《2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)導(dǎo)練測 第六章 高考專題突破三 高考中的數(shù)列問題 理 新人教A版.doc》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)導(dǎo)練測 第六章 高考專題突破三 高考中的數(shù)列問題 理 新人教A版.doc(11頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)導(dǎo)練測 第六章 高考專題突破三 高考中的數(shù)列問題 理 新人教A版
1.公比不為1的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且-3a1,-a2,a3成等差數(shù)列,若a1=1,則S4等于( )
A.-20 B.0 C.7 D.40
答案 A
解析 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,其中q≠1,
依題意有-2a2=-3a1+a3,-2a1q=-3a1+a1q2≠0.
即q2+2q-3=0,(q+3)(q-1)=0,
又q≠1,因此有q=-3,S4==-20,故選A.
2.?dāng)?shù)列{an}中,已知對任意n∈N*,a1+a2+a3+…+an=3n-1,則a+a+a+…+a等于( )
A.(3n-1)2 B.(9n-1)
C.9n-1 D.(3n-1)
答案 B
解析 a1=2,a1+a2+…+an=3n-1,①
n≥2時,a1+a2+…+an-1=3n-1-1,②
①-②得an=3n-12(n≥2),
n=1時,a1=2適合上式,∴an=23n-1.
∴a+a+…+a
==
=(9n-1).
3.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1>0,S50=0.設(shè)bn=anan+1an+2(n∈N*),則當(dāng)數(shù)列{bn}的前n項和Tn取得最大值時,n的值是( )
A.23 B.25
C.23或24 D.23或25
答案 D
解析 因為S50=(a1+a50)
=25(a25+a26)=0,
a1>0,所以a25>0,a26<0,
所以b1,b2,…,b23>0,b24=a24a25a26<0,
b25=a25a26a27>0,
b26,b27,…<0,
且b24+b25=0,
所以當(dāng)數(shù)列{bn}的前n項和Tn取得最大值時,n的值為23或25.
4.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,對任意n∈N*都有Sn=an-,若1
1時,Sn-1=an-1-,
∴an=an-an-1,
∴an=-2an-1,
又a1=-1,∴{an}為等比數(shù)列,且an=-(-2)n-1,
∴Sk=,
由11,∴q=2,∴a1=1.
故數(shù)列{an}的通項為an=2n-1.
(2)由于bn=ln a3n+1,n=1,2,…,
由(1)得a3n+1=23n,
∴bn=ln 23n=3nln 2.
又bn+1-bn=3ln 2,∴{bn}是等差數(shù)列,
∴Tn=b1+b2+…+bn=
=ln 2.
故Tn=ln 2.
思維升華 (1)正確區(qū)分等差數(shù)列和等比數(shù)列,其中公比等于1的等比數(shù)列也是等差數(shù)列.
(2)等差數(shù)列和等比數(shù)列可以相互轉(zhuǎn)化,若數(shù)列{bn}是一個公差為d的等差數(shù)列,則{abn}(a>0,a≠1)就是一個等比數(shù)列,其公比q=ad;反之,若數(shù)列{bn}是一個公比為q(q>0)的正項等比數(shù)列,則{logabn}(a>0,a≠1)就是一個等差數(shù)列,其公差d=logaq.
已知等差數(shù)列{an}的首項a1=1,公差d>0,且第2項、第5項、第14項分別是等比數(shù)列{bn}的第2項、第3項、第4項.
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列{cn}對n∈N*均有++…+=an+1成立,求c1+c2+c3+…+c2 013.
解 (1)由已知有a2=1+d,a5=1+4d,a14=1+13d,
∴(1+4d)2=(1+d)(1+13d),解得d=2 (因為d>0).
∴an=1+(n-1)2=2n-1.
又b2=a2=3,b3=a5=9,∴數(shù)列{bn}的公比為3,
∴bn=33n-2=3n-1.
(2)由++…+=an+1,得
當(dāng)n≥2時,++…+=an.
兩式相減得,=an+1-an=2.
∴cn=2bn=23n-1 (n≥2).
又當(dāng)n=1時,=a2,∴c1=3.
∴cn=
∴c1+c2+c3+…+c2 013
=3+=3+(-3+32 013)=32 013.
題型二 數(shù)列的通項與求和
例2 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1=,an+1=an.
(1)證明:數(shù)列{}是等比數(shù)列;
(2)求通項an與前n項的和Sn.
(1)證明 因為a1=,an+1=an,
當(dāng)n∈N*時,≠0.
又=,∶=(n∈N*)為常數(shù),
所以{}是以為首項,為公比的等比數(shù)列.
(2)解 由{}是以為首項,為公比的等比數(shù)列,
得=()n-1,
所以an=n()n.
∴Sn=1()+2()2+3()3+…+n()n,
Sn=1()2+2()3+…+(n-1)()n+n()n+1,
∴Sn=()+()2+()3+…+()n-n()n+1
=-n()n+1,
∴Sn=2-()n-1-n()n
=2-(n+2)()n.
綜上,an=n()n,Sn=2-(n+2)()n.
