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2019年高考數(shù)學一輪復習 第八章 平面解析幾何 課時分層作業(yè) 五十 8.5.2 直線與橢圓的綜合問題 文
一、選擇題(每小題5分,共25分)
1.(xx全國卷Ⅲ)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1,A2,且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx-ay+2ab=0相切,則C的離心率為
( )
A. B. C. D.
【解析】選A.直線bx-ay+2ab=0與圓相切,所以圓心到直線的距離d==a,整理為a2=3b2,即a2=3(a2-c2)?2a2=3c2,即= ,e==.
【變式備選】橢圓+y2=1的兩個焦點為F1,F2,過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交,一個交點為P,則= ( )
A. B. C. D.4
【解析】選C.因為=,
所以=22-=4-=.
2.在平面直角坐標系中,點P(x,y)到點F(3,0)的距離與它到直線x=的距離之比為,則點P的軌跡方程為 ( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
【解析】選A.由題意可知=,化簡整理得+=1.
3.已知橢圓+=1上一點P,橢圓的焦點為F1,F2,若三角形PF1F2的內(nèi)切圓的半徑為,則三角形PF1F2的面積為 ( )
A. B. C. D.
【解析】選B.因為三角形的面積公式S△=pr(其中p為三角形的周長的一半,r為內(nèi)切圓的半徑),所以三角形PF1F2的面積為(PF1+PF2+F1F2)r=(2a+2c)r=(3+1)=.
【變式備選】1.已知橢圓+=1的兩個焦點為F1,F2,過焦點F1作長軸的垂線與橢圓相交,一個交點為P在第一象限,則PF2的斜率為 ( )
A. B. C.- D.-
【解析】選B.因為橢圓的焦點為F1(0,1),F2(0,-1),所以P,所以= =.
2.已知橢圓的中心在原點,離心率e=,且它的一個焦點是圓x2+y2+2x-2 019=0的圓心,則此橢圓方程為 ( )
A.+=1 B.+=1
C.+y2=1 D.+y2=1
【解析】選A.因為圓心為(-1,0),所以c=1,因為離心率為,所以a=2,所以b2=3,所以橢圓方程為+=1.
4.已知F1,F2是橢圓+=1(a>b>0)的左,右焦點,該橢圓上存在兩點A,B使=3,則該橢圓的離心率的取值范圍是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】選C.=3?F1A∥F2B,設A(x1,y1),B(x2,y2),代入橢圓b2x2+a2y2=a2b2得
(*)
由=3得代入(*)得
消去y2得x2=
0時,不妨設A,B兩點的坐標分別為(-1,y1),(1,y2),
代入橢圓方程得解得:k=;
同理可得當k<0時,k=-.
二、填空題(每小題5分,共15分)
6.已知橢圓Γ:+=1(a>b>0)經(jīng)過不同的三點A,B,C(C在第三象限),線段BC的中點在直線OA上,則點C的坐標為________.
【解析】由點A,B在橢圓Γ上,
得解得
所以橢圓Γ的方程為+=1.設C坐標為(m,n),(m<0,n<0),
由已知,求得直線OA的方程為x-2y=0,從而m=2n-1.(1)
又點C在橢圓Γ上,故2m2+8n2=5.(2)
由(1)(2)解得n=(舍去)或n=-,從而m=-,
所以點C的坐標為.
答案:
7.在平面直角坐標系xOy中,點B與點A(-1,1)關于原點O對稱,P是動點,且直線AP與BP的斜率之積等于-.則動點P的軌跡方程為________________.
【解析】因為點B與點A(-1,1)關于原點O對稱,所以點B的坐標為(1,-1).
設點P的坐標為(x,y),
由題意得=-,
化簡得x2+3y2=4(x≠1).
故動點P的軌跡方程為x2+3y2=4(x≠1).
答案:x2+3y2=4(x≠1)
8.如圖,過坐標原點作兩條互相垂直的直線交橢圓+=1于四個點A,B,C,D,則四邊形ABCD的面積的取值范圍為____________.
【解析】由對稱性可知四邊形ABCD的面積等于直角三角形AOB的面積的4倍.
設OA的方程為y=kx,代入橢圓方程解得點A的橫坐標為x=12,
所以=12,
同理可知=12,所以
S△AOB=
=72,
換元設1+k2=t(t≥1),所以=∈
所以四邊形ABCD的面積的取值范圍為.
答案:
三、解答題(每小題10分,共20分)
9.(xx全國卷Ⅱ)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,點(2,)在C上.
(1)求C的方程.
(2)直線l不過原點O且不垂直于坐標軸,l與C有兩個交點A,B,線段AB的中點為M,證明:直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.
