2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第30講 數(shù)列求和及數(shù)列實際問題教案 新人教版.doc
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2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第30講 數(shù)列求和及數(shù)列實際問題教案 新人教版 一.課標(biāo)要求: 1.探索并掌握一些基本的數(shù)列求前n項和的方法; 2.能在具體的問題情境中,發(fā)現(xiàn)數(shù)列的數(shù)列的通項和遞推關(guān)系,并能用有關(guān)等差、等比數(shù)列知識解決相應(yīng)的實際問題。 二.命題走向 數(shù)列求和和數(shù)列綜合及實際問題在高考中占有重要的地位,一般情況下都是出一道解答題,解答題大多以數(shù)列為工具,綜合運用函數(shù)、方程、不等式等知識,通過運用逆推思想、函數(shù)與方程、歸納與猜想、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等各種數(shù)學(xué)思想方法,這些題目都考察考生靈活運用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力,它們都屬于中、高檔題目。 有關(guān)命題趨勢: 1.?dāng)?shù)列是一種特殊的函數(shù),而不等式則是深刻認(rèn)識函數(shù)和數(shù)列的有效工具,三者的綜合題是對基礎(chǔ)和能力的雙重檢驗,在三者交匯處設(shè)計試題,特別是代數(shù)推理題是高考的重點; 2.?dāng)?shù)列推理題是將繼續(xù)成為數(shù)列命題的一個亮點,這是由于此類題目能突出考察學(xué)生的邏輯思維能力,能區(qū)分學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、靈敏程度、靈活程度; 3.?dāng)?shù)列與新的章節(jié)知識結(jié)合的特點有可能加強,如與解析幾何的結(jié)合等; 4.有關(guān)數(shù)列的應(yīng)用問題也一直備受關(guān)注。 預(yù)測xx年高考對本將的考察為: 1.可能為一道考察關(guān)于數(shù)列的推導(dǎo)能力或解決生產(chǎn)、生活中的實際問題的解答題; 2.也可能為一道知識交匯題是數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何、應(yīng)用問題上等聯(lián)系的綜合題,以及數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法等有機結(jié)合。 三.要點精講 1.?dāng)?shù)列求通項與和 (1)數(shù)列前n項和Sn與通項an的關(guān)系式:an= 。 (2)求通項常用方法 ①作新數(shù)列法。作等差數(shù)列與等比數(shù)列; ②累差疊加法。最基本的形式是:an=(an-an-1)+(an-1+an-2)+…+(a2-a1)+a1; ③歸納、猜想法。 (3)數(shù)列前n項和 ①重要公式:1+2+…+n=n(n+1); 12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1); 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2=n2(n+1)2; ②等差數(shù)列中,Sm+n=Sm+Sn+mnd; ③等比數(shù)列中,Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn; ④裂項求和 將數(shù)列的通項分成兩個式子的代數(shù)和,即an=f(n+1)-f(n),然后累加抵消掉中間的許多項,這種先裂后消的求和法叫裂項求和法。用裂項法求和,需要掌握一些常見的裂項,如:、=-、nn!=(n+1)!-n!、Cn-1r-1=Cnr-Cn-1r、=-等。 ⑤錯項相消法 對一個由等差數(shù)列及等比數(shù)列對應(yīng)項之積組成的數(shù)列的前n項和,常用錯項相消法。, 其中是等差數(shù)列, 是等比數(shù)列,記,則,… ⑥并項求和 把數(shù)列的某些項放在一起先求和,然后再求Sn。 數(shù)列求通項及和的方法多種多樣,要視具體情形選用合適方法。 ⑦通項分解法: 2.遞歸數(shù)列 數(shù)列的連續(xù)若干項滿足的等量關(guān)系an+k=f(an+k-1,an+k-2,…,an)稱為數(shù)列的遞歸關(guān)系。由遞歸關(guān)系及k個初始值可以確定的一個數(shù)列叫做遞歸數(shù)列。如由an+1=2an+1,及a1=1,確定的數(shù)列即為遞歸數(shù)列。 遞歸數(shù)列的通項的求法一般說來有以下幾種: (1)歸納、猜想、數(shù)學(xué)歸納法證明。 (2)迭代法。 (3)代換法。包括代數(shù)代換,對數(shù)代數(shù),三角代數(shù)。 (4)作新數(shù)列法。最常見的是作成等差數(shù)列或等比數(shù)列來解決問題。 四.典例解析 題型1:裂項求和 例1.已知數(shù)列為等差數(shù)列,且公差不為0,首項也不為0,求和:。 解析:首先考慮,則=。 點評:已知數(shù)列為等差數(shù)列,且公差不為0,首項也不為0,下列求和也可用裂項求和法。 例2.求。 解析:, 點評:裂項求和的關(guān)鍵是先將形式復(fù)雜的因式轉(zhuǎn)化的簡單一些。 題型2:錯位相減法 例3.設(shè)a為常數(shù),求數(shù)列a,2a2,3a3,…,nan,…的前n項和。 解析:①若a=0時,Sn=0; ②若a=1,則Sn=1+2+3+…+n=; ③若a≠1,a≠0時,Sn-aSn=a(1+a+…+an-1-nan), Sn=。 