2019-2020年高中數(shù)學(xué)《任意角的三角函數(shù)》教案1 湘教版必修2.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《任意角的三角函數(shù)》教案1 湘教版必修2 教學(xué)目標 1.使學(xué)生切實掌握任意角三角函數(shù)的定義. 2.使學(xué)生掌握三角函數(shù)的定義域及其確定方法. 3.使學(xué)生掌握三角函數(shù)值在各個象限內(nèi)的符號. 4.使學(xué)生掌握誘導(dǎo)公式一. 教學(xué)重點與難點 教學(xué)難點為:任意角三角函數(shù)的定義.教學(xué)重點為:三角函數(shù)的定義;三角函數(shù)的定義域及其確定方法;三角函數(shù)值在各個象限內(nèi)的符號以及誘導(dǎo)公式一. 教學(xué)過程設(shè)計 師:我們學(xué)過銳角的正弦、余弦、正切、余切中,∠A是銳角,∠C是直角,那么(板書) 師:經(jīng)過最近幾節(jié)課的學(xué)習,我們知道角的概念已經(jīng)被推廣了,我們現(xiàn)在所說的角可以任意大小的正角、負角和零角,那么任意的三角函數(shù)是怎么定義的呢?直角三角形顯然不能包含所有的角. 生:借助平面直角坐標系來定義. 師:好的.這位同學(xué)可能預(yù)習了.任意角三角函數(shù)就是在平面直角坐標系內(nèi)定義的. 設(shè)角α是一個任意大小的角,我們以它的頂點為原點,以它的始邊為x軸的正半軸Ox,建立直角坐標系(圖2),在角α的終邊任取一點P,它的橫坐標是x,縱坐標是y,點P和原點O(0,0)的距離r= (r總是正的),然后把角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分別規(guī)定為(板書) 師:以前我們就知道,圖1中的四個比值的大小僅與角A的大小有關(guān),而與直角三角形的大小無關(guān);同樣,在圖2中,六個比值的大小也僅與角α的大小有關(guān),而與點P在角αα的終邊上的位置無關(guān). 師:下面咱們一起來看這六個三角函數(shù),自變量是什么?是x?是y?是r?還是角a?大家討論一下. 生:…… 師:通過大家的討論,咱們可以看出,只要角α確定了,就能在它的終邊上取點,從而可確定x,y,計算出r的值,所以自變量應(yīng)是角α. 這些函數(shù)的函數(shù)值是什么呢? 生:兩個量的比值. 師:也就是說是個實數(shù). 由于角的集合與實數(shù)之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系,三角函數(shù)可以看成是以實數(shù)為自變量的函數(shù),即 實數(shù)→ 角(其弧度數(shù)等于這個實數(shù)) → 三角函數(shù)值(實數(shù)) 也就是說,三角函數(shù)是以角(實數(shù))為自變量,以比值為函數(shù)值的函數(shù). 既然是研究函數(shù),那么就要從函數(shù)最主要的內(nèi)容——三要素入手,而其中又以定義域和對應(yīng)法則更重要,三角函數(shù)的對應(yīng)法則我們可以由解析式中直接看出.下面我們研究各個函數(shù)的定義域. (這幾函數(shù)的定義域并不難求,只是務(wù)必使學(xué)生明確,函數(shù)的自變量是角.定義域由學(xué)生一一做答,教師最后在黑板上列表總結(jié).) 師:我們已經(jīng)知道了三角函數(shù)的定義,下面我們就該應(yīng)用定義解題了.請看例1.(板書) 例1 已知角α的終邊經(jīng)過點P(2,-3),求α的六個三角函數(shù)值. 師:要求六個三角函數(shù)值,我們需要知道哪些量? 生:x,y,r. 師:我們是必須知道這三個量,還是知道其中兩個量就行了? 生:只需知道其中的兩個量. 師:例1中是否有咱們所需要的兩個量? 生:有.x=2,y=-3. 師:好的.這道題就由你來解,你說我往黑板上寫.(板書) 解 師:由三角函數(shù)的定義,我們知道,已知角α終邊上一點的坐標就可以求六個三角函數(shù)值,若已知條件是某角的度數(shù)或弧度數(shù),那么這個角的終邊位置也是唯一確定的,其三角函數(shù)值也應(yīng)是唯一的.這類題目應(yīng)怎樣求它的各個三角函數(shù)值呢?