2019-2020年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試卷 文(含解析).doc
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2019-2020年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試卷 文(含解析) 一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,滿分60分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.(5分)已知全集是實(shí)數(shù)集R,M={x|x<1},N={1,2,3,4},則(?RM)∩N等于() A. {4} B. {3,4} C. {2,3,4} D. {1,2,3,4} 2.(5分)f(x)=sin2x是() A. 最小正周期為2π的偶函數(shù) B. 最小正周期為2π的奇函數(shù) C. 最小正周期為π的偶函數(shù) D. 最小正周期為π的奇函數(shù) 3.(5分)如果命題“p且q”是假命題,“q”也是假命題,則() A. 命題“p或q”是假命題 B. 命題“p或q”是假命題 C. 命題“p且q”是真命題 D. 命題“p且q”是真命題 4.(5分)用二分法求方程lgx=3﹣x的近似解,可以取的一個(gè)區(qū)間是() A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4) 5.(5分)以拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為圓心,且過坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程為() A. (x﹣1)2+y2=1 B. (x+1)2+y2=1 C. x2+(y﹣1)2=1 D. x2+(y+1)2=1 6.(5分)如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面是∠BAD=60的菱形,且PA=PC,PB=BD,則該四棱錐的主視圖(主視圖投影平面與平面PAC平行)可能是() A. B. C. D. 7.(5分)“a>1”是“”的() A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 8.(5分)設(shè)a,b為兩條直線,α,β為兩個(gè)平面,下列四個(gè)命題中,正確的命題是() A. 若a,b與α所成的角相等,則α∥b B. 若a∥α,b∥β,α∥β,則a∥b C. 若a?α,b?β,α∥b,則α∥β D. 若a⊥α,b⊥β,α⊥β,是a⊥b 9.(5分)如果一個(gè)橢圓的長軸長是短軸長的2倍,那么這個(gè)橢圓的離心率為() A. B. C. D. 10.(5分)已知函數(shù),正實(shí)數(shù)a、b、c滿足f(c)<0<f(a)<f(b),若實(shí)數(shù)d是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn),那么下列四個(gè)判斷: ①d<a;②d>b;③d<c;④d>c.其中可能成立的個(gè)數(shù)為() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11.(5分)曲線y=﹣x3+2x在橫坐標(biāo)為﹣1的點(diǎn)處的切線為L,則點(diǎn)(3,2)到L的距離是() A. B. C. D. 12.(5分)如圖所示,A,B,C是圓O上的三個(gè)點(diǎn),CO的延長線與線段AB交于圓內(nèi)一點(diǎn)D,若,則() A. 0<x+y<1 B. x+y>1 C. x+y<﹣1 D. ﹣1<x+y<0 二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,滿分20分. 13.(5分)已知x=3是函數(shù)f(x)=alnx+x2﹣10x的一個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a=. 14.(5分)在△ABC中,若∠A=60,邊AB=2,S△ABC=,則BC邊的長為. 15.(5分)等差數(shù)列{an}中,已知a4+a5=8,則S8=. 16.(5分)設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組,則的取值范圍是. 三、解答題:本大題共6小題,滿分70分,解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟. 17.(10分)某公司欲招聘員工,從1000名報(bào)名者中篩選200名參加筆試,按筆試成績擇優(yōu)取50名面試,再從面試對(duì)象中聘用20名員工. (Ⅰ)求每個(gè)報(bào)名者能被聘用的概率; (Ⅱ)隨機(jī)調(diào)查了24名筆試者的成績?nèi)缦卤硭荆? 