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2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)導(dǎo)練測(cè) 第九章 第2講 圓的方程 理 新人教A版
一、選擇題
1．已知點(diǎn)A(1，－1)，B(－1,1)，則以線段AB為直徑的圓的方程是( )．
A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝
C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4
解析 AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為：(0,0)，
|AB|＝＝2，
∴圓的方程為：x2＋y2＝2.
答案 A
2．設(shè)圓的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0
0，所以原點(diǎn)在圓外．
答案 B
3．已知圓C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圓C2與圓C1關(guān)于直線x－y－1＝0對(duì)稱，則圓C2的方程為( )
A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1
D．(x－2)2＋(y－2)2＝1
解析 只要求出圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，就是對(duì)稱圓的圓心，兩個(gè)圓的半徑不變．設(shè)圓C2的圓心為(a，b)，則依題意，有
解得對(duì)稱圓的半徑不變，為1.
答案 B
4．若圓(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線4x－3y－2＝0的距離等于1，則半徑r的取值范圍是( )．
A．(4,6) B．[4,6) C．(4,6] D．[4,6]
解析 因?yàn)閳A心(3，－5)到直線4x－3y－2＝0的距離為5，所以當(dāng)半徑r＝4 時(shí)，圓上有1個(gè)點(diǎn)到直線4x－3y－2＝0的距離等于1，當(dāng)半徑r＝6時(shí)，圓上有3個(gè)點(diǎn)到直線4x－3y－2＝0的距離等于1，所以圓上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線4x－3y－2＝0的距離等于1時(shí)，4＜r＜6.
答案 A
5．已知圓C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線x－y＋3＝0對(duì)稱，則實(shí)數(shù)m的值為 ( )．
A．8 B．－4 C．6 D．無(wú)法確定
解析 圓上存在關(guān)于直線x－y＋3＝0對(duì)稱的兩點(diǎn)，則x－y＋3＝0過圓心，即－＋3＝0，∴m＝6.
答案 C
6．圓心為C的圓與直線l：x＋2y－3＝0交于P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿足＝0，則圓C的方程為 ( )．
A.2＋(y－3)2＝ B.2＋(y＋3)2＝
C.2＋(y－3)2＝ D.2＋(y＋3)2＝
解析 法一 ∵圓心為C，
∴設(shè)圓的方程為2＋(y－3)2＝r2.
設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
由圓方程與直線l的方程聯(lián)立得：5x2＋10x＋10－4r2＝0，
∴x1＋x2＝－2，x1x2＝.
由＝0，得x1x2＋y1y2＝0，即：
x1x2－(x1＋x2)＋＝＋＝0，
解得r2＝，經(jīng)檢驗(yàn)滿足判別式Δ>0.
故圓C的方程為2＋(y－3)2＝.
法二 ∵圓心為C，
∴設(shè)圓的方程為2＋(y－3)2＝r2，
在所給的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)方程所寫的圓心是正確的，即2＋(y－3)2＝，故選C.
答案 C
二、填空題
7．過兩點(diǎn)A(0,4)，B(4,6)，且圓心在直線x－2y－2＝0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．
解析 設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，b)，圓半徑為r，則圓方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
∵圓心在直線x－2y－2＝0上，∴a－2b－2＝0，①
又∵圓過兩點(diǎn)A(0,4)，B(4,6)，∴(0－a)2＋(4－b)2＝r2，②且(4－a)2＋(6－b)2＝r2，③
由①②③得：a＝4，b＝1，r＝5，
∴圓的方程為(x－4)2＋(y－1)2＝25.
