2019-2020年高考數學黃金考點 直線與圓錐曲線的位置關系.doc

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2019-2020年高考數學黃金考點 直線與圓錐曲線的位置關系 一．知識網絡結構： 2.直線與圓錐曲線的位置關系： ⑴.從幾何角度看：（特別注意）要特別注意當直線與雙曲線的漸進線平行時，直線與雙曲線只有一個交點；當直線與拋物線的對稱軸平行或重合時，直線與拋物線也只有一個交點。 ⑵.從代數角度看：設直線L的方程與圓錐曲線的方程聯立得到。 ①. 若=0，當圓錐曲線是雙曲線時，直線L與雙曲線的漸進線平行或重合； 當圓錐曲線是拋物線時，直線L與拋物線的對稱軸平行或重合。 ②.若，設。.時，直線和圓錐曲線相交于不同兩點，相交。 b.時，直線和圓錐曲線相切于一點，相切。c.時，直線和圓錐曲線沒有公共點，相離。 二．?？碱}型解讀：題型一：直線與橢圓的位置關系： 例1.橢圓上的點到直線的最大距離是（ ） A.3 B. C. D. 例2.如果橢圓的弦被點平分，則這條弦所在的直線方程是（ ） A. B. C. D. 題型二：直線與雙曲線的位置關系： 例3.已知直線與雙曲線=4。 ⑴若直線與雙曲線無公共點，求k的范圍；⑵若直線與雙曲線有兩個公共點，求k的范圍； ⑶若直線與雙曲線有一個公共點，求k的范圍；⑷若直線與雙曲線的右支有兩個公共點，求k的范圍；⑸若直線與雙曲線的兩支各有一個公共點，求k的范圍。 題型三：直線與拋物線的位置關系： 例4.在拋物線上求一點P，使P到焦點F與P到點的距離之和最小。 題型四：弦長問題： 直線與圓錐曲線相交時的弦長問題是一個難點，化解這個難點的方法是：設而不求，根據根與系數的關系，進行整體代入。即當直線與圓錐曲線交于點，時，則== == 可根據直線方程與圓錐曲線方程聯立消元后得到的一元二次方程，利用根與系數的關系得到兩根之和，兩根之積的代數式，然后再進行整體帶入求解。 例5.過雙曲線的右焦點，傾斜角為的直線交雙曲線于A、B兩點，求。 題型五：中點弦問題：求以某定點為中點的圓錐曲線的弦的方程的幾種方法： ⑴.點差法：將弦的兩個端點坐標代入曲線方程，兩式相減，即可確定弦的斜率，然后由點斜式得出弦的方程； ⑵.設弦的點斜式方程，將弦的方程與曲線方程聯立，消元后得到關于x（或y）的一元二次方程，用根與系數的關系求出中點坐標，從而確定弦的斜率k，然后寫出弦的方程； ⑶.設弦的兩個端點分別為，則這兩點坐標分別滿足曲線方程，又為弦的中點，從而得到四個方程，由這四個方程可以解出兩個端點，從而求出弦的方程。 例6.已知雙曲線方程=2。⑴求以A為中點的雙曲線的弦所在的直線方程； ⑵過點能否作直線L，使L與雙曲線交于，兩點，且，兩點的中點為？如果存在，求出直線L的方程；如果不存在，說明理由。 題型六：圓錐曲線上的點到直線的距離問題： 例7.在拋物線上求一點，使它到直線L：的距離最短，并求這個最短距離。 練 習 題 1.（09上海）過點作傾斜角為的直線，與拋物線交于兩點，則= 。 寫出所涉及到的公式： 2.（09海南）已知拋物線C的頂點坐標為原點，焦點在x軸上，直線y=x與拋物線C交于A，B兩點， 若為的中點，則拋物線C的方程為 。 3.（08寧夏海南）過橢圓的右焦點作一條斜率為2的直線與橢圓交于A、B兩點，O為坐標 原點，則△OAB的面積為 4.（11全國）已知直線L過拋物線C的焦點，且與C的對稱軸垂直，L與C交于A，B兩點，， P為C的準線上一點，則的面積為（ ） A．18 B．24 C． 36 D． 48 5.（09山東）設斜率為2的直線過拋物線的焦點F,且和軸交于點A,若△OAF(O為坐標原點)的面積為4,則拋物線方程為( ) A. B. C. D. 6.（09山東）設雙曲線的一條漸近線與拋物線y=x+1 只有一個公共點，則雙曲線的離心率為( ).A. B. 5 C. D. 7.（10全國）設,分別是橢圓E：+=1（0﹤b﹤1）的左、右焦點，過的直線L與E相交于A、B兩點，且，，成等差數列。