2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.2.2 反證法教案 新人教A版選修1-2.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.2.2 反證法教案 新人教A版選修1-2 (教師用書獨(dú)具) ●三維目標(biāo) 1．知識(shí)與技能 結(jié)合實(shí)例了解間接證明的一種基本方法——反證法，了解反證法的思考過(guò)程與特點(diǎn)．會(huì)用反證法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題． 2．過(guò)程與方法 使學(xué)生經(jīng)歷“總結(jié)歸納反證法的操作步驟”的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生歸納、總結(jié)、推理論證的能力．增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)． 3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀 注重培養(yǎng)學(xué)生積極參與、大膽探索的精神以及合作意識(shí)．通過(guò)讓學(xué)生體驗(yàn)成功，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心．通過(guò)科學(xué)家的故事，培養(yǎng)學(xué)生的耐心、恒心、自信心和抗挫折能力．從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，提高思維品質(zhì)． ●重點(diǎn)難點(diǎn) 重點(diǎn)：反證法概念的理解以及反證法的解題步驟． 難點(diǎn)：應(yīng)用反證法解決問(wèn)題，在推理過(guò)程中發(fā)現(xiàn)矛盾． 在教學(xué)中要明確反證法證明的三個(gè)步驟：(1)做待證命題的否命題；(2)根據(jù)所做出的否命題，結(jié)合已知條件或己知的其他的真命題，推導(dǎo)出和已知條件或已知的真命題相矛盾的地方；(3)否定所做的否命題，也就是肯定原命題的正確性．讓學(xué)生親身體會(huì)并總結(jié)三個(gè)步驟中的關(guān)鍵因素，集體探索解決方法，突出重點(diǎn)、化解難點(diǎn)． (教師用書獨(dú)具) ●教學(xué)建議 建議本節(jié)課采取探究式教學(xué)法，讓學(xué)生參與證明問(wèn)題的否定假設(shè)，推理歸謬，激發(fā)學(xué)生積極參與的熱情，開(kāi)發(fā)其論證推理能力的潛能，培養(yǎng)良好的思維品質(zhì)．關(guān)于反證法的教學(xué)需要注意以下幾點(diǎn)：(1)書寫格式及解題步驟：假設(shè)——?dú)w謬——指出矛盾——得出結(jié)論．(2)提出反設(shè)的方式方法：引導(dǎo)學(xué)生弄清反設(shè)詞語(yǔ)的含義，掌握常見(jiàn)量詞的反設(shè)詞．(3)歸謬方法：在歸謬過(guò)程中要注意假設(shè)條件的利用，通過(guò)例題分析總結(jié)歸謬的方法技巧．(4)反證法的適用范圍及對(duì)象：反證法一般適用于題目條件中含有量詞“至多”“至少”“全部”“都”或否定性命題．其次是在直接證明受阻的情況下，考慮間接證明． ●教學(xué)流程 創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，通過(guò)“道旁苦李”的故事，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)反證法，了解其特點(diǎn)、推理方式及應(yīng)用范疇．讓學(xué)生自主完成填一填，使學(xué)生進(jìn)一步了解反證法的證明格式、步驟、思維方式、證明思想等．引導(dǎo)學(xué)生分析例題1的已知條件，師生共同探究證明思路，學(xué)生自主完成證明過(guò)程，老師指導(dǎo)完善，并完成變式訓(xùn)練．學(xué)生分組探究例題2解法，總結(jié)反證法證明唯一性命題的反設(shè)方式及證明的方法，完成例題2變式訓(xùn)練．  完成當(dāng)堂雙基達(dá)標(biāo)，鞏固所學(xué)知識(shí)及應(yīng)用方法．并進(jìn)行反饋矯正．歸納整理，進(jìn)行課堂小結(jié)，整體認(rèn)識(shí)本節(jié)所學(xué)知識(shí)，強(qiáng)調(diào)重點(diǎn)內(nèi)容和規(guī)律方法．學(xué)生自主完成例題3互動(dòng)探究，教師抽查完成情況，對(duì)出現(xiàn)問(wèn)題及時(shí)指導(dǎo)．讓學(xué)生自主分析例題3，老師適當(dāng)點(diǎn)撥解題思路，學(xué)生分組討論給出解法．老師組織解法展示，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解題規(guī)律． 課標(biāo)解讀 1.了解反證法是間接證明的一種基本方法．(重點(diǎn)) 2.理解反證法的思考過(guò)程，會(huì)用反證法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題．(難點(diǎn)) 反證法 【問(wèn)題導(dǎo)思】　 　著名的“道旁苦李”的故事：王戎小時(shí)候，愛(ài)和小朋友在路上玩耍．