2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八章8.4 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系教案 理 北師大版.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八章8.4 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系教案 理 北師大版 考綱要求 1．能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系． 2．能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系． 3．能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題． 4．初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想． 5．了解空間直角坐標(biāo)系，會(huì)用空間直角坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置，會(huì)推導(dǎo)空間兩點(diǎn)間的距離公式． 知識梳理 1．直線與圓的位置關(guān)系 (1)直線與圓的位置關(guān)系有三種：____、____、____. 判斷直線與圓的位置關(guān)系常見的有兩種方法： ①代數(shù)法：把直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組，消去x或y整理成一元二次方程后，計(jì)算判別式Δ＝b2－4ac ②幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓的半徑r的大小關(guān)系： d＜r?____， d＝r?____， d＞r?____. (2)圓的切線方程： 若圓的方程為x2＋y2＝r2，點(diǎn)P(x0，y0)在圓上，則過P點(diǎn)且與圓x2＋y2＝r2相切的切線方程為____________． 注：點(diǎn)P必須在圓x2＋y2＝r2上． 經(jīng)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程為______________． 經(jīng)過圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程為__________． (3)直線與圓相交： 直線與圓相交時(shí)，若l為弦長，d為弦心距，r為半徑，則有r2＝______，即l＝2，求弦長或已知弦長求其他量的值，一般用此公式． 2．圓與圓的位置關(guān)系 (1)圓與圓的位置關(guān)系可分為五種：_____、_____、_____、_____、_____. (2)判斷圓與圓的位置關(guān)系常用方法： ①幾何法：設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑為r1，r2(r1≠r2)，則|O1O2|＞r1＋r2?____；|O1O2|＝r1＋r2?____；|r1－r2|＜|O1O2|＜r1＋r2?____；|O1O2|＝|r1－r2|?____；|O1O2|＜|r1－r2|?____. ②代數(shù)法： 方程組 有兩組不同的實(shí)數(shù)解?兩圓____； 有兩組相同的實(shí)數(shù)解?兩圓____； 無實(shí)數(shù)解?兩圓相離或內(nèi)含． 3．在空間直角坐標(biāo)系中，O叫做坐標(biāo)原點(diǎn)，x，y，z軸統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸，由坐標(biāo)軸確定的平面叫做坐標(biāo)平面．這兒所說的空間直角坐標(biāo)系是空間右手直角坐標(biāo)系：即伸開右手，使拇指指向______軸的正方向，食指指向______軸的正方向，中指指向______軸的正方向．也可這樣建立坐標(biāo)系：令z軸的正方向豎直向上，先確定x軸的正方向，再將其按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90就是y軸的正方向． 4．空間點(diǎn)的坐標(biāo) 設(shè)點(diǎn)P(x，y，z)為空間坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，則(1)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)是______；(2)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是______；(3)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)是______；(4)關(guān)于z軸的對稱點(diǎn)是______；(5)關(guān)于xOy坐標(biāo)平面的對稱點(diǎn)是______；(6)關(guān)于yOz坐標(biāo)平面的對稱點(diǎn)是______；(7)關(guān)于xOz坐標(biāo)平面的對稱點(diǎn)是______． 5．空間兩點(diǎn)間的距離 設(shè)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則|AB|＝__________. 