分?jǐn)?shù)段 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80) [80,85) [85,90) 人數(shù) 1 2 6 9 5 1 請(qǐng)你預(yù)測面試的切線分?jǐn)?shù)大約是多少? (Ⅲ)公司從聘用的四男a、b、c、d和二女e、f中選派兩人參加某項(xiàng)培訓(xùn),則選派結(jié)果為一男一女的概率是多少? 18.(12分)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分圖象如圖所示. (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式; (Ⅱ)若,求cosα的值. 19.(12分)如圖,三棱錐P﹣ABC中,PB⊥底面ABC,∠BCA=90,PB=BC=CA=2,E為PC的中點(diǎn),點(diǎn)F在PA上,且2PF=FA. (1)求證:BE⊥平面PAC; (2)求點(diǎn)E到平面PBF的距離. 20.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=(x>0),數(shù)列{an}滿足a1=1,,(n∈N*,且n≥2). (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)T2n=﹣4(a2+a4+a6+…+a2n),若T2n>4tn2對(duì)n∈N*恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍. 21.(12分)已知F1,F(xiàn)2是橢圓=1的兩焦點(diǎn),P是橢圓在第一象限弧上一點(diǎn),且滿足=1,直線l:y=x+m與橢圓交于A,B兩點(diǎn). (1)求點(diǎn)P的坐標(biāo); (2)求△PAB面積的最大值. 22.(12分)已知函數(shù)f(x)= (1)求f(x)在區(qū)間[﹣1,1)上的最大值; (2)對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)a,曲線y=f(x)上是否存在兩點(diǎn)P、Q,使得△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上?說明理由. 廣東省汕頭市金山中學(xué)xx高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷(文科) 參考答案與試題解析 一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,滿分60分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.(5分)已知全集是實(shí)數(shù)集R,M={x|x<1},N={1,2,3,4},則(?RM)∩N等于() A. {4} B. {3,4} C. {2,3,4} D. {1,2,3,4} 考點(diǎn): 交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算. 專題: 計(jì)算題. 分析: 由全集R及M,求出M的補(bǔ)集,找出M補(bǔ)集與N的交集即可. 解答: 解:∵全集是實(shí)數(shù)集R,M={x|x<1}, ∴?RM={x|x≥1}, ∵N={1,2,3,4}, ∴(?RM)∩N={1,2,3,4}. 故選D 點(diǎn)評(píng): 此題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算,熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵. 2.(5分)f(x)=sin2x是() A. 最小正周期為2π的偶函數(shù) B. 最小正周期為2π的奇函數(shù) C. 最小正周期為π的偶函數(shù) D. 最小正周期為π的奇函數(shù) 考點(diǎn): 正弦函數(shù)的對(duì)稱性;正弦函數(shù)的圖象;正弦函數(shù)的奇偶性. 專題: 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì). 分析: 由T==π,又f(﹣x)=sin(﹣2x)=﹣sin2x=﹣f(x),可得f(x)=sin2x是最小正周期為π的奇函數(shù). 解答: 解:∵T==π 又∵f(﹣x)=sin(﹣2x)=﹣sin2x=﹣f(x), 故f(x)=sin2x是最小正周期為π的奇函數(shù). 故選:D. 點(diǎn)評(píng): 本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題. 3.(5分)如果命題“p且q”是假命題,“q”也是假命題,則() A. 命題“p或q”是假命題 B. 命題“p或q”是假命題 C. 命題“p且q”是真命題 D. 命題“p且q”是真命題 考點(diǎn): 命題的真假判斷與應(yīng)用. 專題: 計(jì)算題. 