下面看例2.(板書) 例2 求下例各角的六個三角函數(shù)值. 師:咱們先看角0的六個三角函數(shù)值怎么求. 生:沒想好. 師:你覺得為什么不好求呢? 生:題目里沒給出x,y的值. 師:x,y的值與所給出的角有什么關(guān)系? 生:x,y是角的終邊上一點的坐標. 師:角的終邊上的哪點? 生:可以任意選取. 師:那當然要使所取點的坐越簡單越好了,你打算取哪點? 生:取(1,0)點. 師:現(xiàn)在這道題目你會做了嗎? 生:會了. 師:你說我來寫在黑板上.(板書) 解 在角0的終邊上取一點(1,0),所以x=1,y=0,r=x2+y2=1因此 師:這道從題會做了,下面的兩道小題也就不成問題了.大家都在筆記本上準備一下,一會兒,我叫幾個同學(xué)說一下你們的答案. (2)在角π的終邊上任取一點(-1,0),x=-1,y=0,r=1,sin π=0,cos=-1,tan π=0 cot πα不存在,sce π=-1 ,csc πα不存在; (3)在角的終邊上任取一點(0,-1),x=0,y=-1,r=1,sin =-1,cos=0,tan不存在,cot=0,sec不存在,csc=-1. 師:下一個問題是確定一下各三角函數(shù)值在每個象限的符號. 我們知道,當角的概念被推廣后,我們常常把角放到平面直角坐標系中討論,當角的頂點與坐標原點重合,角的始邊落在x軸的正半軸上時,角的終邊落在第幾象限,就說這個角是第幾象限角.現(xiàn)在,我們又學(xué)習了三角函數(shù),若一類三角函數(shù)值在同一個象限的符號是一致的,那我們既可以根據(jù)角所在象限確定出相應(yīng)的三角函數(shù)的符號,又可以利用三角函數(shù)的符號確定出角所在的象限了. 下面咱們先看正弦函數(shù)的函數(shù)值在各個限內(nèi)的符號.(請好學(xué)生回答) 生:對于sin α,當角α在第一象限內(nèi)時,它的符號是正的,當角α在第二象限時,…… 師:等等,你所說的第一條結(jié)論正確,你能不能把你的解題方法具體地告訴我們?(盡量突出這節(jié)課的主要內(nèi)容.) 生:根據(jù)三角函數(shù)的定義,sin α=,當角a是第一象限角時,也就是說,角α的終邊落在第一象限內(nèi),而第一象限內(nèi)的點的坐標都是正的,所以sin α>0. 師:解題思路非常清楚,就是下結(jié)論前的敘述顯得有點匆忙,不夠確切.咱們看這樣說是不是更好些?前邊的就用他的說法,接著說,第一象限內(nèi)的點的縱坐標都為正數(shù),也就是y>0,而r=,也一定大于零,所以得出結(jié)論,sin α>0,符號為“+”. 師:這個結(jié)論一經(jīng)推出,其余問題我們也就都會解決了.下面我們再把角落在第二、第三、 四象限內(nèi),將正弦函數(shù)的函數(shù)值的符號確定一下. 生:正弦函數(shù)sin α=yr,當角a在第二象限時,sin α的符號為“+”;當角α在第三象限時,sin α的符號為“-”;當角α在第四象時,sin α的符號也為“-”. 師:完全正確.由于r=>0,所以我們可以看出,sinπ的符號與誰的符號一致? 生:與y的符號一致. 師:好的.現(xiàn)在正弦函數(shù)的問題咱們已經(jīng)解決了,下面該確定余弦函數(shù)的函數(shù)值在各個象限內(nèi)的符號了.我想,得出正確結(jié)論已經(jīng)不是什么難事了.只是如果請你說,你能敘述得完整 嗎?另外,你還有沒有別的辦法解決這個問題? 生:余弦函數(shù)cos α=xr,我們知道r=>0,它的值永遠是正的,所以cos a的符號是由x確定的,而且與x的符號相同.x是角α所在象限內(nèi)的點的橫坐標,所以當角a在第一象限內(nèi)時,cos α的符號為“+”,當角α在第二或第三象限時,cos a的符號為“-”,而當角α在第四象限時,cos α的符號為“+”. 師:回答得很好.各個量之間的關(guān)系都說得非常清楚、準確. 生:還可以簡單地記為:余弦函數(shù)值的符號與x的符號一致. 師:也對.只是這個結(jié)論前的一些推理咱們必須清楚. 正切函數(shù)tan α=在各個象限內(nèi)的符號又是怎樣的? 生:對于第一、三象限內(nèi)的角,正切值為正的,因為此時x,y同號;對于第二、四象限內(nèi)的角,正切值為負的,因為此時x,y異號. 師:完全正確.