基礎(chǔ)自測 1．在下列直線中，與圓x2＋y2＋2x－2y＋3＝0相切的直線是(　　)． A．x＝0 B．y＝0 C．x－y＝0 D．x＋y＝0 2．兩圓x2＋y2－2y＝0與x2＋y2－4＝0的位置關(guān)系是(　　)． A．相交 B．內(nèi)切 C．外切 D．內(nèi)含 3．直線l：y＝k(x－2)＋2與圓C：x2＋y2－2x－2y＝0有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則k的取值范圍是(　　)． A．(－∞，－1) B．(－1,1) C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(－1，＋∞) 4．圓心在原點(diǎn)且與直線x＋y－2＝0相切的圓的方程為________． 5．直線l：y＝k(x＋3)與圓O：x2＋y2＝4交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝2，則實(shí)數(shù)k＝__________. 6．已知A(x,2,3)，B(5,4,7)，且|AB|＝6，則x的值為__________． 思維拓展 1．在判斷直線與圓相交時(shí)，當(dāng)直線方程和圓的方程都含有字母時(shí)，如何判斷？ 提示：若給出的方程都含有字母，利用代數(shù)法和幾何法有時(shí)比較麻煩，這時(shí)只要說明直線過圓內(nèi)的定點(diǎn)即可． 2．在求過一定點(diǎn)的圓的切線方程時(shí)，應(yīng)注意什么？ 提示：①首先判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，若點(diǎn)在圓上，該點(diǎn)即為切點(diǎn)，則切線只有一條；若點(diǎn)在圓外，切線應(yīng)有兩條；若點(diǎn)在圓內(nèi)，無切線．②若求出的切線條數(shù)與判斷不一致，則可能漏掉了切線斜率不存在的情況了． 一、直線與圓的位置關(guān)系 【例1】點(diǎn)M(a，b)是圓x2＋y2＝r2內(nèi)異于圓心的一點(diǎn)，則直線ax＋by＝r2與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　)． A．0 B．1 C．2 D．需要討論確定 方法提煉直線與圓的位置關(guān)系有兩種判定方法：代數(shù)法與幾何法．由于幾何法一般比代數(shù)法計(jì)算量小，簡便快捷，所以更容易被人接受．同時(shí)，由于它們的幾何性質(zhì)非常明顯，所以利用數(shù)形結(jié)合，并充分考慮有關(guān)性質(zhì)會(huì)使問題處理起來更加方便． 請做[針對訓(xùn)練]4 二、直線與圓相交問題 【例2－1】過原點(diǎn)且傾斜角為60的直線被圓x2＋y2－4y＝0所截得的弦長為(　　)． A． B．2 C． D．2 【例2－2】已知點(diǎn)P(0,5)及圓C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.若直線l過點(diǎn)P且被圓C截得的弦長為4，求l的方程． 方法提煉直線與圓相交求弦長有兩種方法： (1)代數(shù)方法：將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程．在判別式Δ＞0的前提下，利用根與系數(shù)的關(guān)系求弦長．弦長公式l＝|x1－x2|＝＝.其中a為一元二次方程中的二次項(xiàng)系數(shù)． (2)幾何方法：若弦心距為d，圓的半徑長為r，則弦長l＝2. 代數(shù)法計(jì)算量較大，我們一般選用幾何法． 請做[針對訓(xùn)練]1 三、圓的切線問題 【例3】從圓(x－1)2＋(y－1)2＝1外一點(diǎn)P(2,3)向該圓引切線，求切線方程． 方法提煉求圓的切線方程，一般設(shè)為點(diǎn)斜式方程．首先判斷點(diǎn)是否在圓上，如果過圓上一點(diǎn)，則有且只有一條切線，如果過圓外一點(diǎn)，則有且只有兩條切線．若利用點(diǎn)斜式方程求得過圓外一點(diǎn)的切線只有一條，則需結(jié)合圖形把斜率不存在的那條切線補(bǔ)上． 請做[針對訓(xùn)練]5 四、圓與圓的位置關(guān)系 【例4－1】已知圓C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圓C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，m為何值時(shí)， (1)圓C1與圓C2外切； (2)圓C1與圓C2內(nèi)含． 【例4－2】已知圓C的圓心在直線x－y－4＝0上，并且通過兩圓C1：x2＋y2－4x－3＝0和C2：x2＋y2－4y－3＝0的交點(diǎn)， (1)求圓C的方程； (2)求兩圓C1和C2相交弦所在直線的方程． 方法提煉1．判斷兩圓的位置關(guān)系，通常是用幾何法，從圓心距d與兩圓半徑長的和、差的關(guān)系入手．如果用代數(shù)法，從交點(diǎn)個(gè)數(shù)也就是方程組解的個(gè)數(shù)來判斷，但有時(shí)不能得到準(zhǔn)確結(jié)論． 2．若所求圓過兩圓的交點(diǎn)，則可將圓的方程設(shè)為過兩圓交點(diǎn)的圓系方程C1＋λC2＝0(λ≠－1)． 3．利用兩圓方程相減即可得到相交弦所在直線的方程． 