB＝ ＝＝2. S△AOB＝|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)| ＝|24sin(－)|＝24＝4. 7．已知定點P(4，)． (1)將極點移至O′(2，)處極軸方向不變，求P點的新坐標； (2)極點不變，將極軸順時針轉動角，求P點的新坐標． 【解】　(1)設P點新坐標為(ρ，θ)，如圖所示，由題意可知OO′＝2，OP＝4，∠POx＝，∠O′Ox＝， ∴∠POO′＝. 在△POO′中，ρ2＝42＋(2)2－242cos ＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2. 又∵＝， ∴sin∠OPO′＝2＝， ∴∠OPO′＝. ∴∠OP′P＝π－－＝， ∴∠PP′x＝. ∴∠PO′x′＝. ∴P點的新坐標為(2，)． (2)如圖，設P點新坐標為(ρ，θ)， 則ρ＝4，θ＝＋＝. ∴P點的新坐標為(4，)． 教師備選 8．已知△ABC三個頂點的極坐標分別是A(5，)，B(5，)，C(－4，)，試判斷△ABC的形狀，并求出它的面積． 【解】　∵C(4，)，∠AOB＝－＝， 且AO＝BO， 所以△AOB是等邊三角形， AB＝5， BC＝ ＝， AC＝ ＝， ∵AC＝BC， ∴△ABC為等腰三角形， AB邊上的高為4＋5＝， ∴S△ABC＝5＝. 4．1.3球坐標系與柱坐標系 課標解讀 1.球坐標系、柱坐標系的理解． 2.球坐標、柱坐標與直角坐標的互化. 1．球坐標系與球坐標 (1)在空間任取一點O作為極點，從O點引兩條互相垂直的射線Ox和Oz作為極軸，再規(guī)定一個長度單位和射線Ox繞Oz軸旋轉所成的角的正方向，這樣就建立了一個球坐標系． (2)設P是空間一點，用r表示OP的長度，θ表示以Oz為始邊，OP為終邊的角，φ表示半平面xOz到半平面POz的角，則有序數(shù)組(r，θ，φ)就叫做點P的球坐標，其中r≥0,0≤θ≤π，0≤φ＜2π. 圖4－1－4 2．直角坐標與球坐標間的關系 若空間直角坐標系的原點O，Ox軸及Oz軸，分別與球坐標系的極點、Ox軸及Oz軸重合，就可以得到空間中同一點P的直角坐標(x，y，z)與球坐標(r，θ，φ)之間的關系，如圖4－1－5所示． x2＋y2＋z2＝r2， x＝rsin_θcos_φ， y＝rsin_θsin_φ， z＝rcos_θ. 3．柱坐標系 圖4－1－6 建立了空間直角坐標系O－xyz后，設P為空間中任意一點，它在xOy平面上的射影為Q，用極坐標(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示點Q在平面xOy上的極坐標，這時點P的位置可以用有序數(shù)組(ρ，θ，z)(z∈R)表示，把建立上述對應關系的坐標系叫柱坐標系，有序數(shù)組(ρ，θ，z)叫做點P的柱坐標，記作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z∈R. 4．直角坐標與柱坐標之間的關系 1．空間直角坐標系和柱坐標系、球坐標系有何聯(lián)系和區(qū)別？ 【提示】　柱坐標系和球坐標系都是以空間直角坐標系為背景，柱坐標系中一點在平面xOy內的坐標是極坐標，豎坐標和空間直角坐標系的豎坐標相同；球坐標系中，則以一點到原點的距離和兩個角(高低角、極角)刻畫點的位置． 空間直角坐標系和柱坐標系、球坐標系都是空間坐標系，空間點的坐標都是由三個數(shù)值的有序數(shù)組組成． 2．在空間的柱坐標系中，方程ρ＝ρ0(ρ0為不等于0的常數(shù))，θ＝θ0，z＝z0分別表示什么圖形？ 【提示】　在極坐標中，方程ρ＝ρ0(ρ0為不等于0的常數(shù))表示圓心在極點，半徑為ρ0的圓，方程θ＝θ0(θ0為常數(shù))表示與極軸成θ0角的射線．而在空間的柱坐標系中，方程ρ＝ρ0表示中心軸為z軸，底半徑為ρ0的圓柱面，它是上述圓周沿z軸方向平行移動而成的．方程θ＝θ0表示與zOx坐標面成θ0角的半平面．方程z＝z0表示平行于xOy坐標面的平面，如圖所示． 常把上述的圓柱面、半平面和平面稱為柱坐標系的三族坐標面. 