一天，他們發(fā)現(xiàn)路邊的一棵樹(shù)上結(jié)滿了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，獨(dú)有王戎沒(méi)動(dòng)．等到小朋友摘了李子一嘗，原來(lái)是苦的．他們都問(wèn)王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎說(shuō)：“假如李子不苦的話， 　早被路人摘光了，而這棵樹(shù)上卻結(jié)滿了李子，所以李子一定是苦的．” 　王戎的論述運(yùn)用了什么推理思想？ 【提示】　實(shí)質(zhì)運(yùn)用了反證法的思想． 1．反證法 假設(shè)原命題不成立(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法． 2．反證法常見(jiàn)的矛盾類型 反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾．這個(gè)矛盾可以是與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、定理、公理、事實(shí)矛盾等. 用反證法證明否(肯)定式命題 　設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均為整數(shù)，且f(0)，f(1)均為奇數(shù)．求證：f(x)＝0無(wú)整數(shù)根． 【思路探究】　此題為否定形式的命題，直接證明很困難，可選用反證法．證題的關(guān)鍵是根據(jù)f(0)，f(1)均為奇數(shù)，分析出a，b，c的奇偶情況，并應(yīng)用． 【自主解答】　假設(shè)f(x)＝0有整數(shù)根n，則an2＋bn＋c＝0(n∈Z)．而f(0)，f(1)均為奇數(shù)，即c為奇數(shù)，a＋b為偶數(shù)，則an2＋bn＝－c為奇數(shù)，即n(an＋b)為奇數(shù)． ∴n，an＋b均為奇數(shù)． 又a＋b為偶數(shù)， ∴an－a為奇數(shù)， 即a(n－1)為奇數(shù)， ∴n－1為奇數(shù)，這與n為奇數(shù)矛盾． ∴f(x)＝0無(wú)整數(shù)根． 1．對(duì)某些結(jié)論為肯定形式或者否定形式的命題的證明，從正面突破較困難時(shí)，可用反證法．通過(guò)反設(shè)將肯定命題轉(zhuǎn)化為否定命題或?qū)⒎穸}轉(zhuǎn)化為肯定命題，然后用轉(zhuǎn)化后的命題作為條件進(jìn)行推理，推出矛盾，從而達(dá)到證題的目的． 2．常見(jiàn)否定詞語(yǔ)的否定形式如下表所示： 否定詞語(yǔ) 否定詞語(yǔ)的否定形式 沒(méi)有 有 不大于 大于 不等于 等于 不存在 存在 已知非零實(shí)數(shù)a、b、c成等差數(shù)列a≠c，求證：，，不可能成等差數(shù)列． 【證明】　假設(shè)，，成等差數(shù)列， 則＝＋＝， 又a、b、c成等差數(shù)列， ∴2b＝a＋c， ∴b＝， ∴＝， ∴(a－c)2＝0，即a＝c. 這與a≠c矛盾． 故假設(shè)錯(cuò)誤，原命題正確. 用反證法證明“唯一性”命題 　若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象連續(xù)不斷開(kāi)，f(a)＜0，f(b)＞0，且f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，求證：f(x)在(a，b)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)． 【思路探究】　先由函數(shù)零點(diǎn)存在性判定定理判定函數(shù)在(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，再用反證法證明零點(diǎn)唯一． 【自主解答】　由于f(x)在[a，b]上的圖象連續(xù)不斷開(kāi)，且f(a)＜0，f(b)＞0，即f(a)f(b)＜0， 所以f(x)在(a，b)內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)零點(diǎn)為m，則f(m)＝0， 假設(shè)f(x)在(a，b)內(nèi)還存在另一個(gè)零點(diǎn)n，即f(n)＝0， 則n≠m. 若n＞m，則f(n)＞f(m)，即0＞0，矛盾； 若n＜m，則f(n)＜f(m)，即0＜0，矛盾． 因此假設(shè)不正確，即f(x)在(a，b)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)． 　證明“有且只有一個(gè)”的問(wèn)題，需要證明兩個(gè)命題，即存在性和唯一性．當(dāng)證明結(jié)論以“有且只有”、“只有一個(gè)”、“唯一存在”等形式出現(xiàn)的命題時(shí)，由于反設(shè)結(jié)論易于導(dǎo)出矛盾，所以用反證法證其唯一性就較簡(jiǎn)單明了． 已知a與b是異面直線，求證：過(guò)a且平行于b的平面只有一個(gè)． 【證明】　如圖所示．假設(shè)過(guò)直線a且平行于直線b的平面有兩個(gè)，分別為α和β， 在直線a上取點(diǎn)A，過(guò)b和A確定一個(gè)平面γ，且γ與α、β分別交于過(guò)點(diǎn)A的直線c、d， 由b∥α，知b∥c，同理b∥d， 故c∥d，這與c、d相交于點(diǎn)A矛盾， 故假設(shè)不成立，原結(jié)論成立. 用反證法證明“至多、至少”問(wèn)題 　已知x，y＞0，且x＋y＞2. 求證：，中至少有一個(gè)小于2. 【思路探究】　明確“至少”的含義―→對(duì)結(jié)論作出假設(shè)―→得出矛盾． 