請做[針對訓(xùn)練]2 五、空間直角坐標(biāo)系 【例5－1】在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1,0,2)，B(1，－3,1)，點(diǎn)M在y軸上，且M到A與B的距離相等，則M的坐標(biāo)是__________． 【例5－2】求點(diǎn)A(1,2，－1)關(guān)于x軸及坐標(biāo)平面xOy的對稱點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，以及B，C兩點(diǎn)間的距離． 方法提煉求某點(diǎn)關(guān)于某軸的對稱點(diǎn)時(shí)，“關(guān)于誰對稱誰不變”，如點(diǎn)(x，y，z)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是(x，－y，－z)；求某點(diǎn)關(guān)于某平面的對稱點(diǎn)時(shí)，“缺哪個(gè)變哪個(gè)”，如點(diǎn)(x，y，z)關(guān)于平面xOy的對稱點(diǎn)是(x，y，－z)；點(diǎn)(x，y，z)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)是(－x，－y，－z)． 請做[針對訓(xùn)練]3 考情分析 通過分析近幾年的高考試題，可以看到對于本節(jié)內(nèi)容，主要是考查直線與圓的位置關(guān)系，以選擇題、填空題為主，題目難度適中，著重于基礎(chǔ)知識、基本方法的考查．整個(gè)命題過程主要側(cè)重以下幾點(diǎn)：(1)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系是考查的重點(diǎn)，特別是直線與圓的位置關(guān)系；(2)圓中幾個(gè)重要的度量關(guān)系．在直線與圓的位置關(guān)系中，弦心距、半弦長、半徑構(gòu)成的直角三角形是解決問題的核心；在切線問題中，切線長、半徑、圓外的點(diǎn)與圓心的連線構(gòu)成的直角三角形是解決切線問題的載體． 針對訓(xùn)練 1．過原點(diǎn)的直線與圓x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的長為2，則該直線的方程為__________． 2．若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦長為2，則a＝________. 3．已知在空間中有△ABC，其中A(1，－2，－3)，B(－1，－1，－1)，C(0,0，－5)，則△ABC的面積等于__________． 4．已知圓x2＋y2＝2和直線y＝x＋b，當(dāng)b為何值時(shí)，圓與直線 (1)有兩個(gè)公共點(diǎn)； (2)只有一個(gè)公共點(diǎn)； (3)沒有公共點(diǎn)． 5．自點(diǎn)A(－3,3)發(fā)出的光線l射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在直線與圓x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，如圖所示，求光線l所在直線的方程． 參考答案 基礎(chǔ)梳理自測 知識梳理 1．(1)相切　相交　相離?、傧嘟弧∠嗲小∠嚯x?、谙嘟弧∠嗲小∠嚯x (2)x0x＋y0y＝r2　(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2　x0x＋y0y＋D＋E＋F＝0　(3)d2＋2 2．(1)相離　外切　相交　內(nèi)切　內(nèi)含 ①相離　外切　相交　內(nèi)切　內(nèi)含?、谙嘟弧∠嗲? 3．x　y　z 4．(－x，－y，－z)　(x，－y，－z)　(－x，y，－z)　(－x，－y，z)　(x，y，－z)　(－x，y，z)　(x，－y，z) 5． 基礎(chǔ)自測 1．B　解析：將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋)2＋(y－1)2＝1，分別結(jié)合圖形及通過求解圓心到直線距離與半徑的關(guān)系易得B選項(xiàng)正確(A，B選項(xiàng)均通過作圖可直觀判斷)． 2．B　解析：兩圓方程可化為x2＋(y－1)2＝1，x2＋y2＝4.兩圓圓心分別為O1(0,1)，O2(0,0)，半徑分別為r1＝1，r2＝2. ∵|O1O2|＝1＝r2－r1，∴兩圓內(nèi)切． 3．D　解析：由題意知，圓心C(1,1)到直線l的距離d＝＜，解得k≠－1，故k的取值范圍是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)． 4．x2＋y2＝2　解析：圓心(0,0)到直線x＋y－2＝0的距離d＝＝. ∴圓的方程為x2＋y2＝2. 5．　解析：由已知可求出圓心O到直線l的距離d＝，即＝，解得k＝. 6．1或9　解析：由空間兩點(diǎn)間的距離公式，得＝6， 即(x－5)2＝16，解得x＝1或x＝9. 考點(diǎn)探究突破 【例1】A　解析：由題意知a2＋b2＜r2， 所以圓心(0,0)到直線ax＋by－r2＝0的距離d＝＞r， 即直線與圓相離，無交點(diǎn)． 【例2－1】D　解析：直線方程為y＝x，圓的方程可化為x2＋(y－2)2＝4. 圓心(0,2)，半徑長r＝2. 圓心到直線y＝x的距離d＝1. 則弦長為2＝2. 【例2－2】解：圓的方程可化為(x＋2)2＋(y－6)2＝16，圓心(－2,6)，半徑長r＝4. 又直線l被圓截得的弦長為4， 所以圓心C到直線l的距離d＝＝2. 