將點的柱坐標或球坐標化為直角坐標 　(1)已知點M的球坐標為，則點M的直角坐標為________． (2)設點M的柱坐標為(2，，7)，則點M的直角坐標為________． 【自主解答】　(1)設M(x，y，z)， 則x＝2sin cos ＝－1， y＝2sin sin ＝1， z＝2cos ＝－. 即M點坐標為(－1,1，－)． (2)設M(x，y，z)， 則x＝2cos ＝， y＝2sin ＝1，z＝7. 即M點坐標為(，1,7)． 【答案】　(1)(－1,1，－)　(2)(，1,7) 　(1)已知點P的柱坐標為(4，，8)，則它的直角坐標為________． (2)已知點P的球坐標為(4，，)，則它的直角坐標為________． 【解析】　(1)由變換公式得： x＝4cos ＝2， y＝4sin ＝2，z＝8. ∴點P的直角坐標為(2,2，8)． (2)由變換公式得： x＝rsin θcos φ＝4sin cos ＝2， y＝rsin θsin φ＝4sin sin ＝2， z＝rcos θ＝4cos ＝－2. ∴它的直角坐標為(2,2，－2)． 【答案】　(1)(2,2，8)　(2)(2,2，－2) 將點的直角坐標化為柱坐標或球坐標 　已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，如圖4－1－7建立空間直角坐標系A—xyz，Ax為極軸，求點C1的直角坐標、柱坐標以及球坐標． 圖4－1－7 【思路探究】　解答本題根據(jù)空間直角坐標系、柱坐標系以及球坐標系的意義和聯(lián)系計算即可． 【自主解答】　點C1的直角坐標為(1,1,1)， 設點C1的柱坐標為(ρ，θ，z)，球坐標為(r，φ，θ)， 其中ρ≥0，r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π， 由公式 及 得 及 得及 結合圖形得θ＝，由cos φ＝得tan φ＝. ∴點C1的直角坐標為(1,1,1)，柱坐標為(，，1)，球坐標為(，φ，)， 其中tan φ＝，0≤φ≤π. 化點M的直角坐標(x，y，z)為柱坐標(ρ，θ，z)或球坐標(r，θ，φ)，需要對公式以及進行逆向變換， 得到以及 提醒　在由三角函數(shù)值求角時，要先結合圖形確定角的范圍再求值． (1)設點M的直角坐標為(1,1,1)，求它在柱坐標系中的坐標． (2)設點M的直角坐標為(1,1，)，求它的球坐標． 【解】　(1)設M的柱坐標為(ρ，θ，z)，則有 解之得ρ＝，θ＝. 因此，點M的柱坐標為. (2)由坐標變換公式，可得 r＝＝＝2. 由rcos θ＝z＝， 得cos θ＝＝，θ＝. 又tan φ＝＝1，φ＝(M在第一象限)， 從而知M點的球坐標為. 　(教材第17頁習題4.1第16題)建立適當?shù)那蜃鴺讼祷蛑鴺讼当硎纠忾L為3的正四面體的四個頂點． 　(xx洛陽模擬)結晶體的基本單位稱為晶胞，如圖4－1－8(1)是食鹽晶胞的示意圖(可看成是八個棱長為的小正方體堆積成的正方體)．圖形中的點代表鈉原子，如圖4－1－8(2)，建立空間直角坐標系O—xyz后，試寫出下層鈉原子所在位置的球坐標、柱坐標． 　　　　 　(1)　　　　 　　(2) 圖4－1－8 【命題意圖】　本題以食鹽晶胞為載體，主要考查柱坐標系及球坐標系在確定空間點的位置中的應用． 【解】　下層的原子全部在xOy平面上，它們所在位置的豎坐標全是0，所以這五個鈉原子所在位置的球坐標分別為(0,0,0)，(1，，0)，(，，)，(1，，)，(，，)； 它們的柱坐標分別為(0,0,0)，(1,0,0)，(，，0)，(1，，0)，(，，0)．  1．已知點A的柱坐標為(1,0,1)，則點A的直角坐標為________． 【解析】　由點A的柱坐標為(1,0,1)知，ρ＝1，θ＝0，z＝1，故x＝ρcos θ＝1，y＝ρsin θ＝0，z＝1，所以直角坐標為(1,0,1)． 【答案】　(1,0,1) 2．設點M的直角坐標為(－1，－1，)，則它的球坐標為________． 【解析】　由坐標變換公式，r＝＝2. cos θ＝＝，θ＝.∵tan φ＝＝1， ∴φ＝π. 故M的球坐標為. 【答案】　 3．已知點P的柱坐標為，點B的球坐標為，這兩個點在空間直角坐標系中點的坐標分別為________． 