2019-2020年高考數(shù)學總復習 第一章 集合與常用邏輯用語 第3講 簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞.doc

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2019-2020年高考數(shù)學總復習 第一章 集合與常用邏輯用語 第3講 簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞 最新考綱　1.了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義；2.理解全稱量詞與存在量詞的意義；3.能正確地對含有一個量詞的命題進行否定． 知 識 梳 理 1．簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞 (1)命題中的且、或、非叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞． (2)命題p且q、p或q、非p的真假判斷 p q p且q p或q 非p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 2.全稱量詞與存在量詞 (1)全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，用“?”表示；含有全稱量詞的命題叫做全稱命題． (2)存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，用“?”表示；含有存在量詞的命題叫做特稱命題． 3．含有一個量詞的命題的否定 命題 命題的否定 ?x∈M，p(x) ?x0∈M，p(x0) ?x0∈M，p(x0) ?x∈M，p(x) 診 斷 自 測 1．判斷正誤(在括號內(nèi)打“√”或“”)　精彩PPT展示 (1)命題p∧q為假命題，則命題p，q都是假命題．() (2)若命題p，q至少有一個是真命題，則p∨q是真命題．(√) (3)已知命題p：?n0∈N,2n0＞1 000，則p：?n0∈N，2n0≤1 000.() (4)命題“?x∈R，x2≥0”的否定是“?x∈R，x2＜0”．() 2．(xx重慶卷)已知命題p：對任意x∈R，總有|x|≥0； q：x＝1是方程x＋2＝0的根．則下列命題為真命題的是(　　) A．p∧q B．p∧q C．p∧q D．p∧q 解析　由題意知，命題p為真命題，命題q為假命題，故q為真命題，所以p∧q為真命題． 答案　A 3．(xx湖南卷)設(shè)命題p：?x∈R，x2＋1＞0，則p為(　　) A．?x0∈R，x＋1＞0 B．?x0∈R，x＋1≤0 C．?x0∈R，x＋1＜0 D．?x∈R，x2＋1≤0 解析　“?x∈R，x2＋1＞0”的否定為“?x0∈ R，x＋1≤0”，故選B. 答案　B 4．若命題“?x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析　當a＝0時，不等式顯然成立；當a≠0時，由題意知得－8≤a＜0.綜上，－8≤a≤0. 答案　[－8,0] 5．(人教A選修1－1P26A3改編)給出下列命題： ①?x∈N，x3＞x2； ②所有可以被5整除的整數(shù)，末位數(shù)字都是0； ③?x0∈R，x－x0＋1≤0； ④存在一個四邊形，它的對角線互相垂直． 則以上命題的否定中，真命題的序號為________． 答案　①②③ 考點一　含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題及其真假判斷 【例1】 (1)(xx遼寧卷)設(shè)a，b，c是非零向量．已知命題p：若ab＝0，bc＝0，則ac＝0；命題q：若a∥b，b∥c，則a∥c.則下列命題中真命題是(　　) A．p∨q B．p∧q C．(p)∧(q) D．p∨(q) (2)在一次跳傘訓練中，甲、乙兩位學員各跳一次．設(shè)命題p是“甲降落在指定范圍”，q是“乙降落在指定范圍”，則命題“至少有一位學員沒有降落在指定范圍”可表示為(　　) A．(p)∨(q) B．p∨(q) C．(p)∧(q) D．p∨q 解析　(1)由于a，b，c都是非零向量， ∵ab＝0，∴a⊥b.∵bc＝0，∴b⊥c.如圖，則可能a∥c，∴ac≠0，∴命題p是假命題，∴p是真命題．命題q中，a∥b，則a與b方向相同或相反；b∥c，則b與c方向相同或相反．