【自主解答】　假設(shè)，都不小于2，即≥2，≥2. ∵x＞0，y＞0， ∴1＋x≥2y,1＋y≥2x. ∴2＋x＋y≥2(x＋y)． 即x＋y≤2，這與已知x＋y＞2矛盾． ∴，中至少有一個(gè)小于2. 　常見(jiàn)結(jié)論詞與反設(shè)詞列表如下： 原結(jié) 論詞 等于 (＝) 大于 (＞) 小于 (＜) 對(duì)所 有x 成立 對(duì)任 意x 不成 立 至少 一個(gè) 至多 一個(gè) 反設(shè) 詞 不等 于 (≠) 不大 于 (≤) 不小 于 (≥) 存在 某個(gè) x不 成立 存在 某個(gè) x成 立 一個(gè) 都沒(méi) 有 至少 兩個(gè) 在本例中，若x，y>0且x＋y＝2，求證：，中至少有一個(gè)不小于2. 【證明】　假設(shè)，都小于2. 則1＋x<2y,1＋y<2x，， 那么2＋x＋y<2x＋2y， ∴x＋y>2與已知x＋y＝2矛盾． 所以假設(shè)不成立，原命題成立. 利用反證法證題時(shí)，假設(shè)錯(cuò)誤而致誤 　已知a，b，c是互不相等的非零實(shí)數(shù)．求證：三個(gè)方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根． 【錯(cuò)解】　假設(shè)三個(gè)方程都沒(méi)有兩個(gè)相異實(shí)根， 則Δ1＝4b2－4ac<0，Δ2＝4c2－4ab<0，Δ3＝4a2－4bc<0， 相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2<0， 即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2<0，此不等式不能成立， 所以假設(shè)不成立，即三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根． 【錯(cuò)因分析】　上面解法的錯(cuò)誤在于認(rèn)為“方程沒(méi)有兩個(gè)相異實(shí)根就有Δ<0”，事實(shí)上，方程沒(méi)有兩個(gè)相異實(shí)根時(shí)Δ≤0. 【防范措施】　用反證法證題要把握三點(diǎn)： (1)必須先否定結(jié)論，對(duì)于結(jié)論的反面出現(xiàn)的多種可能，要逐一論證，缺少任何一種可能，證明都是不全面的． (2)反證法必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行論證，否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行論證，就不是反證法． (3)反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個(gè)矛盾可以與已知矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實(shí)矛盾，但推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的． 【正解】　假設(shè)三個(gè)方程都沒(méi)有兩個(gè)相異實(shí)根， 則Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0. 相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0， 即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，(*) 由題意a，b，c互不相等，所以(*)式不能成立． 所以假設(shè)不成立，即三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根． 1．反證法：假設(shè)原命題的反面正確，根據(jù)已知條件及公理、定理、定義，按照嚴(yán)格的邏輯推理導(dǎo)出矛盾．從而說(shuō)明假設(shè)不正確，得出原命題正確． 2．反證法是間接證明的一種方法，在證明否定性命題、唯一性命題和存在性命題時(shí)運(yùn)用反證法比較簡(jiǎn)便． 3．反證法的基本步驟是： (1)反設(shè)——假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)原結(jié)論的反面為真； (2)歸謬——從反設(shè)和已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列正確的邏輯推理，得出矛盾的結(jié)果； (3)存真——由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不真，從而肯定結(jié)論成立． 1．用反證法證明“如果a＞b，那么＞”的假設(shè)內(nèi)容應(yīng)是(　　) A.＝　　　　　　B.＜ C.≤ D．≥ 【解析】　“大于”的對(duì)立面為“小于等于”，故應(yīng)假設(shè)“≤”． 【答案】　C 2．否定“任何一個(gè)三角形的外角都至少有兩個(gè)鈍角”時(shí)正確的說(shuō)法為(　　) A．存在一個(gè)三角形，其外角最多有一個(gè)鈍角 B．任何一個(gè)三角形的外角都沒(méi)有兩個(gè)鈍角 C．沒(méi)有一個(gè)三角形的外角有兩個(gè)鈍角 D．存在一個(gè)三角形，其外角有兩個(gè)鈍角 【解析】　原命題的否定為：存在一個(gè)三角形，其外角最多有一個(gè)鈍角． 【答案】　A 3．用反證法證明命題：若a、b是實(shí)數(shù)，且|a－1|＋|b－1|＝0，則a＝b＝1時(shí)，應(yīng)作的假設(shè)是________． 