2019-2020年高考數(shù)學考點分類自測 數(shù)學歸納法 理.doc
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2019-2020年高考數(shù)學考點分類自測 數(shù)學歸納法 理 一、選擇題 1.如果命題P(n)對 n=k 成立,則它對 n=k+2 也成立,若P(n) 對n=2 也成立,則下列結論正確的是 ( ) A.P(n)對所有正整數(shù) n 都成立 B.P(n)對所有正偶數(shù) n 都成立 C.P(n)對所有正奇數(shù) n 都成立 D.P(n)對所有自然數(shù) n 都成立 2.用數(shù)學歸納法證明“2n>n2+1 對于n≥n0 的正整數(shù) n 都成立”時,第一步證明中的起始值 n0 應取 ( ) A.2 B.3 C.5 D.6 3.對于不等式<n+1(n∈N*),某同學應用數(shù)學歸納法的證明過程如下: (1)當n=1時,<1+1,不等式成立. (2)假設當n=k(k∈N*)時,不等式成立,即<k+1, 則當n=k+1時,=<==(k+1)+1, ∴當n=k+1時,不等式成立. 則上述證法 ( ) A.過程全部正確 B.n=1驗得不正確 C.歸納假設不正確 D.從n=k到n=k+1的推理不正確 4.用數(shù)學歸納法證明 1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N*)的過程中,第二步假設當n=k時等式成立,則當n=k+1時應得到 ( ) A.1+2+22+…+2k-2+2k-1=2k+1-1 B.1+2+22+…+2k+2k+1=2k-1-1+2k+1 C.1+2+22+…+2k-1+2k+1=2k+1-1 D. 1+2+22+…+2k-1+2k=2k-1+2k 5.用數(shù)學歸納法證明12+22+…+(n-1)2+n2+(n-1)2+…+22+12=時,由 n=k 的假設到證明 n=k+1 時,等式左邊應添加的式子是 ( ) A.(k+1)2+2k2 B.(k+1)2+k2 C.(k+1)2 D.(k+1)[2(k+1)2+1] 6.用數(shù)學歸納法證明“當n為正奇數(shù)時,xn+yn能被x+y整除”,第二步歸納假設應寫成 ( ) A.假設n=2k+1(k∈N*)正確,再推n=2k+3正確 B.假設n=2k-1(k∈N*)正確,再推n=2k+1正確 C.假設n=k(k∈N*)正確,再推n=k+1正確 D.假設n=k(k≥1)正確,再推n=k+2正確 二、填空題 7.對大于或等于2的自然數(shù) m的n 次方冪有如下分解方式: 22=1+3,32=1+3+5,42=1+3+5+7;23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19. 根據(jù)上述分解規(guī)律,若n2=1+3+5+…+19, m3(m∈N*)的分解中最小的數(shù)是21,則m+n的值為________. 8.用數(shù)學歸納法證明1+2+3+…+n2=, 則 f(k+1)-f(k)=________. 9.若數(shù)列{an}的通項公式an=,記cn=2(1-a1)(1-a2)…(1-an),試通過計算c1,c2,c3的值,推測cn=________. 三、解答題 10.數(shù)列{an} 滿足 Sn=2n-an(n∈N*). (1)計算 a1,a2,a3,a4, 并由此猜想通項 an 的表達式; (2)用數(shù)學歸納法證明(1)中的猜想. 11.用數(shù)學歸納法證明不等式:1+++…+<2(n∈N*). 12.已知等比數(shù)列{an}的首項 a1=2, 公比q=3, Sn是它的前n項和. 求證:≤. 一、選擇題 1.解析:由題意 n=k 時成立,則n=k+2時也成立, 又n=2時成立,則 P(n) 對所有正偶數(shù)都成立. 答案:B 2.解析:分別令 n0=2,3,5, 依次驗證即可. 答案:C 3.解析:此同學從n=k 到n=k+1的推理中沒有應用歸納假設. 答案:D 4.解析:把 n=k+1 代入 1+2+22+…+2n-1=2n-1, 得1+2+22+…+2k-1+2k= 2k-1+2k. 答案:D 5.解析:本題易被題干誤導而錯選A, 分析等式變化規(guī)律可知左邊實際增加的是(k+1)2+k2. 答案:B 6.解析:首先要注意n為奇數(shù),其次還要使n能取到1. 答案:B 二、填空題 7.解析:依題意得 n2==100, ∴n=10. 易知 m3=21m+2, 整理得(m-5)(m+4)=0, 又 m∈N*, 所以 m=5, 所以m+n=15. 答案:15 8.解析:當 n=k時,等式左端=1+2+…+k2, 當n=k+1時,等式左端=1+2+…+k2+,增加了2k+1項. 答案:(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2 9.解析:c1=2(1-a1)=2(1-)=, c2=2(1-a1)(1-a2)=2(1-)(1-)=, c3=2(1-a1)(1-a2)(1-a3)=2(1-)(1-)(1-)=, 故由歸納推理得cn=. 答案: 三、解答題10.解:(1)a1=1,a2=, a3=,a4=,由此猜想 an=(n∈N*). (2)證明:當n=1時,a1=1, 結論成立. 假設 n=k(k∈N*)時,結論成立, 即ak=, 那么 n=k+1(k∈N*)時, ak+1=Sk+1-Sk =2(k+1)-ak+1-2k+ak =2+ak-ak+1. ∴ak+1===, 這表明 n=k+1 時,結論成立. 根據(jù)(1)和(2),可知猜想對任何n∈N* 都成立. ∴an=(n∈N*). 11.證明:①當n=1時,左邊=1,右邊=2. 左邊<右邊,所以不等式成立, ②假設n=k(k∈N*)時,不等式成立, 即1+++…+<2. 那么當n=k+1時, 1+++…++ <2+= < ==2. 這就是說,當n=k+1時,不等式成立. 由①②可知,原不等式對任意n∈N*都成立.- 配套講稿:
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