故a與c方向相同或相反，∴a∥c，即q是真命題，則q是假命題，故p∨q是真命題，p∧q，(p)∧(q)，p∨(q)都是假命題． (2)命題“至少有一位學員沒有降落在指定范圍”包含以下三種情況：“甲、乙均沒有降落在指定范圍”“甲降落在指定范圍，乙沒有降落在指定范圍”“乙降落在指定范圍，甲沒有降落在指定范圍”．選A.或者，命題“至少有一位學員沒有降落在指定范圍”等價于命題“甲、乙均降落在指定范圍”的否命題，即“p∧q”的否定．選A. 答案　(1)A　(2)A 規(guī)律方法　若要判斷一個含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假，需先判斷構(gòu)成這個命題的每個簡單命題的真假，再依據(jù)“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，做出判斷即可． 【訓練1】 (1)若命題p：函數(shù)y＝x2－2x的單調(diào)遞增區(qū)間是[1，＋∞)，命題q：函數(shù)y＝x－的單調(diào)遞增區(qū)間是[1，＋∞)，則(　　) A．p∧q是真命題 B．p∨q是假命題 C．p是真命題 D．q是真命題 (2)“p∨q”為真命題是“p∧q”為真命題的________條件． 深度思考　常常借助集合的“并、交、補”的意義來理解由“或、且、非”三個聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題問題，你清楚嗎？ 解析　(1)因為函數(shù)y＝x2－2x的單調(diào)遞增區(qū)間是[1，＋∞)，所以p是真命題； 因為函數(shù)y＝x－的單調(diào)遞增區(qū)間(－∞，0)和(0，＋∞)，所以q是假命題． 所以p∧q為假命題，p∨q為真命題，p為假命題，q為真命題，故選D. (2)若命題“p∨q”為真命題，則p，q中至少有一個為真命題． 若命題“p∧q”為真命題，則p，q都為真命題，因此“p∨q”為真命題是“p∧q”為真命題的必要不充分條件． 答案　(1)D　(2)必要不充分 考點二　全(特)稱命題的否定及其真假判定 【例2】 (1)(xx安徽卷)命題“?x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(　　) A．?x∈R，|x|＋x2＜0 B．?x∈R，|x|＋x2≤0 C．?x0∈R，|x0|＋x＜0 D．?x0∈R，|x0|＋x≥0 (2)(xx沈陽質(zhì)量監(jiān)測)下列命題中，真命題的是(　　) A．?x∈R，x2＞0 B．?x∈R，－1＜sin x＜1 C．?x0∈R,2x0＜0 D．?x0∈R，tan x0＝2 解析　(1)全稱命題的否定是特稱命題，即命題“?x∈R，|x|＋x2≥0”的否定為“?x0∈R，|x0|＋x＜0”．故選C.(2)?x∈R，x2≥0，故A錯；?x∈R，－1≤sin x≤1，故B錯；?x∈R,2x＞0，故C錯，故選D. 答案　(1)C　(2)D 規(guī)律方法　(1)對全(特)稱命題進行否定的方法有：①找到命題所含的量詞，沒有量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞，再進行否定；②對原命題的結(jié)論進行否定．(2)判定全稱命題“?x∈M，p(x)”是真命題，需要對集合M中的每個元素x，證明p(x)成立；要判斷特稱命題是真命題，只要在限定集合內(nèi)至少能找到一個x＝x0，使p(x0)成立． 【訓練2】 命題“存在實數(shù)x，使x＞1”的否定是(　　) A．對任意實數(shù)x，都有x＞1 B．不存在實數(shù)x，使x≤1 C．對任意實數(shù)x，都有x≤1 D．存在實數(shù)x，使x≤1 解析　“存在實數(shù)x，使x＞1”的否定是“對任意實數(shù)x，都有x≤1”．故選C. 答案　C 考點三　與邏輯聯(lián)結(jié)詞、全(特)稱命題有關(guān)的參數(shù)問題 【例3】 已知p：?x∈R，mx2＋1≤0，q：?x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p∨q為假命題，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．[2，＋∞) B．(－∞，－2] C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．