【解析】(1)由題意有=,+=1,
解得a2=8,b2=4.所以C的方程為+=1.
(2)設直線l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),
B(x2,y2),M(xM,yM).將y=kx+b代入+=1得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.
故xM==,yM=kxM+b=.
于是直線OM的斜率kO M==-,即kO Mk=-.
所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.
10.如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知圓O:x2+y2=4,橢圓C:+y2=1,A為橢圓右頂點.過原點O且異于坐標軸的直線與橢圓C交于B,C兩點,直線AB與圓O的另一交點為P,直線PD與圓O的另一交點為Q,其中D.設直線AB,AC的斜率分別為k1,k2.
(1)求k1k2的值.
(2)記直線PQ,BC的斜率分別為kPQ,kBC,是否存在常數(shù)λ,使得kPQ=λkBC?若存在,求λ的值;若不存在,說明理由.
(3)求證:直線AC必過點Q.
【解析】(1)設B(x0,y0),則C(-x0,-y0),+=1,
所以k1k2====-.
(2)聯(lián)立
得(1+)x2-4x+4(-1)=0,
解得xP=,yP=k1(xP-2)=;聯(lián)立得(1+4)x2-16x+4(4-1)=0,解得xB=,yB=k1(xB-2)=,所以kBC==,kPQ===,所以kPQ=kBC,故存在常數(shù)λ=,使得kPQ=kBC.
(3)當直線PQ與x軸垂直時,Q,P,得k1=-,k2=,則kAQ===k2,所以直線AC必過點Q,當直線PQ與x軸不垂直時,直線PQ方程為:
y=,聯(lián)立,
解得xQ=,yQ=,所以kAQ==-=k2,故直線AC必過點Q.
1.(5分)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點為F1,F2,離心率為,過F2的直線l交C于A,B兩點.若△AF1B的周長為4,則C的方程為 ( )
A.+=1 B.+y2=1
C.+=1 D.+=1
【解析】選A.根據(jù)題意,因為△AF1B的周長為4,
所以|AF1|+|AB|+|BF1|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4,所以a=.
又因為橢圓的離心率e==,所以c=1,b2=a2-c2=3-1=2,所以橢圓C的方程為+=1.
2.(5分)(xx呂梁模擬)設F1,F2分別是橢圓+y2=1的左、右焦點,若橢圓上存在一點P,使(+)=0(O為坐標原點),則△F1PF2的面積是
( )
A.4 B.3
C.2 D.1
【解析】選D.因為(+)=(+)==0,
所以PF1⊥PF2,∠F1PF2=90.
設|PF1|=m,|PF2|=n,則m+n=4,
m2+n2=12,2mn=4,所以=mn=1.
3.(5分)橢圓+=1上有兩個動點P,Q,E(3,0),EP⊥EQ,則的最小值為
( )
A.6 B.3-
C.9 D.12-6
【解析】選A.設P點坐標為(m,n),則+=1,
|PE|=
==,
因為-6≤m≤6,所以|PE|的最小值為.又因為=(-)=-=||2,
所以的最小值為6.
4.(12分)已知長為1+的線段AB的兩個端點A,B分別在x軸、y軸上滑動,P是AB上一點,且=,求點P的軌跡C的方程.
【解析】設A(x0,0),B(0,y0),P(x,y),
=,
又=(x-x0,y),=(-x,y0-y),
所以x-x0=-x,y=(y0-y),
得x0=x,y0=(1+)y.
因為|AB|=1+,即+=(1+)2,
所以+[(1+)y]2=(1+)2,
化簡得+y2=1.
所以點P的軌跡方程為+y2=1.
5.(13分)(xx全國卷Ⅰ)已知橢圓C:+=1(a>b>0),四點P1(1,1),P2(0,1),
P3,P4中恰有三點在橢圓C上.
(1)求C的方程.
(2)設直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A,B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1,證明:l過定點.
【解析】(1)根據(jù)橢圓對稱性,必過P3,P4,
又P4橫坐標為1,橢圓必不過P1,所以過P2,P3,P4三點,
將P2,P3代入橢圓方程得
解得a2=4,b2=1.
所以橢圓C的方程為:+y2=1.
(2)①當斜率不存在時,設l:
x=m,A,B,
+=+==-1,
得m=2,此時l過橢圓右頂點,不存在兩個交點,故不滿足.
②當斜率存在時,設l:y=kx+n,
A,B,
聯(lián)立整理得x2+8knx+4n2-4=0,
x1+x2=,x1x2=,
則+=+
=
=
==-1,
又n≠1?n=-2k-1,此時Δ=-64k,存在k使得Δ>0成立,
所以直線l的方程為y=kx-2k-1,
當x=2時,y=-1,
所以l過定點.
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