2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.1 向量的線性運(yùn)算 2.1.3 向量的減法示范教案 新人教B版必修4.doc

《2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.1 向量的線性運(yùn)算 2.1.3 向量的減法示范教案 新人教B版必修4.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.1 向量的線性運(yùn)算 2.1.3 向量的減法示范教案 新人教B版必修4.doc（9頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.1 向量的線性運(yùn)算 2.1.3 向量的減法示范教案 新人教B版必修4 教學(xué)分析　　　　　 向量減法運(yùn)算是加法的逆運(yùn)算．學(xué)生在理解相反向量的基礎(chǔ)上結(jié)合向量的加法運(yùn)算掌握向量的減法運(yùn)算．因此，類比數(shù)的減法(減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù))，首先引進(jìn)相反向量的概念，然后引入向量的減法(減去一個(gè)向量，等于加上這個(gè)向量的相反向量)，通過向量減法的三角形法則和平行四邊形法則，結(jié)合一定數(shù)量的例題，深刻理解向量的減法運(yùn)算．通過闡述向量的減法運(yùn)算，可以轉(zhuǎn)化為向量加法運(yùn)算，滲透化歸的數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生理解事物之間的相互轉(zhuǎn)化、相互聯(lián)系的辯證思想，同時(shí)由于向量的運(yùn)算能反映出一些物理規(guī)律，從而加強(qiáng)了數(shù)學(xué)學(xué)科與物理學(xué)科之間的聯(lián)系，提高學(xué)生的應(yīng)用意識． 三維目標(biāo)　　　　　 1．通過探究活動，使學(xué)生掌握向量減法概念；理解兩個(gè)向量的減法就是轉(zhuǎn)化為加法來進(jìn)行，掌握相反向量． 2．啟發(fā)學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，善于獨(dú)立思考，學(xué)會分析問題和創(chuàng)造性地解決問題；能熟練地掌握用三角形法則和平行四邊形法則作出兩向量的差向量． 3．能熟練地通過作圖，求作兩個(gè)向量的差． 重點(diǎn)難點(diǎn)　　　　　 教學(xué)重點(diǎn)：向量的減法運(yùn)算及其幾何意義． 教學(xué)難點(diǎn)：對向量減法定義的理解． 課時(shí)安排　　　　　 1課時(shí) 導(dǎo)入新課　　　　　 思路1.(類比聯(lián)想導(dǎo)入)上節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了向量的加法概念，并給出了求作和向量的兩種方法．由向量的加法運(yùn)算自然聯(lián)想到向量的減法運(yùn)算：減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)．向量的減法是否也有類似的法則呢？引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究，由此展開新課． 思路2.(直接導(dǎo)入)數(shù)的減法運(yùn)算是加法運(yùn)算的逆運(yùn)算．本節(jié)課，我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)向量加法的逆運(yùn)算——減法．引導(dǎo)學(xué)生去探究、發(fā)現(xiàn)． 推進(jìn)新課　　　　　 (1)向量是否有減法？ (2)怎樣定義向量的減法運(yùn)算？ (3)如何理解向量的減法？ (4)向量的加法運(yùn)算有平行四邊形法則和三角形法則，那么，向量的減法是否也有類似的法則？ 活動：數(shù)的減法運(yùn)算是數(shù)的加法運(yùn)算的逆運(yùn)算，數(shù)的減法定義即減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，因此定義數(shù)的減法運(yùn)算，必須先引進(jìn)一個(gè)相反數(shù)的概念．