分析: 因?yàn)槊}“p且q”是假命題,可得p和q至少有一個(gè)是假命題,因?yàn)椤皅”也是假命題,所以q是真命題,根據(jù)此信息進(jìn)行判斷; 解答: 解:命題“p且q”是假命題,可得p和q至少有一個(gè)為假命題, 因?yàn)椤皅”也是假命題,可得q是真命題,可得p是假命題, A、命題“p是真命題,可得命題“p或q”是真命題,故A錯(cuò)誤; B、因?yàn)閝是真命題,故命題“p或q”是真命題,故B錯(cuò)誤; C、p是假命題,q為真命題,命題“p且q”是真命題,故C正確; D、p是假命題,命題“p且q”是假命題,故D錯(cuò)誤; 故選C; 點(diǎn)評(píng): 本題主要考查了非P命題與p或q命題的真假的應(yīng)用,注意“或”“且”“非”的含義,是一道基礎(chǔ)題; 4.(5分)用二分法求方程lgx=3﹣x的近似解,可以取的一個(gè)區(qū)間是() A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4) 考點(diǎn): 二分法求方程的近似解. 專題: 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用. 分析: 設(shè)f(x)=lgx﹣3+x,∵當(dāng)連續(xù)函數(shù)f(x)滿足f(a)?f(b)<0時(shí),f(x)在區(qū)間(a,b)上有零點(diǎn),即方程lgx=3﹣x在區(qū)間(a,b)上有解,進(jìn)而得到答案. 解答: 解:設(shè)f(x)=lgx﹣3+x, ∵當(dāng)連續(xù)函數(shù)f(x)滿足f(a)?f(b)<0時(shí),f(x)在區(qū)間(a,b)上有零點(diǎn), 即方程lgx=3﹣x在區(qū)間(a,b)上有解, 又∵f(2)=lg2﹣1<0,f(3)=lg3>0, 故f(2)?f(3)<0, 故方程lgx=3﹣x在區(qū)間(2,3)上有解, 故選:C 點(diǎn)評(píng): 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是方程的根,函數(shù)的零點(diǎn),其中熟練掌握函數(shù)零點(diǎn)的存在定理是解答的關(guān)鍵. 5.(5分)以拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為圓心,且過坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程為() A. (x﹣1)2+y2=1 B. (x+1)2+y2=1 C. x2+(y﹣1)2=1 D. x2+(y+1)2=1 考點(diǎn): 拋物線的簡單性質(zhì);圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 專題: 計(jì)算題. 分析: 先由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求得其焦點(diǎn)坐標(biāo),即所求圓的圓心坐標(biāo),再由圓過原點(diǎn),求得圓的半徑,最后由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出所求圓方程即可 解答: 解;∵拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0), ∴所求圓的圓心坐標(biāo)為(1,0) ∵所求圓過坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0) ∴其半徑為1﹣0=1 ∴所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x﹣1)2+y2=1 點(diǎn)評(píng): 本題主要考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì),屬基礎(chǔ)題 6.(5分)如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面是∠BAD=60的菱形,且PA=PC,PB=BD,則該四棱錐的主視圖(主視圖投影平面與平面PAC平行)可能是() A. B. C. D. 考點(diǎn): 簡單空間圖形的三視圖. 專題: 空間位置關(guān)系與距離. 分析: 由已知中四棱錐P﹣ABCD的底面是∠BAD=60的菱形,我們根據(jù)棱錐的正視圖為三角形,結(jié)合看不到的棱畫為虛線,看到的棱畫為實(shí)線,比照四個(gè)答案中的圖形,即可得到答案. 解答: 解:由已知中的幾何體P﹣ABCD為四棱錐 故其正視圖的外邊框?yàn)槿切? 又∵四棱錐P﹣ABCD的底面是∠BAD=60的菱形, ∴PD棱在正視圖中看不到,故應(yīng)該畫為虛線, PB棱在正視圖中可能看到,故應(yīng)該畫為實(shí)線. 故選B. 點(diǎn)評(píng): 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是簡單空間圖形的三視圖,其中要注意三視圖中看不到的棱(或輪廓線)畫為虛線,本題易忽略此點(diǎn). 7.(5分)“a>1”是“”的() A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 考點(diǎn): 充要條件. 分析: 可以把不等式“”變形解出a的取值范圍來,然后再作判斷,具體地來說,兩邊同乘以分母a要分類討論,分a>0,a<0兩類來討論,除了用符號(hào)法則,這是解答分式不等式的另一種重要方法. 