【解析】　設P(x y，z)，則x＝cos＝1，y＝sin＝1，z＝5， ∴P(1,1,5)． 設B(x，y，z)，則x＝sin cos ＝＝，y＝sinsin＝＝， z＝cos ＝＝. 故B(，，)． 【答案】　P(1,1,5)，B(，，) 4．把A(4，，2)、B(3，，－2)兩點的柱坐標化為直角坐標，則兩點間的距離為________． 【解析】　點A化為直角坐標為A(2，2,2)，點B化為直角坐標為B. AB2＝2＋2＋(2＋2)2＝12＋－6＋4＋－6＋16＝41－6(＋)． 所以AB＝. 【答案】　 1．把下列各點的球坐標化為直角坐標： (1)M；(2)N； (3)P. 【解】　(1)設點M的直角坐標為(x，y，z)，M在xOy平面內的射影為M′，則OM′＝2 sin＝2.于是x＝2cos＝1，y＝2sin＝，z＝2cos＝0. 故點M的直角坐標為(1，，0)． (2)x＝5sincos＝0，y＝5sinsin＝， z＝5cos＝－， 點N的直角坐標為. (3)x＝9sincos＝－， y＝9sinsin＝，z＝9cos＝－. ∴點P的直角坐標為. 2．把下列各點的柱坐標化為直角坐標： (1)Q；(2)R； (3)S. 【解】　(1)x＝0，y＝5， 故點Q的直角坐標為 Q(0,5，－2)． (2)x＝6cos＝－3，y＝6sin＝3， 故點R的直角坐標為R(－3,3，4)． (3)x＝8cos＝－4，y＝8sin＝－4，故點S的直角坐標為S(－4，－4，－3)． 3．已知長方體ABCD－A1B1C1D1的邊長為AB＝14，AD＝6，AA1＝10，以這個長方體的頂點A為坐標原點，以射線AB、AD、AA1分別為x、y、z軸的正半軸，建立空間直角坐標系，求長方體頂點C1的空間直角坐標、柱坐標、球坐標． 【解】　如圖，C1點的直角坐標(x，y，z)分別對應著CD、BC、CC1；C1點的柱坐標(ρ，θ，z)分別對應著CA、∠BAC、CC1；C1點的球坐標(r，θ，φ)分別對應著AC1、∠BAC、∠A1AC1. C1點的空間直角坐標為(14,6,10)，C1點的柱坐標為(其中tan θ＝)， C1點的球坐標為(2，φ，θ)(其中cos φ＝，tan θ＝)． 4．在球坐標面內，方程r＝1表示空間中的什么曲面？方程θ＝表示空間中的什么曲面？ 【解】　方程r＝1表示球心在原點的單位球面；方程θ＝表示頂點在原點，半頂角為的圓錐面，中心軸為z軸． 5．在球坐標系中，求兩點P，Q的距離． 【解】　將P，Q兩點球坐標轉化為直角坐標： P：x＝3sincos＝， y＝3sinsin＝， z＝3cos＝， ∴P點的直角坐標為. Q：x＝3sincos＝－， y＝3sinsin＝，z＝3cos＝， ∴Q點的直角坐標為 . ∴|PQ|＝ ＝，即P、Q的距離為. 6．建立適當?shù)闹鴺讼?，表示棱長為3的正四面體各個頂點坐標． 【解】　以正四面體的一個頂點B為極點O，選取以O為端點且與BD垂直的射線Ox為極軸，在面BCD上建立極坐標系．過O點與面BCD垂直的線為z軸． 過A作AA′垂直于平面BCD，垂足為A′，則 BA′＝＝，AA′＝＝， ∠A′Bx＝－＝， 則A(，，)，B(0,0,0)，C(3，，0)，D(3，，0)． 7．一個圓形體育館，自正東方向起，按逆時針方向等分為十六個扇形區(qū)域，順次記為一區(qū)，二區(qū)，…，十六區(qū)，我們設圓形體育場第一排與體育館中心的距離為200 m，每相鄰兩排的間距為1 m，每層看臺的高度為0.7 m，現(xiàn)在需要確定第九區(qū)第四排正中的位置A，請建立適當?shù)淖鴺讼?，把點A的坐標求出來． 【解】　以圓形體育館中心O為極點，選取以O為端點且過正東入口的射線Ox為極軸，在地面上建立極坐標系，則點A與體育場中軸線Oz的距離為203 m，極軸Ox按逆時針方向旋轉＝，就是OA在地平面上的射影，A距地面的高度為2.8 m，因此點A的柱坐標為(203，，2.8)． 教師備選 8．如圖建立球坐標系，正四面體ABCD的邊長為1，求A、B、C、D的球坐標(其中O是△BCD的中心)． 【解】　∵O是△BCD的中心， ∴OC＝OD＝OB＝，AO＝. ∴C(，，0)，D(，，)， B(，，)，A(，0,0)．