類似地，向量的減法運(yùn)算也可定義為向量加法運(yùn)算的逆運(yùn)算．可類比數(shù)的減法運(yùn)算，我們定義向量的減法運(yùn)算，也應(yīng)引進(jìn)一個(gè)新的概念，這個(gè)概念又該如何定義？ 引導(dǎo)學(xué)生思考，相反向量有哪些性質(zhì)？ 由于方向反轉(zhuǎn)兩次仍回到原來的方向，因此a和－a互為相反向量． 于是－(－a)＝a. 我們規(guī)定，零向量的相反向量仍是零向量． 任一向量與其相反向量的和是零向量，即a＋(－a)＝(－a)＋a＝0. 所以，如果a、b是互為相反的向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. (1)平行四邊形法則 如圖1，設(shè)向量＝b，＝a，則＝－b，由向量減法的定義，知＝a＋(－b)＝a－b. 圖1 又b＋＝a， 所以＝a－b. 由此，我們得到a－b的作圖方法． (2)三角形法則 如圖2，已知a、b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作＝a，＝b，則＝a－b，即a－b可以表示為從b的終點(diǎn)指向a的終點(diǎn)的向量，這是向量減法的幾何意義． 圖2 討論結(jié)果：(1)向量也有減法運(yùn)算． (2)定義向量減法運(yùn)算之前，應(yīng)先引進(jìn)相反向量． 與數(shù)x的相反數(shù)是－x類似，我們規(guī)定，與a長度相等，方向相反的量，叫作a的相反向量，記作－a. (3)向量減法的定義．我們定義 a－b＝a＋(－b)， 即減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的相反向量． 規(guī)定：零向量的相反向量是零向量． (4)向量的減法運(yùn)算也有平行四邊形法則和三角形法則，這也正是向量的運(yùn)算的幾何意義所在，是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn)． 思路1 例1如圖3，ABCD中，＝a，＝b，你能用a、b表示向量、嗎？ 圖3 活動：本例是用兩個(gè)向量表示幾何圖形中的其他向量，這是用向量證明幾何問題的基礎(chǔ)．要多注意這方面的訓(xùn)練，特別要掌握用向量表示平行四邊形的四條邊與兩條對角線的關(guān)系． 解：由向量加法的平行四邊形法則，我們知道＝a＋b， 同樣，由向量的減法，知＝－＝a－b. 變式訓(xùn)練 1．已知一點(diǎn)O到ABCD的3個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的向量分別是a、b、c，則向量等于(　　) A．a(chǎn)＋b＋c　　　　　　　　B．a(chǎn)－b＋c C．a(chǎn)＋b－c D．a(chǎn)－b－c 解析：如圖4，點(diǎn)O到平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的向量分別是a、b、c，結(jié)合圖形有＝＋＝＋＝＋－＝a－b＋c. 圖4 答案：B 2．若＝a＋b，＝a－b. ①當(dāng)a、b滿足什么條件時(shí)，a＋b與a－b垂直？ ②當(dāng)a、b滿足什么條件時(shí)，|a＋b|＝|a－b|? ③當(dāng)a、b滿足什么條件時(shí)，a＋b平分a與b所夾的角？ ④a＋b與a－b可能是相等向量嗎？ 　 解：如圖5，用向量構(gòu)建平行四邊形，其中向量、恰為平行四邊形的對角線． 圖5 由平行四邊形法則，得 ＝a＋b，＝－＝a－b. 由此問題就可轉(zhuǎn)換為： ①當(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時(shí)，對角線互相垂直？(|a|＝|b|) ②當(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時(shí)，對角線相等？(a、b互相垂直) ③當(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時(shí)，對角線平分內(nèi)角？(|a|＝|b|) ④a＋b與a－b可能是相等向量嗎？