解答: 解:由得: 當(dāng)a>0時(shí),有1<a,即a>1; 當(dāng)a<0時(shí),不等式恒成立. 所以?a>1或a<0 從而a>1是的充分不必要條件. 故應(yīng)選:A 點(diǎn)評(píng): 本題考查不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用,解分式不等式的問題,不等式的等價(jià)變形!本題需要注意的是在利用不等式的乘法單調(diào)性時(shí)易出錯(cuò),比如本題中若原不等式兩邊同乘以a,等到a>1就是對(duì)不等式兩邊同乘以一個(gè)正數(shù)還是負(fù)數(shù)不等式是否改變方向認(rèn)識(shí)不足導(dǎo)致的錯(cuò)誤. 8.(5分)設(shè)a,b為兩條直線,α,β為兩個(gè)平面,下列四個(gè)命題中,正確的命題是() A. 若a,b與α所成的角相等,則α∥b B. 若a∥α,b∥β,α∥β,則a∥b C. 若a?α,b?β,α∥b,則α∥β D. 若a⊥α,b⊥β,α⊥β,是a⊥b 考點(diǎn): 平面與平面之間的位置關(guān)系;空間中直線與直線之間的位置關(guān)系;空間中直線與平面之間的位置關(guān)系. 專題: 證明題. 分析: 根據(jù)題意,依次分析選項(xiàng),A、用直線的位置關(guān)系判斷.B、用長方體中的線線,線面,面面關(guān)系驗(yàn)證.C、用長方體中的線線,線面,面面關(guān)系驗(yàn)證.D、由a⊥α,α⊥β,可得到a?β或a∥β,再由b⊥β得到結(jié)論. 解答: 解:A、直線a,b的方向相同時(shí)才平行,不正確; B、用長方體驗(yàn)證.如圖,設(shè)A1B1為a,平面AC為α,BC為b,平面A1C1為β,顯然有a∥α,b∥β,α∥β,但得不到a∥b,不正確; C、可設(shè)A1B1為a,平面AB1為α,CD為b,平面AC為β,滿足選項(xiàng)C的條件卻得不到α∥β,不正確; D、∵a⊥α,α⊥β, ∴a?β或a∥β 又∵b⊥β ∴a⊥b 故選D 點(diǎn)評(píng): 本題主要考查空間內(nèi)兩直線,直線與平面,平面與平面間的位置關(guān)系,綜合性強(qiáng),方法靈活,屬中檔題. 9.(5分)如果一個(gè)橢圓的長軸長是短軸長的2倍,那么這個(gè)橢圓的離心率為() A. B. C. D. 考點(diǎn): 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 專題: 計(jì)算題. 分析: 先根據(jù)長軸長是短軸長的2倍確定a與b的關(guān)系,進(jìn)而根據(jù)橢圓a,b,c的關(guān)系a2=b2+c2可表示出c,再由e=得到答案. 解答: 解:∵a=2b ∴c==b e== 故選B. 點(diǎn)評(píng): 本題主要考查橢圓離心率的計(jì)算.屬基礎(chǔ)題. 10.(5分)已知函數(shù),正實(shí)數(shù)a、b、c滿足f(c)<0<f(a)<f(b),若實(shí)數(shù)d是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn),那么下列四個(gè)判斷: ①d<a;②d>b;③d<c;④d>c.其中可能成立的個(gè)數(shù)為() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 考點(diǎn): 函數(shù)零點(diǎn)的判定定理. 專題: 數(shù)形結(jié)合. 分析: 利用零點(diǎn)就是兩函數(shù)圖象的交點(diǎn),再利用圖象得結(jié)論. 解答: 解:因?yàn)楹瘮?shù)在(0,+∞)上是減函數(shù), 又因?yàn)閒(c)<0<f(a)<f(b),所以a<b<c, 又因?yàn)榱泓c(diǎn)就是兩函數(shù)圖象的交點(diǎn), 在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)y=與y=lnx的圖象, 如圖a、b、c,d的位置如圖所示只有②③成立. 故可能成立的有兩個(gè). 故選B. 點(diǎn)評(píng): 本題考查函數(shù)零點(diǎn)的判定的應(yīng)用和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致分兩類:一是以形解數(shù),即借助數(shù)的精確性,深刻性來講述形的某些屬性;二是以形輔數(shù),即借助與形的直觀性,形象性來揭示數(shù)之間的某種關(guān)系,用形作為探究解題途徑,獲得問題結(jié)果的重要工具. 11.(5分)曲線y=﹣x3+2x在橫坐標(biāo)為﹣1的點(diǎn)處的切線為L,則點(diǎn)(3,2)到L的距離是() A. B. C. D. 考點(diǎn): 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程. 專題: 不等式的解法及應(yīng)用. 分析: 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得到結(jié)論. 