例4.已知,數(shù)列是首項為a,公比也為a的等比數(shù)列,令,求數(shù)列的前項和。 解析:, ①-②得:, 點評:設(shè)數(shù)列的等比數(shù)列,數(shù)列是等差數(shù)列,則數(shù)列的前項和求解,均可用錯位相減法。 題型3:倒序相加 例5.求。 解析:。 ① 又。 ② 所以。 點評:Sn表示從第一項依次到第n項的和,然后又將Sn表示成第n項依次反序到第一項的和,將所得兩式相加,由此得到Sn的一種求和方法。 例6.設(shè)數(shù)列是公差為,且首項為的等差數(shù)列, 求和: 解析:因為, , 。 點評:此類問題還可變換為探索題形:已知數(shù)列的前項和,是否存在等差數(shù)列使得對一切自然數(shù)n都成立。 題型4:其他方法 例7.求數(shù)列1,3+5,7+9+11,13+15+17+19,…前n項和。 解析:本題實質(zhì)是求一個奇數(shù)列的和。在該數(shù)列的前n項中共有個奇數(shù),故。 例8.求數(shù)列1,3+,32+,……,3n+的各項的和。 解析:其和為(1+3+……+3n)+(+……+)==(3n+1-3-n)。 題型5:數(shù)列綜合問題 例9.( xx年浙江卷)已知函數(shù)=x3+x2,數(shù)列 | xn | (xn > 0)的第一項x1=1,以后各項按如下方式取定:曲線y=在處的切線與經(jīng)過(0,0)和(xn,f(xn))兩點的直線平行(如圖)。 求證:當(dāng)n時:(I);(II)。 解析:(I)因為 所以曲線在處的切線斜率 因為過和兩點的直線斜率是 所以. (II)因為函數(shù)當(dāng)時單調(diào)遞增, 而 所以,即 因此 又因為 令則 因為所以 因此 故 點評:數(shù)列與解析幾何問題結(jié)合在一塊,數(shù)列的通項與線段的長度、點的坐標(biāo)建立起聯(lián)系。 例10.(xx年遼寧卷)已知,其中,設(shè),。 (I) 寫出;(II) 證明:對任意的,恒有。 解析:(I)由已知推得,從而有; (II) 證法1:當(dāng)時, 當(dāng)x>0時, ,所以在[0,1]上為增函數(shù)。 因函數(shù)為偶函數(shù)所以在[-1,0]上為減函數(shù), 所以對任意的, 因此結(jié)論成立。 證法2:當(dāng)時, 當(dāng)x>0時, ,所以在[0,1]上為增函數(shù)。 因函數(shù)為偶函數(shù)所以在[-1,0]上為減函數(shù) 所以對任意的 又因 所以 因此結(jié)論成立。 證法3:當(dāng)時, 當(dāng)x>0時, ,所以在[0,1]上為增函數(shù)。 因為函數(shù)為偶函數(shù)所以在[-1,0]上為減函數(shù)。 所以對任意的 由 對上式兩邊求導(dǎo)得: 因此結(jié)論成立。 點評:數(shù)列與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)結(jié)合在一塊,考察數(shù)列是一種特殊的函數(shù)的性質(zhì),其中還要用到數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)來解釋問題。 題型6:數(shù)列實際應(yīng)用題 例11.某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造,有兩種方案,甲方案:一次性貸款10萬元,第一年便可獲利1萬元,以后每年比前一年增加30%的利潤;乙方案:每年貸款1萬元,第一年可獲利1萬元,以后每年比前一年增加5千元;兩種方案的使用期都是10年,到期一次性歸還本息. 若銀行兩種形式的貸款都按年息5%的復(fù)利計算,試比較兩種方案中,哪種獲利更多? (?。? 解析:甲方案是等比數(shù)列,乙方案是等差數(shù)列, ①甲方案獲利:(萬元), 銀行貸款本息:(萬元), 故甲方案純利:(萬元), ②乙方案獲利: (萬元); 銀行本息和: (萬元) 故乙方案純利:(萬元); 綜上可知,甲方案更好。 點評:這是一道比較簡單的數(shù)列應(yīng)用問題,由于本息金與利潤是熟悉的概念,因此只建立通項公式并運用所學(xué)過的公式求解。 例12.(xx湖南20)自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生資源,為持續(xù)利用這一資源,需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強度對魚群總量的影響. 用xn表示某魚群在第n年年初的總量,n∈N*,且x1>0.不考慮其它因素,設(shè)在第n年內(nèi)魚群的繁殖量及捕撈量都與xn成正比,死亡量與xn2成正比,這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a,b,c。 (Ⅰ)求xn+1與xn的關(guān)系式; (Ⅱ)猜測:當(dāng)且僅當(dāng)x1,a,b,c滿足什么條件時,每年年初魚群的總量保持不變?(不要求證明) (Ⅱ)設(shè)a=2,b=1,為保證對任意x1∈(0,2),都有xn>0,n∈N*,則捕撈強度b的最大允許值是多少?證明你的結(jié)論。 解析:(I)從第n年初到第n+1年初,魚群的繁殖量為axn,被捕撈量為bxn,死亡量為 (II)若每年年初魚群總量保持不變,則xn恒等于x1, n∈N*, 從而由(*)式得: 因為x1>0,所以a>b。 猜測:當(dāng)且僅當(dāng)a>b,且時,每年年初魚群的總量保持不變。 (Ⅲ)若b的值使得xn>0,n∈N* 由xn+1=xn(3-b-xn), n∈N*, 知0- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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