⑴求⑵若直線L的斜率為1，求b的值。 8.（11江西）已知過拋物線的焦點，斜率為的直線交拋物線于（）兩點，且．⑴求該拋物線的方程；⑵為坐標原點，為拋物線上一點，若，求的值． 直線與圓錐曲線的位置關系 一.選擇題 (1)與直線2x-y+4=0平行的拋物線y= x2的切線方程是 ( ) A 2x-y+3=0 B 2x-y-3=0 C 2x-y+1=0 D 2x-y-1=0 (2) 橢圓+ y2 = 1的兩個焦點為F1、F2,過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交,一個交點為P,則| | = ( ) A. B. C. － D. 4 (3) 設雙曲線 (0)的線段AB的端點在雙曲線b2x2-a2y2=a2b2的右支上, 則AB中點M的橫坐標的最小值為 . 三.解答題 (15) 如圖,拋物線關于x軸對稱,它的頂點在坐標原點, 點P(1,2), A(x1, y1), B(x2,y2)均在直線上. (Ⅰ)寫出該拋物線的方程及其準線方程； (Ⅱ)當PA與PB的斜率存在且傾角互補時, 求的值及直線AB的斜率. (16) 設橢圓方程為，過點M（0，1）的直線l交橢圓于點A、B，O是坐標原點，點P滿足，點N的坐標為，當l繞點M旋轉時，求： （Ⅰ）動點P的軌跡方程； （Ⅱ）的最小值與最大值. (17) 已知雙曲線的中心在原點，右頂點為A（1，0）點P、Q 在雙曲線的右支上，支M（m,0）到直線AP的距離為1. （Ⅰ）若直線AP的斜率為k，且，求實數m的 取值范圍； （Ⅱ）當時，ΔAPQ的內心恰好是點M，求此雙曲 線的方程. (18) 設橢圓的兩個焦點是與，且橢圓上存在點P，使得直線PF2與直線PF2垂直. （Ⅰ）求實數m的取值范圍； （Ⅱ）設L是相應于焦點F2的準線，直線PF2與L相交于點Q. 若，求直線PF2的方程. 第十三單元 一選擇題: 1.D 2.C 3.A 4.B 5.B 6.C 7.C 8.C 9.B 10.D 二填空題: 11. 3, 12. [-1,3], 13. 4, 14. . 三解答題 (15)解(Ⅰ)由已知條件,可設拋物線的方程為 ∵點P(1,2)在拋物線上,∴得=2. 故所求拋物線的方程是準線方程是x=--1. (Ⅱ) 設直線PA的斜率為kPA,直線PB的斜率為kPB, ∵PA與PB的斜率存在且傾斜角互補,∴ 由A(x1,y1), B(x2,y2)在拋物線上,得 ① ② ∴ ∴ ∴ 由①-②得直線AB的斜率 (16) （Ⅰ）解法一：直線l過點M（0，1）設其斜率為k，則l的方程為 ① 記、由題設可得點A、B的坐標、是方程組 ② 的解.將①代入②并化簡得，，所以 于是 設點P的坐標為則消去參數k得 ③ 當k不存在時，A、B中點為坐標原點（0，0），也滿足方程③，所以點P的軌跡方程為 解法二：設點P的坐標為，因、在橢圓上，所以 ④ ⑤. ④—⑤得，所以 當時，有 ⑥并且 ⑦ 將⑦代入⑥并整理得 ⑧. 當時，點A、B的坐標為（0，2）、（0，－2），這時點P的坐標為（0，0）也滿足⑧，所以點P的軌跡方程為 （Ⅱ）解：由點P的軌跡方程知所以 故當，取得最小值，最小值為時，取得最大值，最大值為 (17) 解: (Ⅰ)由條件得直線AP的方程即因為點M到直線AP的距離為1,∵即.∵ ∴解得+1≤m≤3或--1≤m≤1--. ∴m的取值范圍是(Ⅱ)可設雙曲線方程為由得.又因為M是ΔAPQ的內心,M到AP的距離為1,所以∠MAP=45,直線AM是∠PAQ的角平分線,且M到AQ、PQ的距離均為1。因此，（不妨設P在第一象限）直線PQ方程為。直線AP的方程y=x-1,∴解得P的坐標是（2+，1+），將P點坐標代入得，所以所求雙曲線方程為 即 (18)（Ⅰ）由題設有設點P的坐標為（），由，得，化簡得 ① 將①與聯立，解得 由所以m的取值范圍是. （Ⅱ）準線L的方程為設點Q的坐標為，則 ② 將代入②，化簡得由題設，得 ，無解.將代入②，化簡得 由題設，得 解得m=2.從而得到PF2的方程