解答: 解:函數(shù)的f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=﹣3x2+2, 則f′(﹣1)=﹣3+2=﹣1,即切線斜率k=﹣1, 當(dāng)x=﹣1時(shí),y=1﹣2=﹣1,即切點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1,﹣1), 則切線方程為y+1=﹣(x+1), 即x+y+2=0, 則點(diǎn)(3,2)到L的距離d=, 故選:A 點(diǎn)評(píng): 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及點(diǎn)到直線的距離的計(jì)算,根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的切線方程是解決本題的關(guān)鍵. 12.(5分)如圖所示,A,B,C是圓O上的三個(gè)點(diǎn),CO的延長線與線段AB交于圓內(nèi)一點(diǎn)D,若,則() A. 0<x+y<1 B. x+y>1 C. x+y<﹣1 D. ﹣1<x+y<0 考點(diǎn): 向量的加法及其幾何意義. 專題: 平面向量及應(yīng)用. 分析: 如圖所示由 =,可得 x<0 y<0,故 x+y<0,故排除A、B.再由 = x2+y2+2xy?,得1=x2+y2+2xy?cos∠AOB. 當(dāng)∠AOB=120時(shí),由(x+y)2=1+3xy>1, 可得x+y<﹣1,從而得出結(jié)論. 解答: 解:如圖所示:∵=,∴x<0,y<0, 故 x+y<0,故排除A、B. ∵|OC|=|OB|=|OA|,∴=x2+y2+2xy?, ∴1=x2+y2+2xy?cos∠AOB. 當(dāng)∠AOB=120時(shí),x2+y2﹣xy=1,即(x+y)2﹣3xy=1, 即(x+y)2=1+3xy>1, 故 x+y<﹣1, 故選C. 點(diǎn)評(píng): 本題主要考查了平面向量的幾何意義,平面向量加法的平行四邊形法則,平面向量基本定理,平面向量 數(shù)量積運(yùn)算的綜合運(yùn)用,排除法解選擇題,屬于中檔題. 二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,滿分20分. 13.(5分)已知x=3是函數(shù)f(x)=alnx+x2﹣10x的一個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a=12. 考點(diǎn): 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值. 專題: 計(jì)算題;導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用. 分析: 由于x=3是函數(shù)f(x)=alnx+x2﹣10x的一個(gè)極值點(diǎn),可得f′(3)=0,解出并驗(yàn)證即可. 解答: 解:f′(x)=+2x﹣10(x>0). ∵x=3是函數(shù)f(x)=alnx+x2﹣10x的一個(gè)極值點(diǎn), ∴f′(3)=+6﹣10=0,解得a=12. ∴f′(x)= ∴0<x<2或x>3時(shí),f′(x)>0,3>x>2時(shí),f′(x)<0, ∴x=3是函數(shù)f(x)=12lnx+x2﹣10x的一個(gè)極小值點(diǎn), 故答案為:12. 點(diǎn)評(píng): 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用:求單調(diào)區(qū)間和求極值,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題. 14.(5分)在△ABC中,若∠A=60,邊AB=2,S△ABC=,則BC邊的長為. 考點(diǎn): 余弦定理;三角形的面積公式. 專題: 解三角形. 分析: 由AB,sinA及已知的面積,利用三角形面積公式求出AC的長,再由AB,AC及cosA的值,利用余弦定理即可求出BC的長. 解答: 解:∵∠A=60,邊AB=2,S△ABC=, ∴S△ABC=AB?AC?sinA,即=2AC, 解得:AC=1, 由余弦定理得:BC2=AB2+AC2﹣2AB?AC?cosA=4+1﹣2=3, 則BC=. 故答案為: 點(diǎn)評(píng): 此題考查了余弦定理,三角形的面積公式,以及特殊角的三角函數(shù)值,熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵. 15.(5分)等差數(shù)列{an}中,已知a4+a5=8,則S8=32. 考點(diǎn): 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和. 專題: 等差數(shù)列與等比數(shù)列. 分析: 由等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式可得S8=4(a4+a5),代值計(jì)算可得. 解答: 解:∵等差數(shù)列{an}中a4+a5=8, ∴S8==4(a1+a8) =4(a4+a5)=32 故答案為:32 點(diǎn)評(píng): 本題考查等差數(shù)列的求和公式和性質(zhì),屬基礎(chǔ)題. 16.