2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題4 數(shù)列 第2講 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用 文.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題4 數(shù)列 第2講 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用 文 求數(shù)列的通項(xiàng) 訓(xùn)練提示: 求數(shù)列通項(xiàng)的常用方法有累加法、累積法、構(gòu)造等比數(shù)列法或已知Sn與an關(guān)系,求an或利用方程思想聯(lián)立方程組,求出基本量,得出an.解題時(shí)應(yīng)注意各自的適用范圍及注意驗(yàn)證n=1的情況. 1.(xx寧夏石嘴山高三聯(lián)考)已知各項(xiàng)都不相等的等差數(shù)列{an}的前7項(xiàng)和為70,且a3為a1和a7的等比中項(xiàng). (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)若數(shù)列{bn}滿足bn+1-bn=an(n∈N*),且b1=2,求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Tn. 解:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0), 則 解得 所以an=2n+2. (2)因?yàn)閎n+1-bn=an, 所以bn-bn-1=an-1=2n(n≥2,n∈N*) bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1 =an-1+an-2+…+a1+b1 =n(n+1). 所以==-, 所以Tn=1-+-+…+- =1-=. 2.(xx東北三校第二次聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=2,an+1=Sn+2,n∈N*. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)bn=nan,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解:(1)當(dāng)n=1時(shí)a2=S1+2=4=2a1, 當(dāng)n≥2時(shí),?an+1=2an, 數(shù)列{an}滿足an+1=2an(n∈N*),且a1=2, 所以an=2n(n∈N*). (2)bn=nan=n2n Tn=121+222+323+…+(n-1)2n-1+n2n 2Tn=122+223+324+…+(n-1)2n+n2n+1 兩式相減,得 -Tn=21+22+23+…+2n-1+2n-n2n+1 -Tn=-n2n+1, Tn=2+(n-1)2n+1(n∈N*). 求數(shù)列的前n項(xiàng)和 訓(xùn)練提示: 在數(shù)列求和的幾種常見方法中,一定要注意其各自的適用范圍,其中在裂項(xiàng)相消法中注意裂項(xiàng)后的恒等變形,在錯(cuò)位相減法中注意相減后,哪些項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列. 3.(xx甘肅二診)已知數(shù)列{an}中,a1=2,且an=2an-1-n+2(n≥2,n∈N*). (1)求a2,a3,并證明{an-n}是等比數(shù)列; (2)設(shè)bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn. 解:(1)由已知an=2an-1-n+2(n≥2,n∈N*)得 a2=4,a3=7. an-n=2an-1-2n+2,即an-n=2[an-1-(n-1)], 因?yàn)?2(n≥2,n∈N*). 所以{an-n}是以2為公比的等比數(shù)列. (2)由(1)得an-n=(a1-1)2n-1. 即an=2n-1+n. 所以bn==1+. 設(shè)cn=,且前n項(xiàng)和為Tn, 所以Tn=+++…+① Tn=+++…+② ①-②得Tn=1+(+++…+)- =-=2-. 所以Tn=4-,Sn=n+4-. 4.(xx鄭州第二次質(zhì)量預(yù)測(cè))已知等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),a1=1,且a3,a4+,a11成等比數(shù)列. (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解:(1)設(shè)等差數(shù)列公差為d,由題意知d>0. 因?yàn)閍3,a4+,a11成等比數(shù)列,所以(a4+)2=a3a11, 所以(+3d)2=(1+2d)(1+10d), 即44d2-36d-45=0, 所以d=(d=-舍去), 所以an=. (2)bn== =(-). 所以Tn=(-+-+…+-) =. 數(shù)列的綜合問題 訓(xùn)練提示: 解答數(shù)列綜合問題要善于用化歸思想把非等差、等比數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問題,并結(jié)合函數(shù)與方程的思想方法分析、解決問題.數(shù)列與解析幾何的綜合問題解決的策略往往是把綜合問題分解成幾部分,先利用解析幾何的知識(shí)以及數(shù)形結(jié)合得到數(shù)列的通項(xiàng)公式,然后再利用數(shù)列知識(shí)和方法 求解. 5.(xx鄭州第二次質(zhì)量預(yù)測(cè))已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=2an-2. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)bn=log2a1+log2a2+…+log2an,求使(n-8)bn≥nk對(duì)任意n∈N*恒成立的實(shí)數(shù)k的取值范圍. 解:(1)由Sn=2an-2可得a1=2, 因?yàn)镾n=2an-2, 所以當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2an-2an-1, 即=2. 數(shù)列{an}是以a1=2為首項(xiàng),公比為2的等比數(shù)列, 所以an=2n(n∈N*). (2)bn=log2a1+log2a2+…+log2an =1+2+3+…+n =. 由(n-8)bn≥nk對(duì)任意n∈N*恒成立, 即實(shí)數(shù)≥k對(duì)n∈N*恒成立; 設(shè)cn=(n-8)(n+1), 則當(dāng)n=3或4時(shí),cn取得最小值為-10,所以k≤-10. 【教師備用】 (xx陜西卷)設(shè)fn(x)=x+x2+…+xn-1,x≥0,n∈N,n≥2. (1)求f′n(2); (2)證明:fn(x)在(0,)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)(記為an),且0下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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