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2019-2020年高考數學大二輪總復習 增分策略 第二篇 第2講 填空題的解法技巧
題型概述
填空題是一種只要求寫出結論，不要求解答過程的客觀性試題，有小巧靈活、覆蓋面廣、跨度大等特點，突出考查準確、嚴謹、靈活運用知識的能力．
由于填空題不像選擇題那樣有備選提示，不像解答題那樣有步驟得分，所填結果必須準確、規(guī)范，因此得分率較低，解答填空題的第一要求是“準”，然后才是“快”、“巧”，要合理靈活地運用恰當的方法，不可“小題大做”．
方法一 直接法
直接法就是直接從題設出發(fā)，利用有關性質或結論，通過巧妙地變形，直接得到結果的方法．要善于透過現象抓本質，有意識地采取靈活、簡捷的方法解決問題．直接法是求解填空題的基本方法．
例1 (1)(xx湖南)在一次馬拉松比賽中，35名運動員的成績(單位：分鐘)的莖葉圖如圖所示
若將運動員按成績由好到差編為1～35號，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績在區(qū)間[139,151]上的運動員人數是________．
(2)(xx北京)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，則＝________.
解析 (1)由題意知，將1～35號分成7組，每組5名運動員，落在區(qū)間[139,151]上的運動員共有4組，故由系統(tǒng)抽樣法知，共抽取4名．
(2)由余弦定理：
cos A＝＝＝，∴sin A＝，
cos C＝＝＝，∴sin C＝，
∴＝＝1.
答案 (1)4 (2)1
思維升華 利用直接法求解填空題要根據題目的要求靈活處理，多角度思考問題，注意一些解題規(guī)律和解題技巧的靈活應用，將計算過程簡化從而得到結果，這是快速準確地求解填空題的關鍵．
跟蹤演練1 (1)(xx韶關聯考)已知橢圓＋y2＝1的左、右焦點分別為F1、F2，點P在橢圓上，則|PF1||PF2|的最大值是________．
(2)已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a>2)的兩根tan α，tan β，且α，β∈(－，)，則α＋β＝________.
方法二 特例法
當填空題已知條件中含有某些不確定的量，但填空題的結論唯一或題設條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以將題中變化的不定量選取一些符合條件的恰當特殊值(特殊函數，特殊角，特殊數列，圖形特殊位置，特殊點，特殊方程，特殊模型等)進行處理，從而得出待求的結論．這樣可大大地簡化推理、論證的過程．
例2 (1)如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，垂足為P，且AP＝3，則＝_____________________________________.
(2)已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數，若方程f(x)＝m(m>0)在區(qū)間[－8,8]上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，則x1＋x2＋x3＋x4＝________.
解析 (1)把平行四邊形ABCD看成正方形，
則點P為對角線的交點，AC＝6，則＝18.
(2)此題考查抽象函數的奇偶性，周期性，單調性和對稱軸方程，條件多，將各種特殊條件結合的最有效方法是把抽象函數具體化．根據函數特點取f(x)＝sinx，
再由圖象可得(x1＋x2)＋(x3＋x4)＝(－62)＋(22)＝－8.
答案 (1)18 (2)－8
思維升華 求值或比較大小等問題的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此種方法僅限于求解結論只有一種的填空題，對于開放性的問題或者有多種答案的填空題，則不能使用該種方法求解．
跟蹤演練2 (xx課標全國Ⅰ)若函數f(x)＝xln(x＋)為偶函數，則a＝________.
方法三 數形結合法
對于一些含有幾何背景的填空題，若能根據題目中的條件，作出符合題意的圖形，并通過對圖形的直觀分析、判斷，即可快速得出正確結果．這類問題的幾何意義一般較為明顯，如一次函數的斜率和截距、向量的夾角、解析幾何中兩點間距離等，求解的關鍵是明確幾何含義，準確規(guī)范地作出相應的圖形．
例3 (1)已知點P(x，y)的坐標x，y滿足則x2＋y2－6x＋9的取值范圍是________________________________________________________________________．
(2)已知函數f(x)＝x|x－2|，則不等式f(－x)≤f(1)的解集為________．
解析 (1)畫出可行域如圖，所求的x2＋y2－6x＋9＝(x－3)2＋y2是點Q(3,0)到可行域上的點的距離的平方，由圖形知最小值為Q到射線x－y－1＝0(x≥0)的距離d的平方，
∴d＝()2＝()2＝2.
最大值為點Q到點A的距離的平方，∴d＝16.