(5分)設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組,則的取值范圍是[0,]. 考點(diǎn): 簡單線性規(guī)劃. 專題: 綜合題. 分析: 不等式組,表示一個(gè)三角形區(qū)域(包含邊界),三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(﹣1,0),B(0,1),C(1,0),的幾何意義是點(diǎn)(x,y)與(P﹣2,0)連線的斜率,由此可求結(jié)論. 解答: 解:不等式組,表示一個(gè)三角形區(qū)域(包含邊界),三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(﹣1,0),B(0,1),C(1,0) 的幾何意義是點(diǎn)(x,y)與(P﹣2,0)連線的斜率,由于PB的斜率為,PA,PC的斜率為0 所以的取值范圍是[0,] 故答案為:[0,] 點(diǎn)評(píng): 本題考查線性規(guī)劃知識(shí)的運(yùn)用,解題的關(guān)鍵是確定平面區(qū)域,明確目標(biāo)函數(shù)的幾何意義. 三、解答題:本大題共6小題,滿分70分,解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟. 17.(10分)某公司欲招聘員工,從1000名報(bào)名者中篩選200名參加筆試,按筆試成績擇優(yōu)取50名面試,再從面試對(duì)象中聘用20名員工. (Ⅰ)求每個(gè)報(bào)名者能被聘用的概率; (Ⅱ)隨機(jī)調(diào)查了24名筆試者的成績?nèi)缦卤硭荆? 分?jǐn)?shù)段 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80) [80,85) [85,90) 人數(shù) 1 2 6 9 5 1 請(qǐng)你預(yù)測面試的切線分?jǐn)?shù)大約是多少? (Ⅲ)公司從聘用的四男a、b、c、d和二女e、f中選派兩人參加某項(xiàng)培訓(xùn),則選派結(jié)果為一男一女的概率是多少? 考點(diǎn): 等可能事件的概率. 專題: 常規(guī)題型. 分析: (Ⅰ)利用古典概型求概率是解決本題的關(guān)鍵,根據(jù)每個(gè)人入選的概率相等可以計(jì)算出所求的概率; (Ⅱ)利用概率是樣本頻率的近似值,通過對(duì)應(yīng)成比例得出被聘用的最低分?jǐn)?shù)線; (Ⅲ)利用古典概型求概率是解決本題的關(guān)鍵,可以列舉出樣本空間的所有情況和所求事件的所有情況,通過算起比值得到所求的概率. 解答: 解:(Ⅰ)設(shè)每個(gè)報(bào)名者能被聘用的概率為P,依題意有: P==0.02. 答:每個(gè)報(bào)名者能被聘用的概率為0.02. (Ⅱ)設(shè)24名筆試者中有x名可以進(jìn)入面試,依樣本估計(jì)總體可得: ,解得:x=6,從表中可知面試的切線分?jǐn)?shù)大約為80分. 答:可以預(yù)測面試的切線分?jǐn)?shù)大約為80分. (Ⅲ)從聘用的四男、二女中選派兩人的基本事件有: (a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c), (b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f), (d,e),(d,f),(e,f),共15種. 選派一男一女參加某項(xiàng)培訓(xùn)的種數(shù)有: (a,e),(a,f),(b,e),(b,f), (c,e),(c,f),(d,e),(d,f),共8種 所以選派結(jié)果為一男一女的概率為. 答:選派結(jié)果為一男一女的概率為. 點(diǎn)評(píng): 本題主要考查概率、統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí),考查應(yīng)用意識(shí).弄清頻率和概率的關(guān)系,把握古典概型計(jì)算概率的基本方法,必要時(shí)利用枚舉法計(jì)算概率. 18.(12分)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分圖象如圖所示. (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式; (Ⅱ)若,求cosα的值. 考點(diǎn): 由y=Asin(ωx+φ)的部分圖象確定其解析式;三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值. 專題: 作圖題;綜合題. 分析: (I)觀察圖象可得函數(shù)的最值為1,且函數(shù)先出現(xiàn)最大值可得A=1;函數(shù)的周期T=π,結(jié)合周期公式T=可求ω;由函數(shù)的圖象過()代入可得φ (II)由(I)可得f(x)=sin(2x+),從而由f()=,代入整理可得sin()=,結(jié)合已知0<a<,可得cos(α+)=.,利用,代入兩角差的余弦公式可求 解答: 解:(Ⅰ)由圖象知A=1 f(x)的最小正周期T=4(﹣)=π,故ω==2 將點(diǎn)(,1)代入f(x)的解析式得sin(+φ)=1, 又|φ|<,∴φ= 故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=sin(2x+) (Ⅱ)f()=,即sin()=,注意到0<a<,則<<, 所以cos(α+)=. 