2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第17講 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)練習(xí) 新人教A版.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第17講 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)練習(xí) 新人教A版 [考情展望] 1.利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值.2.考查三角函數(shù)值符號(hào)的確定. 一、角的有關(guān)概念 1.從運(yùn)動(dòng)的角度看,角可分為正角、負(fù)角和零角. 2.從終邊位置來看,可分為象限角與軸線角. 3.若β與α是終邊相同的角,則β用α表示為β=2kπ+α(k∈Z). 二、弧度與角度的互化 1.1弧度的角 長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角. 2.角α的弧度數(shù) 如果半徑為r的圓的圓心角α所對(duì)弧的長(zhǎng)為l,那么,角α的弧度數(shù)的絕對(duì)值是|α|=. 3.角度與弧度的換算①1=rad;②1 rad=. 4.弧長(zhǎng)、扇形面積的公式 設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l,圓心角大小為α(rad),半徑為r,則l=rα,扇形的面積為S=lr=r2α. 角度制與弧度制不可混用 角度制與弧度制可利用180=π rad進(jìn)行互化,在同一個(gè)式子中,采用的度量制度必須一致,不可混用. 三、任意角的三角函數(shù) 1定義:設(shè)α是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),那么sin α=y(tǒng),cos α=x,tan α=. 2.幾何表示:三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示,正弦線的起點(diǎn)都在x軸上,余弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn),正切線的起點(diǎn)都是(1,0). 三角函數(shù)值符號(hào)記憶口訣 記憶技巧:一全正、二正弦、三正切、四余弦(為正).即第一象限全為正,第二象限正弦為正,第三象限正切為正,第四象限余弦為正. 1.給出下列四個(gè)命題: ①-是第二象限角;②是第三象限角;③-400是第四象限角;④-315是第一象限角.其中正確的命題有( ) A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 【解析】 ①中-是第三象限角,故①錯(cuò)誤.②中,=π+,從而是第三象限角正確.③中-400=-360-40,從而③正確.④中-315=-360+45,從而④正確. 【答案】 C 2.已知角α的終邊過點(diǎn)P(-1,2),則sin α=( ) A. B. C.- D.- 【解析】 由三角函數(shù)的定義可知,sin α==. 【答案】 B 3.若sin α<0且tan α>0,則α是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 【解析】 由sin α<0,得α在第三、四象限或y軸非正半軸上,又tan α>0,∴α在第三象限. 【答案】 C 4.弧長(zhǎng)為3π,圓心角為135的扇形半徑為________,面積為________. 【解析】 ∵l=3π,α=135=, ∴r==4,S=lr=3π4=6π. 【答案】 4 6π 5.(xx江西高考)下列函數(shù)中,與函數(shù)y=定義域相同的函數(shù)為( ) A.y= B.y= C.y=xex D.y= 【解析】 函數(shù)y=的定義域?yàn)閧x|x≠0},選項(xiàng)A中由sin x≠0?x≠kπ,k∈Z,故A不對(duì);選項(xiàng)B中x>0,故B不對(duì);選項(xiàng)C中,x∈R,故C不對(duì);選項(xiàng)D中由正弦函數(shù)及分式型函數(shù)的定義域確定方法可知定義域?yàn)閧x|x≠0},故選D. 【答案】 D 6.(2011江西高考)已知角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),始邊為x軸的正半軸.若P(4,y)是角θ終邊上一點(diǎn),且sin θ=-,則y=________. 【解析】 由三角函數(shù)的定義,sin θ=, 又sin θ=-<0, ∴y<0且=-, 解之得y=-8. 【答案】 -8 考向一 [047] 角的集合表示及象限角的判定 (1)寫出終邊在直線y=x上的角的集合; (2)已知α是第三象限角,求所在的象限. 【思路點(diǎn)撥】 (1)角的終邊是射線,應(yīng)分兩種情況求解. (2)把α寫成集合的形式,從而的集合形式也確定. 【嘗試解答】 (1)當(dāng)角的終邊在第一象限時(shí),角的集合為,當(dāng)角的終邊在第三象限時(shí),角的集合為,故所求角的集合為∪ =. (2)∵2kπ+π<α<2kπ+π(k∈Z), ∴kπ+<<kπ+π(k∈Z). 當(dāng)k=2n(n∈Z)時(shí),2nπ+<<2nπ+π,是第二象限角, 當(dāng)k=2n+1(n∈Z)時(shí),2nπ+<<2nπ+π,是第四象限角, 綜上知,當(dāng)α是第三象限角時(shí),是第二或第四象限角. 規(guī)律方法1 1.若要確定一個(gè)絕對(duì)值較大的角所在的象限,一般是先將角化為2kπ+α(0≤α<2π)(k∈Z)的形式,然后再根據(jù)α所在的象限予以判斷. 2.利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角,方法是先寫出這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合,然后通過對(duì)集合中的參數(shù)k賦值來求得所需角. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 若α=k180+45(k∈Z),則α在( ) A.第一或第三象限 B.第一或第二象限 C.第二或第四象限 D.第三或第四象限 【解析】 當(dāng)k=2n(n∈Z)時(shí),α=n360+45, 所以α在第一象限. 當(dāng)k=2n+1(n∈Z)時(shí),α=n360+225, 所以α在第三象限. 綜上可知,α在第一或第三象限. 