(不可能，因?yàn)閷蔷€方向不同) 例2如圖6，已知向量a，b，c，求作向量a－b＋c. 活動：教師讓學(xué)生親自動手操作，引導(dǎo)學(xué)生注意規(guī)范操作，為以后解題打下良好基礎(chǔ)；點(diǎn)撥學(xué)生根據(jù)向量減法的三角形法則，需要選點(diǎn)平移作出兩個(gè)同起點(diǎn)的向量． 解：在平面上任取一點(diǎn)O，作O＝a，O＝b，則B＝a－b. 再作B＝c，并以BA、BC為鄰邊作BADC， 則B＝B＋B＝a－b＋c(如圖7)． 圖6 圖7 變式訓(xùn)練 1．在ABCD中，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(　　) A.＝　　　　　　　　　B.＋＝ C.－＝ D.＋＝0 解析：A顯然正確，由平行四邊形法則，可知B正確，C中，－＝錯(cuò)誤，D中，＋＝＋＝0正確． 答案：C 2．已知向量a，b，c與d，求a－b，c－d(圖8)． 圖8 解：作＝a，OB＝b，作，則 a－b＝－＝； 作＝c，＝d，作，則 c－d＝－＝. 思路2 例1判斷題： (1)若非零向量a與b的方向相同或相反，則a＋b的方向必與a、b之一的方向相同． (2)△ABC中，必有＋＋＝0. (3)若＋＋＝0，則A、B、C三點(diǎn)是一個(gè)三角形的三頂點(diǎn)． (4)|a＋b|≥|a－b|. 解：(1)若a與b方向相同，則a＋b的方向與a和b方向都相同； 若a與b方向相反，則有可能a與b互為相反向量， 此時(shí)a＋b＝0的方向不確定，說與a、b之一方向相同不妥． (2)由向量加法法則＋＝，與是互為相反向量，所以有上述結(jié)論． (3)因?yàn)楫?dāng)A、B、C三點(diǎn)共線時(shí)也有＋＋＝0，而此時(shí)構(gòu)不成三角形． (4)當(dāng)a與b不共線時(shí)，|a＋b|與|a－b|分別表示以a和b為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長，其大小不定； 當(dāng)a、b為非零向量共線時(shí)，同向則有|a＋b|>|a－b|，異向則有|a＋b|<|a－b|； 當(dāng)a、b中有零向量時(shí)，|a＋b|＝|a－b|. 綜上所述，只有(2)正確． 例2若||＝8，||＝5，則||的取值范圍是(　　) A．[3,8] B．(3,8) C．[3,13] D．(3,13) 解析：＝－. (1)當(dāng)、同向時(shí)，||＝8－5＝3； (2)當(dāng)、反向時(shí)，||＝8＋5＝13； (3)當(dāng)、不共線時(shí)，3<||<13. 綜上，可知3≤||≤13. 答案：C 點(diǎn)評：此題可直接應(yīng)用重要性質(zhì)||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|求解. 變式訓(xùn)練 1．在△ABC中， ＝c， ＝b，若點(diǎn)D滿足＝2，則等于(　　) A.b＋c　　　　　　　　B.c－b C.b－c D.b＋c 答案：A 2．已知a、b、c是三個(gè)非零向量，且兩兩不共線，順次將它們的終點(diǎn)和始點(diǎn)相連接而成一三角形的充要條件為a＋b＋c＝0. 證明：已知a≠0，b≠0，c≠0，且a∥\\ b，b∥\\ c，c∥\\ a， (1)必要性：作＝a，＝b，則由假設(shè)＝c， 另一方面a＋b＝＋＝. 由于與是一對相反向量， ∴有＋＝0，故有a＋b＋c＝0. (2)充分性：作＝a，＝b，則＝a＋b，又由條件a＋b＋c＝0， ∴＋c＝0.等式兩邊同加，得＋＋c＝＋0. ∴c＝，故順次將向量a、b、c的終點(diǎn)和始點(diǎn)相連接成一三角形. 3已知|a|＝6，|b|＝8，且|a＋b|＝|a－b|，求|a－b|. 解：如圖9，設(shè)＝a， ＝b，以AB、AD為鄰邊作ABCD，則＝a＋b， ＝a－b. 圖9 因?yàn)閨a＋b|＝|a－b|， 所以| |＝||. 又四邊形ABCD為平行四邊形，所以四邊形ABCD為矩形．故AD⊥AB. 在Rt△DAB中，||＝6，||＝8，由勾股定理，得||＝＝＝10.所以|a＋b|＝|a－b|＝10. 1．先由學(xué)生回顧本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識：相反向量，向量減法的定義，向量減法的幾何意義，向量差的作圖． 2．