[－2,2] 解析　依題意知，p，q均為假命題．當p是假命題時，mx2＋1＞0恒成立，則有m≥0；當q是假命題時，則有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2.因此由p，q均為假命題得即m≥2. 答案　A 規(guī)律方法　以命題真假為依據(jù)求參數(shù)的取值范圍時，首先要對兩個簡單命題進行化簡，然后依據(jù)“p∨q”“p∧q”“p”形式命題的真假，列出含有參數(shù)的不等式(組)求解即可． 【訓練3】 已知命題p：“?x∈[0,1]，a≥ex”；命題q：“?x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”．若命題“p∧q”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析　若命題“p∧q”是真命題，那么命題p，q都是真命題．由?x∈[0,1]，a≥ex，得a≥e；由?x∈R，使x2＋4x＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4. 答案　[e,4] 微型專題　利用邏輯關(guān)系判斷命題真假 xx年高考試題新課標全國Ⅰ卷中考查了一道實際問題的邏輯推理題，這也是今后高考命題的新趨向，大家應加以重視，解決問題的關(guān)鍵是弄清實際問題的含義，結(jié)合數(shù)學的邏輯關(guān)系進行轉(zhuǎn)化． 【例4 (1)(xx新課標全國Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同學被問到是否去過A，B，C三個城市時， 甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市； 乙說：我沒去過C城市； 丙說：我們?nèi)巳ミ^同一城市． 由此可判斷乙去過的城市為________． (2)對于中國足球參與的某次大型賽事，有三名觀眾對結(jié)果作如下猜測： 甲：中國非第一名，也非第二名； 乙：中國非第一名，而是第三名； 丙：中國非第三名，而是第一名． 競賽結(jié)束后發(fā)現(xiàn)，一人全猜對，一人猜對一半，一人全猜錯，則中國足球隊得了第________名． 點撥　找出符合命題的形式，根據(jù)邏輯分析去判斷真假． 解析　(1)由題意可推斷：甲沒去過B城市，但比乙去的城市多，而丙說“三人去過同一城市”，說明甲去過A，C城市，而乙“沒去過C城市”，說明乙去過城市A，由此可知，乙去過的城市為A. (2)由上可知：甲、乙、丙均為“p且q”形式，所以猜對一半者也說了錯誤“命題”，即只有一個為真，所以可知丙是真命題，因此中國足球隊得了第一名． 答案　(1)A　(2)一 點評　在一些邏輯問題中，當字面上并未出現(xiàn)“或”“且”“非”字樣時，應從語句的陳述中搞清含義，并根據(jù)題目進行邏輯分析，找出各個命題之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而解決問題. [思想方法] 1．把握含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的形式，特別是字面上未出現(xiàn)“或”、“且”、“非”字眼，要結(jié)合語句的含義理解． 2．含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假判斷口訣：p∨q→見真即真，p∧q→見假即假，p與p→真假相反． 3．要寫一個命題的否定，需先分清其是全稱命題還是特稱命題，對照否定結(jié)構(gòu)去寫，否定的規(guī)律是“改量詞，否結(jié)論”． [易錯防范] 1．命題的否定與否命題 “否命題”是對原命題“若p，則q”的條件和結(jié)論分別加以否定而得到的命題，它既否定其條件，又否定其結(jié)論；“命題的否定”即“非p”，只是否定命題p的結(jié)論． 2．命題的否定包括：(1)對“若p，則q”形式命題的否定；(2)對含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的否定；(3)對全稱命題和特稱命題的否定，要特別注意下表中常見詞語的否定. 