【答案】 A 考向二 [048] 扇形的弧長(zhǎng)及面積公式 已知扇形的圓心角是α,半徑為R,弧長(zhǎng)為l. (1)若α=60,R=10 cm,求扇形的弧長(zhǎng)l. (2)若扇形的周長(zhǎng)為20 cm,當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時(shí),這個(gè)扇形的面積最大? (3)若α=,R=2 cm,求扇形的弧所在的弓形的面積. 【思路點(diǎn)撥】 (1)可直接用弧長(zhǎng)公式,但要注意用弧度制; (2)可用弧長(zhǎng)或半徑表示出扇形面積,然后確定其最大值時(shí)的半徑和弧長(zhǎng),進(jìn)而求出圓心角α; (3)利用S弓=S扇-S△,這樣就需要求扇形的面積和三角形的面積. 【嘗試解答】 (1)l=10=(cm). (2)由已知得:l+2R=20, 所以S=lR=(20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2+25,所以R=5時(shí),S取得最大值25,此時(shí)l=10,α=2 rad. (3)設(shè)弓形面積為S弓. 由題知l=cm, S弓=S扇-S△=2-22sin =(cm2). 規(guī)律方法2 1.利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí),要注意角的單位必須是弧度. 2.本題把求扇形面積最大值的問題,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題,利用配方法使問題得到解決,這是解決此類問題的常用方法. 3.在解決弧長(zhǎng)問題和扇形面積問題時(shí),要注意合理地利用圓心角所在的三角形. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 已知半徑為10的圓O中,弦AB的長(zhǎng)為10, (1)求弦AB所對(duì)的圓心角α的大小; (2)求α所在的扇形弧長(zhǎng)l及弧所在的弓形的面積S. 【解】 (1)在△AOB中,AB=OA=OB=10, ∴△AOB為等邊三角形. 因此弦AB所對(duì)的圓心角α=. (2)由扇形的弧長(zhǎng)與扇形面積公式,得 l=αR=10=π, S扇形=Rl=αR2=. 又S△AOB=OAOBsin =25. ∴弓形的面積S=S扇形-S△AOB=50. 考向三 [049] 三角函數(shù)的定義 (1)已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(m,-3),且cos α=-,則m等于( ) A.- B. C.-4 D.4 (2)已知角α的終邊在直線3x+4y=0上,求sin α,cos α,tan α的值. 【思路點(diǎn)撥】 (1)求出點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離,根據(jù)三角函數(shù)的定義求解. (2)在直線上設(shè)一點(diǎn)P(4t,-3t),求出點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離,根據(jù)三角函數(shù)的定義求解,由于點(diǎn)P可在不同的象限內(nèi),所以需分類討論. 【嘗試解答】 (1)點(diǎn)P到原點(diǎn)O距離|OP|=, ∴cos α==-, ∴,∴m=-4. 【答案】 C (2)在直線3x+4y=0上任取一點(diǎn)P(4t,-3t)(t≠0), 則x=4t,y=-3t, ∴r=|PO|===5|t|, 當(dāng)t>0時(shí),r=5t, sin α===-, cos α===, tan α===-; 當(dāng)t<0時(shí),r=-5t,sin α===, cos α===-, tan α===-. 綜上可知,當(dāng)t>0時(shí),sin α=-,cos α=,tan α=-. 當(dāng)t<0時(shí),sin α=,cos α=-,tan α=-. 規(guī)律方法3 定義法求三角函數(shù)值的兩種情況 (1)已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo),則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r,然后利用三角函數(shù)的定義求解. (2)已知角α的終邊所在的直線方程,則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo),求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,然后利用三角函數(shù)的定義求解相關(guān)的問題.若直線的傾斜角為特殊角,也可直接寫出角α的三角函數(shù)值. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 設(shè)90<α<180,角α的終邊上一點(diǎn)為P(x,),且cos α=x,求4sin α-3tan α的值. 【解】 ∵r=,∴cos α=, 從而x=, 解得x=0或x=. ∵90<α<180, ∴x<0,因此x=-.則r=2, ∴sin α==,tan α==-. 故4sin α-3tan α=+. 易錯(cuò)易誤之六 |a|≠a——三角函數(shù)定義求值中引發(fā)的分類討論 ———— [1個(gè)示范例] ———— [1個(gè)防錯(cuò)練] ———— (xx臨沂模擬)已知角θ的終邊上一點(diǎn)p(3a,4a)(a≠0),則sin θ=________. 【解析】 ∵x=3a,y=4a, ∴r==5|a|. 此處在求解時(shí),常犯r=5a的錯(cuò)誤,出錯(cuò)的原因在于去絕對(duì)值時(shí),沒有對(duì)a進(jìn)行討論. (1)當(dāng)a>0時(shí),r=5a,∴sin θ==. (2)當(dāng)a<0時(shí),r=-5a,∴sin θ==- ∴sin θ=. 【防范措施】 1.對(duì)于=|a|,在去掉絕對(duì)值號(hào)后,應(yīng)分a≥0和a<0兩種情況討論. 2.已知角α終邊上任意一點(diǎn)p(x,y),求三角函數(shù)值時(shí),應(yīng)用sin α=,cos α=,tan α=求解. 已知角α的終邊落在直線y=2x上,則sin α+cos α=________. 【解析】 在角α的終邊上任取一點(diǎn)P(t,2t)(t≠0),則 r=|OP|==|t| (1)若t>0,則sin α==, cos α==,sin α+cos α=. (2)若t<0,則sin α=-=-, cos α=-=-,sin α+cos α=-. 綜上所述,sin α+cos α=. 【答案】- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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