∴取值范圍是[2,16]．
(2)函數y＝f(x)的圖象如圖，由不等式f(－x)≤f(1)知，－x≤＋1，從而得到不等式f(－x)≤f(1)的解集為[－1，＋∞)．
答案 (1)[2,16] (2)[－1，＋∞)
思維升華 數形結合法可直觀快捷得到問題的結論，充分應用了圖形的直觀性，數中思形，以形助數．數形結合法是高考的熱點，應用時要準確把握各種數式和幾何圖形中變量之間的關系．
跟蹤演練3 (1)(xx山西大學附中月考)若方程x3－3x＝k有3個不等的實根，則常數k的取值范圍是_________________________________________________________．
(2)(xx蘭州一中期中)設函數f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，則函數y＝g(x)＝f(x)－x的零點個數為________．
方法四 構造法
構造型填空題的求解，需要利用已知條件和結論的特殊性構造出新的數學模型，從而簡化推理與計算過程，使較復雜的數學問題得到簡捷的解決，它來源于對基礎知識和基本方法的積累，需要從一般的方法原理中進行提煉概括，積極聯想，橫向類比，從曾經遇到過的類似問題中尋找靈感，構造出相應的函數、概率、幾何等具體的數學模型，使問題快速解決．
例4 (1)如圖，已知球O的球面上有四點A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，則球O的體積等于________．
(2)，，(其中e為自然對數的底數)的大小關系是________________．
解析 (1)如圖，以DA，AB，BC為棱長構造正方體，設正方體的外接球球O的半徑為R，則正方體的體對角線長即為球O的直徑，所以|CD|＝＝2R，所以R＝，故球O的體積V＝＝π.
(2)由于＝，＝，＝，故可構造函數f(x)＝，于是f(4)＝，f(5)＝，f(6)＝.
而f′(x)＝()′＝＝，令f′(x)>0得x<0或x>2，即函數f(x)在(2，＋∞)上單調遞增，因此有f(4)
1)＝0.2，則P(－1<ξ<0)＝0.6；
⑤已知＋＝2，＋＝2，＋＝2，＋＝2，依照以上各式的規(guī)律，得到一般性的等式為＋＝2(n≠4)．
則正確命題的序號為________(寫出所有正確命題的序號)．
知識方法總結 六招拿下填空題：
(一)直接法 (二)特例法 (三)數形結合法 (四)構造法
(五)歸納推理法 (六)正反互推法
填空題突破練
A組 專題通關
1．已知集合A＝{x，xy，lg(xy)}，B＝{0，|x|，y}，若A＝B，則x＝________，y＝________.
2．已知函數f(x)＝若關于x的函數g(x)＝f(x)－m有兩個零點，則實數m的取值范圍是________．
3．已知函數f(x)＝sin(x＋)(x>0)的圖象與x軸的交點從左到右依次為(x1,0)，(x2,0)，(x3,0)，…，則數列{xn}的前4項和為________．
4．(xx杭州外國語學校期中)設a＞0，在二項式(a－)10的展開式中，含x的項的系數與含x4的項的系數相等，則a的值為________．
5．已知P為拋物線y2＝4x上一個動點，Q為圓x2＋(y－4)2＝1上一個動點，那么點P到點Q的距離與點P到拋物線的準線距離之和的最小值是________．
6．已知a＝ln－，b＝ln－，c＝ln－，則a，b，c的大小關系為________．
7．觀察下列不等式：
1＋＜
1＋＋＜
1＋＋＋＜
……
照此規(guī)律，第五個不等式為_____________________________________________．
8．若函數f(x)的定義域是R，f(0)＝2，對任意的x∈R，f(x)＋f′(x)>1，則不等式exf(x)>ex＋1的解集是________．
9．(xx珠海模擬)已知函數f(x)＝()x－sin x，則f(x)在[0,2π]上的零點個數為________．
10．整數數列{an}滿足an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，若此數列的前800項的和是2 013，前813項的和是2 000，則其前2 014項的和為________．
11．設命題p：≤0，命題q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)<0，若p是q的充分不必要條件，則實數a的取值范圍是________．
12．(xx山東)執(zhí)行下邊的程序框圖，輸出的T的值為________.
B組 能力提高
13．已知函數f(x)是定義在實數集R上的不恒為零的偶函數，且對任意實數x都有xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)，則f()＝________.
14．已知O是坐標原點，點M的坐標為(2,1)，若點N(x，y)為平面區(qū)域上的一個動點，則的最大值是________．
15．設函數f(x)＝則f[f(－1)]＝________.若函數g(x)＝f(x)－k存在兩個零點，則實數k的取值范圍是________．
16．已知a、b為不垂直的異面直線，α是一個平面，則a、b在α上的投影有可能是：①兩條平行直線；②兩條互相垂直的直線；③同一條直線；④一條直線及其外一點．
在上面的結論中，正確結論的序號是________．(寫出所有正確結論的序號)
學生用書答案精析
第2講 填空題的解法技巧
跟蹤演練1 (1)8 (2)－π或
解析 (1)由橢圓的定義知|PF1|＋|PF2|＝4，
∴|PF1||PF2|≤()2＝8，(當且僅當|PF1|＝|PF2|時取等號)
∴|PF1||PF2|的最大值是8.