當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線方程為x＝0，此時(shí)符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y－5＝kx，即kx－y＋5＝0. 由＝2，得k＝， 此時(shí)l的方程為x－y＋5＝0，即3x－4y＋20＝0.故所求直線方程為x＝0或3x－4y＋20＝0. 【例3】解：當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0. ∵圓心為(1,1)，半徑長r＝1， ∴＝1，∴k＝. ∴所求切線方程為y－3＝(x－2)， 即3x－4y＋6＝0. 當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，因?yàn)榍芯€過點(diǎn)P(2,3)，且與x軸垂直，此時(shí)切線的方程為x＝2. 【例4－1】解：對于圓C1與圓C2的方程，經(jīng)配方后得 C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9； C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4. (1)如果C1與C2外切，則有＝3＋2. (m＋1)2＋(m＋2)2＝25.即m2＋3m－10＝0，解得m＝－5，或m＝2. (2)如果C1與C2內(nèi)含，則有＜3－2. (m＋1)2＋(m＋2)2＜1，m2＋3m＋2＜0， 解得－2＜m＜－1. ∴當(dāng)m＝－5，或m＝2時(shí)，圓C1與圓C2外切；當(dāng)－2＜m＜－1時(shí)，圓C1與圓C2內(nèi)含． 【例4－2】解：(1)因?yàn)樗蟮膱A過兩已知圓的交點(diǎn)， 故設(shè)此圓的方程為x2＋y2－4x－3＋λ(x2＋y2－4y－3)＝0，(λ≠－1，λ∈R)，即(1＋λ)(x2＋y2)－4x－4λy－3λ－3＝0，即x2＋y2－－－3＝0，圓心為. 由于圓心在直線x－y－4＝0上， ∴－－4＝0，解得λ＝－， 所求圓的方程為x2＋y2－6x＋2y－3＝0. (2)將圓C1和圓C2的方程相減，得x－y＝0，此即相交弦所在直線的方程． 【例5－1】(0，－1,0)　解析：設(shè)M(0，y,0)，由＝， 解得y＝－1，故M(0，－1,0)． 【例5－2】解：易知B(1，－2,1)，C(1,2,1)． 所以|BC|＝ ＝4. 演練鞏固提升 針對訓(xùn)練 1．2x－y＝0　解析：圓的方程可化為(x－1)2＋(y－2)2＝1，可知圓心為(1,2)，半徑為1. 設(shè)直線方程為y＝kx，則圓心到直線的距離為d＝，故有＝0，解得k＝2.故直線方程為y＝2x，即2x－y＝0. 2．1　解析：依題，畫出兩圓位置如下圖，公共弦為AB，交y軸于點(diǎn)C，連接OA，則|OA|＝2.兩圓方程相減，得2ay＝2，解得y＝， ∴|OC|＝. 又公共弦長為2，∴|AC|＝. 于是，由Rt△AOC可得OC2＝AO2－AC2，即＝22－()2， 整理得a2＝1，又a＞0，∴a＝1. 3．　解析：根據(jù)空間中兩點(diǎn)間的距離公式可得： |AB|＝＝3， |BC|＝＝3 |AC|＝＝3. 因?yàn)閨AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2， 所以△ABC是以A為直角的等腰直角三角形，故其面積S＝|AB||AC|＝33＝. 4．解：方法一：圓心O(0,0)到y(tǒng)＝x＋b的距離d＝，圓的半徑長r＝. (1)d＜r，即－2＜b＜2時(shí)，直線與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)； (2)d＝r，即b＝2或b＝－2時(shí)，直線與圓相切，有一個(gè)公共點(diǎn)； (3)d＞r，即b＞2或b＜－2時(shí)，直線與圓相離，沒有公共點(diǎn)． 方法二：把直線y＝x＋b與圓的方程x2＋y2＝2聯(lián)立，即消去y，整理得2x2＋2bx＋b2－2＝0. 再利用△＞0，△＝0，△＜0，分別確定b的取值，結(jié)論同“方法一”． 5．解法一：設(shè)入射光線l所在直線方程為y－3＝k(x＋3)．因?yàn)辄c(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A′(－3，－3)，所以反射光線所在直線經(jīng)過點(diǎn)A′. 又∵光線的入射角等于反射角， ∴反射光線所在直線的方程為 kx＋y＋3k＋3＝0. ∵反射光線與圓x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切， ∴＝1，解得k＝－，或k＝－.∴入射光線l所在的直線方程為y－3＝－(x＋3)，或y－3＝－(x＋3)， 即3x＋4y－3＝0，或4x＋3y＋3＝0. 解法二：圓C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0關(guān)于x軸的對稱圓C′的方程為x2＋y2－4x＋4y＋7＝0. 因入射光線經(jīng)x軸反射后與圓C相切，則入射光線所在直線與圓C′相切． 設(shè)l：y－3＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋3＝0. ∵圓C′的圓心(2，－2)到l的距離與半徑長相等，∴＝1， ∴k＝－，或k＝－. ∴入射光線所在直線方程為 3x＋4y－3＝0，或4x＋3y＋3＝0.