詞語 詞語的否定 等于 不等于 大于 不大于(或小于等于) 小于 不小于(或大于等于) 是 不是 一定是 不一定是 都是 不都是(至少有一個不是) 必有一個 一個也沒有 任意的 某一個 且 或 或 且 至多有一個 至少有兩個 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時：30分鐘) 一、選擇題 1．(xx湖北卷)命題“?x∈R，x2≠x”的否定是(　　) A．?x?R，x2≠x B．?x∈R，x2＝x C．?x?R，x2≠x D．?x∈R，x2＝x 解析　原命題的否定為“?x∈R，x2＝x”． 答案　D 2．(xx天津卷)已知命題p：?x＞0，總有(x＋1)ex＞1，則p為(　　) A．?x0 ≤0，使得(x0＋1)ex0≤1 B．?x0 ＞0，使得(x0＋1)ex0≤1 C．?x＞0，總有(x＋1)ex≤1 D．?x≤0，總有(x＋1)ex≤1 解析　命題p為全稱命題，所以p：?x0 ＞0，使得(x0＋1)ex0≤1. 答案　B 3．(xx海淀區(qū)模擬)已知命題p：?x∈R，x2＋x－1＜0，則p為(　　) A．?x∈R，x2＋x－1＞0 B．?x∈R，x2＋x－1≥0 C．?x?R，x2＋x－1≥0 D．?x?R，x2＋x－1＞0 解析　含有存在量詞的命題的否定，需將存在量詞改為全稱量詞，并將結(jié)論否定，即p：?x∈R，x2＋x－1≥0. 答案　B 4．已知命題p：所有有理數(shù)都是實數(shù)；命題q：正數(shù)的對數(shù)都是負數(shù)，則下列命題中為真命題的是(　　) A．p∨q B．p∧q C．p∧q D．p∨q 解析　不難判斷命題p為真命題，命題q為假命題，從而上面敘述中只有p∨q為真命題． 答案　D 5．(xx湖北七市(州)聯(lián)考)已知命題p：?x∈R，cos x＝；命題q：?x∈R，x2－x＋1＞0，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．命題p∨q是假命題 B．命題p∧q是真命題 C．命題(p)∧(q)是真命題 D．命題(p)∨(q)是真命題 解析　易判斷p為假命題，q為真命題，從而只有選項D正確． 答案　D 6．下列命題中的假命題是(　　) A．?x0∈R，lg x0＝0 B．?x0∈R，tan x0＝ C．?x∈R，x3＞0 D．?x∈R,2x＞0 解析　當x＝1時，lg x＝0，故命題“?x0∈R，lg x0＝0”是真命題；當x＝時，tan x＝，故命題“?x0∈R，tan x0＝”是真命題；由于x＝－1時，x3＜0，故命題“?x∈R，x3＞0”是假命題；根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，對?x∈R,2x＞0，故命題“?x∈R,2x＞0”是真命題． 答案　C 7．設(shè)命題p：函數(shù)y＝sin 2x的最小正周期為；命題q：函數(shù)y＝cos x的圖象關(guān)于直線x＝對稱．則下列判斷正確的是(　　) A．p為真 B．q為假 C．p∧q為假 D．p∨q為真 解析　p是假命題，q是假命題，因此只有C正確． 答案　C 8．(xx武漢調(diào)研測試)已知命題p：?φ∈R，使f(x)＝sin(x＋φ)為偶函數(shù)；命題q：?x∈R，cos 2x＋4sin x－3＜0，則下列命題中為真命題的是(　　) A．p∧q B．(p)∨q C．p∨(q) D．(p)∧(q) 解析　利用排除法求解．?φ＝，使f(x)＝sin(x＋φ)＝sin＝cos x是偶函數(shù)，所以p是真命題，p是假命題；?x＝，使cos 2x＋4sin x－3＝－1＋4－3＝0，所以q是假命題，q是真命題．所以p∧q，(p)∨q，(p)∧(q)都是假命題，排除A，B，D，p∨(q)是真命題，故選C. 答案　C 二、填空題 9．(xx合肥質(zhì)量檢測)命題p：?x≥0，都有x3－1≥0，則p是________． 答案　?x0≥0，有x－1＜0. 10．命題“?x0∈，tan x0＞sin x0”的否定是________． 答案　?x∈，tan x≤sin x 11．若命題p：關(guān)于x的不等式ax＋b＞0的解集是{x|x＞－}，命題q：關(guān)于x的不等式(x－a)(x－b)＜0的解集是{x|a＜x＜b}，則在命題“p∧q”、“p∨q”、“p”、“q”中，是真命題的有________． 解析　依題意可知命題p和q都是假命題，所以“p∧q”為假、“p∨q”為假、“p”為真、“q”為真． 答案　p、q 12．