(2)由已知可得tan α＋tan β＝－3a，
tan αtan β＝3a＋1，
tan(α＋β)＝＝＝1，
因為α，β∈(－，)，
所以－π<α＋β<π，
所以α＋β＝－π或.
跟蹤演練2 1
解析 ∵f(1)＝f(－1)，
∴l(xiāng)n(1＋)＋ln(－1＋)＝0，
∴l(xiāng)n a＝0，∴a＝1.
經驗證a＝1符合題意．
跟蹤演練3 (1)(－2,2) (2)3
解析 (1)設f(x)＝x3－3x，令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝1，當x<－1時，函數f(x)單調遞增，當－11時，函數f(x)單調遞增，f(－1)＝2，f(1)＝－2，要有三個不等實根，則直線y＝k與y＝f(x)的圖象有三個交點，∴－21)＝0.2，
可得P(ξ<－1)＝0.2，
所以P(－1<ξ<0)＝P(－1<ξ<1)＝0.3，故錯誤；
⑤根據驗證可知得到一般性的等式是正確的．
填空題突破練
1．－1?。?
解析 由A＝B知需分多種情況進行討論，
由lg(xy)有意義，則xy>0.
又0∈B＝A，則必有l(wèi)g(xy)＝0，即xy＝1.
此時，A＝B，即{0,1，x}＝{0，|x|，y}．
∴或解得x＝y(tǒng)＝1或x＝y(tǒng)＝－1.當x＝y(tǒng)＝1時，
A＝B＝{0,1,1}與集合元素的互異性矛盾，應舍去；
當x＝y(tǒng)＝－1時，
A＝B＝{0，－1,1}滿足題意，故x＝y(tǒng)＝－1.
2．(1,2]
解析 g(x)＝f(x)－m有兩個零點等價于函數f(x)與函數y＝m的圖象有兩個交點，作出函數的圖象如圖，由圖可知m的取值范圍是(1,2]．
3．26
解析 令f(x)＝sin(x＋)＝0，
則x＋＝kπ(k∈N*)，
∴x＝3k－1(k∈N*)，
∴x1＋x2＋x3＋x4＝3(1＋2＋3＋4)－4＝26.
4．1
解析 Tk＋1＝C(－)ka10－k，
令k＝2時，x的系數為Ca8，令k＝8時，x4的系數為Ca2，∴Ca8＝Ca2，即a＝1，故答案為1.
5.－1
解析 點P到拋物線的準線距離等于點P到拋物線焦點F(1,0)的距離．圓心坐標是(0,4)，圓心到拋物線焦點的距離為，即圓上的點Q到拋物線焦點的距離的最小值是－1，這個值即為所求．
6．a＞b＞c
解析 令f(x)＝ln x－x，則f′(x)＝－1＝.
當0＜x＜1時，f′(x)＞0，
即函數f(x)在(0,1)上是增函數．
∵1＞ ＞＞＞0，
∴a＞b＞c.
7．1＋＋＋＋＋<
8．{x|x>0}
解析 構造函數g(x)＝exf(x)－ex－1，求導得到g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)－1]．
由已知f(x)＋f′(x)>1，可得g′(x)>0，所以g(x)為R上的增函數．又g(0)＝e0f(0)－e0－1＝0，所以exf(x)>ex＋1，即g(x)>0的解集為{x|x>0}．
9．2
解析 因為函數f(x)＝()x－sin x，則
f(x)在[0,2π]上的零點個數等于函數y＝()x與函數y＝sin x在區(qū)間[0,2π]內的交點的個數，在同一坐標系中畫出上述兩個函數的圖象如圖所示，由圖象可知，兩函數在區(qū)間[0,2π]內有兩個不同的交點，所以函數f(x)在[0,2π]上的零點個數為2.
10．987
解析 a3＝a2－a1，a4＝a3－a2，a5＝a4－a3，a6＝a5－a4，a7＝a6－a5，…，∴a1＝a7，a2＝a8，a3＝a9，a4＝a10，a5＝a11，…，{an}是以6為周期的數列，且有a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0，S800＝a1＋a2＝2 013，S813＝a1＋a2＋a3＝2 000，a3＝－13，
∴
∴a2＝1 000，S2 014＝a1＋a2＋a3＋a4＝a2＋a3＝1 000＋(－13)＝987.
11．[0，)
解析 由≤0，得≤x<1；
由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)<0，得a
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2019-2020年高考數學大二輪總復習
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