又cosα=[(α+)﹣]=cos(α+)cos+sin(α+)sin= 點(diǎn)評(píng): 本題主要考查了(i)由三角函數(shù)的圖象求解函數(shù)的解析式,其步驟一般是:由函數(shù)的最值求解A,(但要判斷是先出現(xiàn)最大值或是最小值,從而判斷A的正負(fù)號(hào))由周期求解ω=,由函數(shù)圖象上的點(diǎn)(一般用最值點(diǎn))代入求解φ; (ii)三角函數(shù)的同角平方關(guān)系,兩角差的余弦公式,及求值中的拆角的技巧,要掌握常見的拆角技巧:①2α=(α+β)+(α﹣β)②2β=(α+β)﹣(α﹣β)③α=(α+β)﹣β④β=(α+β)﹣α 19.(12分)如圖,三棱錐P﹣ABC中,PB⊥底面ABC,∠BCA=90,PB=BC=CA=2,E為PC的中點(diǎn),點(diǎn)F在PA上,且2PF=FA. (1)求證:BE⊥平面PAC; (2)求點(diǎn)E到平面PBF的距離. 考點(diǎn): 點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算;直線與平面垂直的判定. 專題: 綜合題;空間位置關(guān)系與距離. 分析: (1)利用等腰三角形的性質(zhì)可得BE⊥PC.再利用線面垂直的判定和性質(zhì)即可證明BE⊥平面PAC; (2)利用等體積法:VE﹣PFB=VB﹣PEF,求點(diǎn)E到平面PBF的距離. 解答: (1)證明:∵BP=BC,EP=EC,∴BE⊥PC. ∵PB⊥底面ABC,∴PB⊥AC, 又AC⊥BC,PB∩BC=B,∴AC⊥平面PBC, ∴AC⊥BE. 又PC∩AC=C,∴BE⊥平面PAC …(6分) (2)解:在Rt△PBC中, 在Rt△PBA中, ∵, ∴…(10分) 設(shè)點(diǎn)E到平面PBF的距離為d ∵VB﹣PEF=VE﹣PBF ∴ 即 ∴…(12分) 點(diǎn)評(píng): 本題考查了線面平垂直的判定,考查等體積法求點(diǎn)E到平面PBF的距離,考查了空間想象能力、推理能力和計(jì)算能力. 20.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=(x>0),數(shù)列{an}滿足a1=1,,(n∈N*,且n≥2). (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)T2n=﹣4(a2+a4+a6+…+a2n),若T2n>4tn2對(duì)n∈N*恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍. 考點(diǎn): 等差數(shù)列的性質(zhì);數(shù)列遞推式. 專題: 等差數(shù)列與等比數(shù)列. 分析: (1)由已知得,(n≥2),從而an﹣an﹣1=2,由此能求出an=2n﹣1. (2)由已知得T2n=,從而,由此利用在n∈N*單調(diào)遞增,能求出實(shí)數(shù)t的取值范圍. 解答: 解:(1)∵f(x)=(x>0), ∴,(n≥2) ∴an﹣an﹣1=2,…(2分) 又∵a1=1,∴數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng),公差為2的等差數(shù)列. ∴an=2n﹣1.(n∈N*)…(4分) (2)解:T2n=﹣4(a2+a4+a6+…+a2n) =,…(8分) ∵恒成立,∴, 又在n∈N*單調(diào)遞增, 故,即t<﹣3.…(12分) 點(diǎn)評(píng): 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用. 21.(12分)已知F1,F(xiàn)2是橢圓=1的兩焦點(diǎn),P是橢圓在第一象限弧上一點(diǎn),且滿足=1,直線l:y=x+m與橢圓交于A,B兩點(diǎn). (1)求點(diǎn)P的坐標(biāo); (2)求△PAB面積的最大值. 考點(diǎn): 橢圓的簡單性質(zhì). 專題: 向量與圓錐曲線. 分析: (1)設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0)(x0>0,y0>0),由橢圓方程求得左右焦點(diǎn)坐標(biāo),然后結(jié)合求得P的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式,再根據(jù)P在橢圓上得另一關(guān)系式,聯(lián)立即可求得P的坐標(biāo); (2)聯(lián)立直線方程和橢圓方程,化為關(guān)于x的一元二次方程后由判別式大于0求出m的范圍,然后分別利用弦長公式和點(diǎn)到直線的距離公式求出弦AB的長及點(diǎn)P到直線AB的距離,代入三角形的面積公式利用基本不等式求最值. 