下列結(jié)論： ①若命題p：?x∈R，tan x＝1；命題q：?x∈R，x2－x＋1＞0.則命題“p∧q”是假命題； ②已知直線l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，則l1⊥l2的充要條件是＝－3； ③命題“若x2－3x＋2＝0，則x＝1”的逆否命題：若“x≠1，則x2－3x＋2≠0”．其中正確結(jié)論的序號為________． 解析?、僦忻}p為真命題，命題q為真命題， 所以p∧q為假命題，故①正確； ②當b＝a＝0時，有l(wèi)1⊥l2，故②不正確； ③正確．所以正確結(jié)論的序號為①③. 答案?、佗? 能力提升題組 (建議用時：15分鐘) 13．(xx衡水中學調(diào)研)給定命題p：函數(shù)y＝ln[(1－x)(1＋x)]為偶函數(shù)；命題q：函數(shù)y＝為偶函數(shù)．下列說法正確的是(　　) A．p∨q是假命題 B．(p)∧q是假命題 C．p∧q是真命題 D．(p)∨q是真命題 解析　對于命題p：令y＝f(x)＝ln[(1－x)(1＋x)]，由(1－x)(1＋x)＞0，得－1＜x＜1，∴函數(shù)f(x)的定義域為(－1,1)，關(guān)于原點對稱，又∵f(－x)＝ln[(1＋x)(1－x)]＝f(x)，∴函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，∴命題p為真命題；對于命題q：令y＝f(x)＝，函數(shù)f(x)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，f(－x)＝＝＝＝－f(x)， ∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，∴命題q為假命題，∴(p)∧q是假命題，故選B. 答案　B 14．(xx湖南五市十校聯(lián)考)下列命題中是假命題的是(　　) A．?α ，β∈R，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β B．?φ∈R，函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函數(shù) C．?m∈R，使f(x)＝(m－1)xm2－4m＋3是冪函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減 D．?a＞0，函數(shù)f(x)＝ln2 x＋ln x－a有零點 解析　對于A，當α＝0時，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立；對于B，當φ＝時，f(x)＝sin(2x＋φ)＝cos 2x為偶函數(shù)；對于C，當m＝2時，f(x)＝(m－1)xm2－4m＋3＝x－1＝，滿足條件；對于D，令ln x＝t，?a＞0，對于方程t2＋t－a＝0，Δ＝1－4(－a)＞0，方程恒有解，故滿足條件．綜上可知，選B. 答案　B 15．(xx北京海淀區(qū)測試)若命題“?x0∈R，使得x＋mx0＋2m－3＜0”為假命題，則實數(shù)m的取值范圍是________． 解析　由已知得“?x∈R，x2＋mx＋2m－3≥0”為真命題，則Δ＝m2－41(2m－3)＝m2－8m＋12≤0，解得2≤m≤6，即實數(shù)m的取值范圍是2≤m≤6. 答案　[2,6] 16．已知命題p：“?x∈R，?m∈R,4x－2x＋1＋m＝0”，若命題p是假命題，則實數(shù)m的取值范圍是__________． 解析　若p是假命題，則p是真命題， 即關(guān)于x的方程4x－22x＋m＝0有實數(shù)解， 由于m＝－(4x－22x)＝－(2x－1)2＋1≤1， ∴m≤1. 答案　(－∞，1] 17．已知c＞0，設(shè)命題p：函數(shù)y＝cx為減函數(shù)．命題q：當x∈時，函數(shù)f(x)＝x＋＞恒成立．如果“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，則c的取值范圍是________． 解析　由命題p為真知，0＜c＜1， 由命題q為真知，2≤x＋≤， 要使此式恒成立，需＜2，即c＞， 若“p或q”為真命題，“p且q”為假命題， 則p，q中必有一真一假， 當p真q假時，c的取值范圍是0＜c≤； 當p假q真時，c的取值范圍是c≥1. 綜上可知，c的取值范圍是∪[1，＋∞)． 答案　∪[1，＋∞)