【解析】　∵“a＝b＝1”的否定為“a≠1或b≠1”，故應(yīng)填a≠1或b≠1. 【答案】　a≠1或b≠1 4．證明方程2x＝3有且僅有一個(gè)實(shí)根． 【證明】　∵2x＝3，∴x＝， ∴方程2x＝3至少有一個(gè)實(shí)根． 設(shè)x1，x2是方程2x＝3的兩個(gè)不同實(shí)根， 則 由①－②得2(x1－x2)＝0， ∴x1＝x2， 這與x1≠x2矛盾． 故假設(shè)不正確，從而方程2x＝3有且僅有一個(gè)實(shí)根. 一、選擇題 1．應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過(guò)程中，要把下列哪些作為條件使用(　　) ①結(jié)論的否定，即假設(shè)；②原命題的條件；③公理、定理、定義等；④原命題的結(jié)論． A．①②　　B．①②④　　C．①②③　　D．②③ 【解析】　由反證法的定義可知應(yīng)選C. 【答案】　C 2．(xx?？诟叨z測(cè))用反證法證明命題：三角形三個(gè)內(nèi)角至少有一個(gè)不大于60時(shí)，應(yīng)假設(shè)(　　) A．三個(gè)內(nèi)角都不大于60 B．三個(gè)內(nèi)角都大于60 C．三個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)大于60 D．三個(gè)內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60 【解析】　三個(gè)內(nèi)角至少有一個(gè)不大于60，即有一個(gè)、兩個(gè)或三個(gè)不大于60，其反設(shè)為都大于60，故B正確． 【答案】　B 3．實(shí)數(shù)a，b，c不全為0等價(jià)于(　　) A．a(chǎn)，b，c均不為0 B．a(chǎn)，b，c中至多有一個(gè)為0 C．a(chǎn)，b，c中至少有一個(gè)為0 D．a(chǎn)，b，c中至少有一個(gè)不為0 【解析】　實(shí)數(shù)a，b，c不全為0，即a，b，c至少有一個(gè)不為0，故應(yīng)選D. 【答案】　D 4．(1)已知p3＋q3＝2，求證p＋q≤2.用反證法證明時(shí)，可假設(shè)p＋q≥2. (2)已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求證方程x2＋ax＋b＝0的兩根的絕對(duì)值都小于1.用反證法證明時(shí)可假設(shè)方程有一根x1的絕對(duì)值大于或等于1，即假設(shè)|x1|≥1.以下結(jié)論正確的是(　　) A．(1)與(2)的假設(shè)都錯(cuò)誤 B．(1)與(2)的假設(shè)都正確 C．(1)的假設(shè)正確；(2)的假設(shè)錯(cuò)誤 D．(1)的假設(shè)錯(cuò)誤；(2)的假設(shè)正確 【解析】　(1)的假設(shè)應(yīng)為p＋q>2；(2)的假設(shè)正確． 【答案】　D 5．下列命題不適合用反證法證明的是(　　) A．同一平面內(nèi)，分別與兩條相交直線垂直的兩條直線必相交 B．兩個(gè)不相等的角不是對(duì)頂角 C．平行四邊形的對(duì)角線互相平分 D．已知x，y∈R，且x＋y＞2，求證：x，y中至少有一個(gè)大于1 【解析】　A中命題條件較少，不易正面證明；B中命題是否定性命題，其反設(shè)是顯而易見(jiàn)的定理；D中命題是至少性命題，其結(jié)論包含兩種情況，而反設(shè)只有一種情況，適合用反證法證明． 【答案】　C 二、填空題 6．命題“三角形中最多只有一個(gè)內(nèi)角是直角”的否定是______________． 【解析】　“最多”的反面是“最少”，故本題的否定是：三角形中最少有兩個(gè)內(nèi)角是直角． 【答案】　“三角形中最少有兩個(gè)內(nèi)角是直角” 7．用反證法證明命題“若a2＋b2＝0，則a，b全為0(a、b為實(shí)數(shù))”，其反設(shè)為_(kāi)_______． 【解析】　“a、b全為0”即“a＝0且b＝0”，因此它的反設(shè)為“a≠0或b≠0” 【答案】　“a、b不全為0” 8．用反證法證明“一個(gè)三角形不能有兩個(gè)直角”有三個(gè)步驟： ①∠A＋∠B＋∠C＝90＋90＋∠C>180，這與三角形內(nèi)角和為180矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤． ②所以一個(gè)三角形不能有兩個(gè)直角． ③假設(shè)△ABC中有兩個(gè)直角， 不妨設(shè)∠A＝90，∠B＝90. 上述步驟的正確順序?yàn)開(kāi)_______． 【答案】?、邰佗? 三、解答題 9．(xx泰安高二檢測(cè))用反證法證明：無(wú)論m取何值，關(guān)于x的方程x2－5x＋m＝0與2x2＋x＋6－m＝0至少有一個(gè)有實(shí)數(shù)根． 【解】　假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使得這兩個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)數(shù)根， 則解得無(wú)解． 與假設(shè)存在實(shí)數(shù)m矛盾．故無(wú)論m取何值，兩個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根． 10．已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ca＞0，abc＞0，求證：a＞0，b＞0，c＞0. 