解答: 解:(1)依題意,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0)(x0>0,y0>0), 由橢圓方程可得,, 則, ∵,∴, 即 ①, 又P是橢圓上一點(diǎn),∴,② 聯(lián)立①②得,, 又x0>0,y0>0,∴, 故點(diǎn)P的坐標(biāo)為; (2)∵直線AB的方程為, 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 聯(lián)立直線方程和橢圓方程,得,消去y得. ∴,, 由△>0,得, 點(diǎn)P(1,)到直線AB的距離為, , 則 =. 當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào), ∴三角形PAB面積的最大值為. 點(diǎn)評(píng): 本題考查了平面向量在解圓錐曲線問題中的應(yīng)用,考查了直線和圓錐曲線的位置關(guān)系,涉及直線和圓錐曲線位置關(guān)系問題,常采用聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程,然后利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系求解,該題還運(yùn)用了換元法和函數(shù)的單調(diào)性求最值,綜合性強(qiáng). 22.(12分)已知函數(shù)f(x)= (1)求f(x)在區(qū)間[﹣1,1)上的最大值; (2)對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)a,曲線y=f(x)上是否存在兩點(diǎn)P、Q,使得△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上?說明理由. 考點(diǎn): 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值. 專題: 綜合題;導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用. 分析: (1)當(dāng)﹣1≤x<1時(shí),求導(dǎo)函數(shù),可得f(x)在區(qū)間[﹣1,1)上的最大值; (2)假設(shè)曲線y=f(x)上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求,則點(diǎn)P、Q只能在y軸兩側(cè).設(shè)P、Q的坐標(biāo),由此入手能得到對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)a,曲線y=f(x)上存在兩點(diǎn)P、Q,使得△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上. 解答: 解:(1)∵ 當(dāng)﹣1≤x<1時(shí),,…(1分) 令f(x)=0得x=0或,當(dāng)x變化時(shí),f(x),f(x)的變化情況如下表: (﹣1,0) 0 ﹣ 0 + 0 ﹣ 遞減 極小值 遞增 極大值 遞減 …(3分) 又f(﹣1)=2,,f(0)=0 ∴f(x)在區(qū)間[﹣1,1)上的最大值為2…(4分) (2)曲線y=f(x)上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求,則點(diǎn)P,Q只能在y軸的兩側(cè), 不妨設(shè)P(t,f(t))(t>0),則Q(﹣t,t3+t2),顯然t≠1.…(5分) ∵△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形, ∴,即﹣t2+f(t)(t3+t2)=0.(1) 是否存在兩點(diǎn)P、Q等價(jià)于方程(1)是否有解.…(6分) 若0<t<1,則f(t)=﹣t3+t2,代入(1)式得,﹣t2+(﹣t3+t2)(t3+t2)=0,即t4﹣t2+1=0, 而此方程無實(shí)數(shù)解,因此t>1.…(8分) ∴f(t)=alnt,代入(1)式得,﹣t2+(alnt)(t3+t2)=0,即. (*)…(9分) 考察函數(shù)在h(x)=(x+1)lnx(x≥1),則, ∴h(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,∵t>1,∴h(t)>h(1)=0, 當(dāng)t→+∞時(shí),h(t)→+∞,∴h(t)的取值范圍是(0,+∞).…(11分) ∴對(duì)于a>0,方程(*)總有解,即方程(1)總有解. 因此對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)a,曲線y=f(x)上總存在兩點(diǎn)P、Q,使得△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上.…(12分) 點(diǎn)評(píng): 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查學(xué)生分析解決問題的能力,考查學(xué)生的計(jì)算能力,綜合性強(qiáng),屬于中檔題.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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