我們研究清楚了正弦、余弦、正切函數(shù)的函數(shù)值在各個象限內(nèi)的符號,剩下的三個三角函數(shù)的函數(shù)值在各個象限內(nèi)的符號就好確定了.為什么? 生:因為余切值()與正切值()互為倒數(shù),所以它們的符號一致,同理,正割值()與余弦值()的符號一致,而余割值()與正弦值()的符號一致. 師:很好.為了便于記憶,我們不妨把剛才的結(jié)論總結(jié)于坐標系中,看看這種直觀、形象的方式是否適合于你?(板書) 師:現(xiàn)在我們知道了三角函數(shù)的數(shù)值是由角的終邊的位置決定的.顯然,當兩個角相差 360的整數(shù)倍時,它們倆的終邊相同,所以它們的同一個三角函數(shù)的值相等.由此得到一組公式(公式一). (板書) 師:這組公式使我們可以把任意角的三角函數(shù)值的問題,轉(zhuǎn)化為0~360(或0~2π)間的角的三角函數(shù)值的問題.(板書) 例3 確定下列各三角函數(shù)值的符號. (1)cos 250; (2)sin(-); (3)tan(-67210′) (教師邊分析邊板書) 解 (1)因為250是第三象限的角,所以cos 250<0. (2)(由學(xué)生口述完成)因為-是第四象限角,所以sin (-)<0. (3)(由學(xué)生解) 因為tan(-67210′)=tan(-2360+4750′)=tan 4750′,又因為4750′是第一象限角,所以tan (-67210′)>0. 師:下面咱們接著做例4.(板書) 例4 根據(jù)條件sin<0且tan>0,確定是第幾象限角. (教師邊講邊寫) 解 為sin<0,所以在第三象限或第四象限,或的終邊落在y軸的負半軸上. 因為tan>0.所以在第一象限或第三象限. 由于sin <0與tan>0同時成立,所以在第三象限. 師:下面咱們小結(jié)一下這節(jié)課,這節(jié)課的主要內(nèi)容是任意角三角函數(shù)的定義,通過對這一定義的學(xué)習,我們掌握六個三角函數(shù)的定義域,要會利用定義,求出各三角函數(shù)在每個象限的符號并且記住各結(jié)論.要知道公式一的理論依據(jù)就是任意角三角函數(shù)的定義,當然還要掌握公式一. 作業(yè):課本P138練習一第1,2,3,4,5,6題.其中第2,3題寫在書上,其余的寫在本上. 課堂教學(xué)設(shè)計說明 1.復(fù)習銳角三角函數(shù). 2.講解任意角三角函數(shù)的定義. 3.用列表的形式總結(jié)出各個三角函數(shù)的定義域. 4.例1是三角函數(shù)定義的最簡單、直接的應(yīng)用.例2是應(yīng)用任意角三角函數(shù)的定義解題. 5.利用三角函數(shù)的定義和各象限內(nèi)點的坐標的符號,確定各三角函數(shù)值在每個象限的符號. 6.誘導(dǎo)公式一 7.例3和例4. 8.小結(jié)、作業(yè). 為什么要采取以上步驟呢?因為本節(jié)課的重點和難點就是任意角三角函數(shù)的定義,而其余內(nèi)容均是關(guān)于任意角的函數(shù)的定義的應(yīng)用,所以對于這一定義,不僅安排了復(fù)習銳角的三角函數(shù),而且還安排了兩道應(yīng)用定義的例題,即例1和例2.此外,三角函數(shù)與學(xué)生們以往所學(xué)過的函數(shù)從形式上看區(qū)別很大,有的學(xué)生可能一時找不對自變量,所以,在講課時注意強調(diào)了三角函數(shù)的自變量是角,并在此基礎(chǔ)上,應(yīng)用新學(xué)的任意角三角函數(shù)的定義,求出各個三角函數(shù)的定義域. 應(yīng)用三角函數(shù)的定義,可判斷出三角函數(shù)在各個象限的符號.對于這點,教師覺得學(xué)生完全有能力自己完成,所以,這塊知識是以教師提問學(xué)生回答,最后一起做總結(jié)的形式完成的. 誘導(dǎo)公式一,也是任意角三角函數(shù)定義的再次應(yīng)用,有了它,我們就可以把求任意角的三角函數(shù)值問題,轉(zhuǎn)化為求0~360(或0~2π)間角的三角函數(shù)值的問題了. 板書設(shè)計- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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