教師與學(xué)生一起總結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法，類比，數(shù)形結(jié)合，幾何作圖，分類討論． 課本本節(jié)練習(xí)A組　1,2. 1．向量減法的幾何意義主要是結(jié)合平行四邊形法則和三角形法則進(jìn)行講解的，兩種作圖方法各有千秋．第一種作法結(jié)合向量減法的定義，第二種作法結(jié)合向量的平行四邊形法則，直接作出從同一點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)向量a、b的差，即a－b可以表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量，第二種作圖方法比較簡捷． 2．鑒于上述情況，教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合向量減法的幾何意義，注意差向量的方向，也就是箭頭的方向不要搞錯(cuò)了，a－b的箭頭方向要指向a，如果指向b則表示b－a，在幾何證明題目中，特別要掌握用向量表示平行四邊形的四條邊與兩條對角線的關(guān)系． 3．關(guān)于向量減法，在向量代數(shù)中常有兩種定義方法，第一種方法是將向量的減法定義為向量加法的逆運(yùn)算，也就是說，如果b＋x＝a，則x叫作a與b的差，記作a－b.這樣作a－b時(shí)，可先在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，再作＝a， ＝b，則就是a－b.這種定義向量減法，學(xué)生較難理解定義本身，但很容易作a－b. 第二種方法是在相反向量的基礎(chǔ)上，通過向量加法定義，即定義a－b＝a＋(－b)．用這種方法定義，通過類比數(shù)的減法，學(xué)生容易接受a－b＝a＋(－b)，但作圖較繁．實(shí)際上這兩種定義方法沒有本質(zhì)的區(qū)別． 一、向量減法法則的理解 向量減法的三角形法則的式子內(nèi)容是：若兩個(gè)向量相減，則表示兩個(gè)向量起點(diǎn)的字母必須相同(否則無法相減)，這樣兩個(gè)向量的差向量是以減向量的終點(diǎn)的字母為起點(diǎn)，以被減向量的終點(diǎn)的字母為終點(diǎn)的向量． 只要學(xué)生理解法則內(nèi)容，那么解決起向量加減法的題來就會更加得心應(yīng)手，尤其遇到向量的式子運(yùn)算題時(shí)，一般不用畫圖就可迅速求解，如下面例題： 例1化簡：－＋－. 解：原式＝＋－＝－＝0. 例2化簡：＋＋＋. 解：原式＝(＋)＋(＋)＝(－)＋0＝. 二、備用習(xí)題 1．下列等式中，正確的個(gè)數(shù)是(　　) ①a＋b＝b＋a?、赼－b＝b－a?、?－a＝－a　④－(－a)＝a?、輆＋(－a)＝0 A．5　　　　　　　B．4　　　　　　　C．3　　　　　　　D．2 2．如圖10，D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點(diǎn)，則－等于(　　) 圖10 A. B. C. D. 3．下列式子中不能化簡為的是(　　) A．(＋)＋ B．(＋)＋(＋) C.＋－ D.－＋ 4．已知A、B、C三點(diǎn)不共線，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若＋＋＝0，則O是△ABC的(　　) A．重心 B．垂心 C．內(nèi)心 D．外心 5．若非零向量與滿足|＋|＝||，則△ABC的形狀是(　　) A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 6．已知兩向量a和b，求證：|a＋b|＝|a－b|的充要條件是a的方向與b的方向垂直． 參考答案： 1．B　2.D　3.C　4.A　5.C 6．證明：(1)充分性： 設(shè)＝a，＝b，使⊥，以O(shè)A、OB為鄰邊作矩形OBCA，則|a＋b|＝||，|a－b|＝||. ∵四邊形OBCA為矩形，∴||＝||，故|a＋b|＝|a－b|. (2)必要性： 設(shè)＝a，＝b，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形，則|a＋b|＝||，|a－b|＝||. ∵|a＋b|＝|a－b|，∴||＝||. ∴OBCA為矩形．∴a的方向與b的方向垂直．