思維升華 (1)一般數(shù)列的通項往往要構(gòu)造數(shù)列,此時要從證的結(jié)論出發(fā),這是很重要的解題信息.
(2)根據(jù)數(shù)列的特點選擇合適的求和方法,本題選用的錯位相減法,常用的還有分組求和,裂項求和.
已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),前n項和為Sn,且Sn=,n∈N*.
(1)求證:數(shù)列{an}是等差數(shù)列;
(2)設(shè)bn=,Tn=b1+b2+…+bn,求Tn.
(1)證明 ∵Sn=,n∈N*,
∴當(dāng)n=1時,a1=S1= (an>0),∴a1=1.
當(dāng)n≥2時,由
得2an=a+an-a-an-1.
即(an+an-1)(an-an-1-1)=0,
∵an+an-1>0,∴an-an-1=1(n≥2).
∴數(shù)列{an}是以1為首項,以1為公差的等差數(shù)列.
(2)解 由(1)可得an=n,Sn=,
bn===-.
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn
=1-+-+…+-
=1-=.
題型三 數(shù)列與不等式的綜合問題
例3 (xx廣東)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a1=1,=an+1-n2-n-,n∈N*.
(1)求a2的值;
(2)求數(shù)列{an}的通項公式;
(3)證明:對一切正整數(shù)n,有++…+<.
(1)解 2S1=a2--1-,又S1=a1=1,
所以a2=4.
(2)解 當(dāng)n≥2時,2Sn=nan+1-n3-n2-n,
2Sn-1=(n-1)an-(n-1)3-(n-1)2-(n-1),
兩式相減得2an=nan+1-(n-1)an-(3n2-3n+1)-(2n-1)-,
整理得(n+1)an=nan+1-n(n+1),
即-=1,又-=1,
故數(shù)列是首項為=1,公差為1的等差數(shù)列,
所以=1+(n-1)1=n,所以an=n2,
所以數(shù)列{an}的通項公式為an=n2,n∈N*.
(3)證明 當(dāng)n=1時,=1<;
當(dāng)n=2時,+=1+=<;
當(dāng)n≥3時,=<=-,
此時+++…+=1++++…+<1++++…+
=1++++…+
=+-=-<,
所以對一切正整數(shù)n,有++…+<.
思維升華 (1)以數(shù)列為背景的不等式恒成立問題,多與數(shù)列求和相聯(lián)系,最后利用函數(shù)的單調(diào)性求解.
(2)以數(shù)列為背景的不等式證明問題,多與數(shù)列求和有關(guān),有時利用放縮法證明.
已知等差數(shù)列{an}中,a2=6,a3+a6=27.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)記數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Tn=,若對于一切正整數(shù)n,總有Tn≤m成立,求實數(shù)m的取值范圍.
解 (1)設(shè)公差為d,由題意得:
解得∴an=3n.
(2)∵Sn=3(1+2+3+…+n)=n(n+1),
∴Tn=,
∴Tn+1-Tn=-
=,
∴當(dāng)n≥3時,Tn>Tn+1,且T1=10,所以不等式2n2-n-3<(5-λ)an等價于5-λ>,
記bn=,n≥2時,==,
所以n≥3時<1,(bn)max=b3=,
所以λ<.
4.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,等比數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,它們滿足S4=2S2+8,b2=,T2=,且當(dāng)n=4或5時,Sn取得最小值.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
(2)令cn=(Sn-λ)(-Tn),n∈N*,如果{cn}是單調(diào)數(shù)列,求實數(shù)λ的取值范圍.
解 (1)設(shè){an}的公差為d,{bn}的公比為q,
因為當(dāng)n=4或5時,Sn取得最小值,所以a5=0,
所以a1=-4d,所以an=(n-5)d,
又由a3+a4=a1+a2+8,
得d=2,a1=-8,
所以an=2n-10;
由b2=,T2=得b1=,
所以q=,所以bn=.
(2)由(1)得Sn=n2-9n,Tn=-,
cn=,
當(dāng){cn}為遞增數(shù)列時,cnn2-10n+4恒成立,∴λ∈?,
當(dāng){cn}為遞減數(shù)列時,cn>cn+1,
即λ2-.
6.(xx四川)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,點(an,bn)在函數(shù)f(x)=2x的圖象上(n∈N*).
(1)若a1=-2,點(a8,4b7)在函數(shù)f(x)的圖象上,求數(shù)列{an}的前n項和Sn;
(2)若a1=1,函數(shù)f(x)的圖象在點(a2,b2)處的切線在x軸上的截距為2-,求數(shù)列{}的前n項和Tn.
解 (1)由已知,得b7=2a7,b8=2a8=4b7,
有2a8=42a7=2a7+2.
解得d=a8-a7=2.
所以Sn=na1+d=-2n+n(n-1)=n2-3n.
(2)函數(shù)f(x)=2x在(a2,b2)處的切線方程為=()(x-a2),
它在x軸上的截距為a2-.
由題意知,a2-=2-,
解得a2=2.
所以d=a2-a1=1,從而an=n,bn=2n.
所以Tn=+++…++,
2Tn=+++…+.
因此,2Tn-Tn=1+++…+-
=2--=.
所以Tn=.
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