答案 (x－4)2＋(y－1)2＝25
8．已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，點(diǎn)A(0，－1)，B(0,1)．P是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)|PA|2＋|PB|2取最大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是________．
解析 設(shè)P(x0，y0)，則|PA|2＋|PB|2＝x＋(y0＋1)2＋x＋(y0－1)2＝2(x＋y)＋2，
顯然x＋y的最大值為(5＋1)2，
∴dmax＝74，此時(shí)＝－6，結(jié)合點(diǎn)P在圓上，解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
答案
9．已知平面區(qū)域恰好被面積最小的圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其內(nèi)部所覆蓋，則圓C的方程為________．
解析 由題意知，此平面區(qū)域表示的是以O(shè)(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)所構(gòu)成的三角形及其內(nèi)部，所以覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓，又△OPQ為直角三角形，故其圓心為斜邊PQ的中點(diǎn)(2,1)，半徑為＝，∴圓C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5.
答案 (x－2)2＋(y－1)2＝5
10．已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，點(diǎn)A(－1,0)，B(1,0)，點(diǎn)P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則d＝|PA|2＋|PB|2的最大值為________，最小值為________．
解析 設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，則d＝(x0＋1)2＋y＋(x0－1)2＋y＝2(x＋y)＋2，欲求d的最值，只需求u＝x＋y的最值，即求圓C上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離平方的最值．圓C上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值為6，最小值為4，故d的最大值為74，最小值為34.
答案 74 34
三、解答題
11．已知以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過點(diǎn)A(－1,0)和B(3,4)，線段AB的垂直平分線交圓P于點(diǎn)C和D，且|CD|＝4.
(1)求直線CD的方程；
(2)求圓P的方程．
解 (1)直線AB的斜率k＝1，AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，
∴直線CD的方程為y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
(2)設(shè)圓心P(a，b)，則由P在CD上得a＋b－3＝0. ①
又直徑|CD|＝4，∴|PA|＝2，
∴(a＋1)2＋b2＝40， ②
由①②解得或
∴圓心P(－3,6)或P(5，－2)，
∴圓P的方程為(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.
12．已知圓M過兩點(diǎn)C(1，－1)，D(－1,1)，且圓心M在x＋y－2＝0上．
(1)求圓M的方程；
(2)設(shè)P是直線3x＋4y＋8＝0上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓M的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，求四邊形PAMB面積的最小值．
解 (1)設(shè)圓M的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
根據(jù)題意得：
解得a＝b＝1，r＝2，
故所求圓M的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.
(2)因?yàn)樗倪呅蜳AMB的面積
S＝S△PAM＋S△PBM＝|AM||PA|＋|BM||PB|，
又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|，所以S＝2|PA|，
而|PA|＝＝，
即S＝2.
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，
即在直線3x＋4y＋8＝0上找一點(diǎn)P，使得|PM|的值最小，
所以|PM|min＝＝3，
所以四邊形PAMB面積的最小值為
S＝2＝2＝2.
13．已知圓C過點(diǎn)P(1,1)，且與圓M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)關(guān)于直線x＋y＋2＝0對(duì)稱．
(1)求圓C的方程；
(2)設(shè)Q為圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．
解 (1)設(shè)圓心C(a，b)，則解得
則圓C的方程為x2＋y2＝r2，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入得r2＝2，
故圓C的方程為x2＋y2＝2.
(2)設(shè)Q(x，y)，則x2＋y2＝2，且＝(x－1，y－1)(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2，
令x＝cos θ，y＝sin θ，
∴＝x＋y－2＝(sin θ＋cos θ)－2
＝2sin－2，
所以的最小值為－4.
14．已知點(diǎn)A(－3,0)，B(3,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|＝2|PB|.
(1)若點(diǎn)P的軌跡為曲線C，求此曲線的方程；
(2)若點(diǎn)Q在直線l1：x＋y＋3＝0上，直線l2經(jīng)過點(diǎn)Q且與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)M，求|QM|的最小值．
解 (1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，
則＝2.
化簡(jiǎn)可得(x－5)2＋y2＝16，此即為所求．
(2)曲線C是以點(diǎn)(5,0)為圓心，4為半徑的圓，如圖，
由直線l2是此圓的切線，連接CQ，
則|QM|＝＝，
當(dāng)CQ⊥l1時(shí)，|CQ|取最小值，
|CQ|＝＝4，
此時(shí)|QM|的最小值為＝4
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