【證明】　假設(shè)a＜0，由abc＞0得bc＜0， 由a＋b＋c＞0，得b＋c＞－a＞0， 于是ab＋bc＋ca＝a(b＋c)＋bc＜0，這與已知矛盾． 又若a＝0，則abc＝0，與abc＞0矛盾， 故a＞0， 同理可證b＞0，c＞0. 11．若x，y，z均為實(shí)數(shù)，且a＝x2－2y＋，b＝y(tǒng)2－2z＋，c＝z2－2x＋，則a，b，c中是否至少有一個(gè)大于0？請(qǐng)說(shuō)明理由． 【解】　假設(shè)a，b，c都不大于0， 即a≤0，b≤0，c≤0，則a＋b＋c≤0. 而a＋b＋c＝x2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋ ＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3， 因?yàn)棣校?>0，且無(wú)論x，y，z為何實(shí)數(shù)， (x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0， 所以a＋b＋c>0. 這與假設(shè)a＋b＋c≤0矛盾． 因此，a，b，c中至少有一個(gè)大于0. (教師用書獨(dú)具) 　等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn； (2)設(shè)bn＝(n∈N*)，求證：數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列． 【思路探究】　第(1)問(wèn)考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，應(yīng)用an＝a1＋(n－1)d和Sn＝na1＋n(n－1)d兩式求解．第(2)問(wèn)先假設(shè)任三項(xiàng)bp、bq、br成等比數(shù)列，再用反證法證明． 【自主解答】　(1)設(shè)公差為d，由已知得 ∴d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)． (2)證明：由(1)得bn＝＝n＋. 假設(shè)數(shù)列{bn}中存在三項(xiàng)bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比數(shù)列，則b＝bpbr， 即(q＋)2＝(p＋)(r＋)， ∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0. ∵p，q，r∈N*，∴ ∴()2＝pr，(p－r)2＝0， ∴p＝r，這與p≠r矛盾． 所以數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列． 1．當(dāng)結(jié)論中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等詞語(yǔ)的命題，此類問(wèn)題的反面比較具體，適于應(yīng)用反證法．例如證明異面直線，可以假設(shè)共面，再把假設(shè)作為已知條件推導(dǎo)出矛盾． 2．反證法必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件，且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行推證，否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行推理，就不是反證法． 　設(shè)函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，a、b∈R. (1)若a＋b≥0，是否有f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)? (2)若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，是否有a＋b≥0? 以上兩結(jié)論若正確，請(qǐng)給出證明，若不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【解】　(1)若a＋b≥0， 則f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)成立． 證明：因?yàn)閍＋b≥0， 所以a≥－b，b≥－a. 又f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)， 所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)． 兩式相加，得f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)． (2)若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)， 則a＋b≥0成立． 證明：(反證法) 假設(shè)a＋b＜0， 則a＜－b，b＜－a， 而f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)， 所以f(a)＜f(－b)， f(b)＜f(－a)． 以上兩式相加， 得f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)． 與已知f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)矛盾， 所以假設(shè)錯(cuò)誤， 因此a＋b≥0.