2019-2020年高考數(shù)學專題復習 第39講 變量間的相關關系、統(tǒng)計案例練習 新人教A版.doc

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2019-2020年高考數(shù)學專題復習 第39講 變量間的相關關系、統(tǒng)計案例練習 新人教A版 [考情展望]　1.考查獨立性檢驗的基本思想，兩個臨界值的理解及應用.2.考查回歸分樣的基本思想及回歸直線方程的計算應用.3.多以選擇題、填空題形式進行考查． 一、兩個變量的線性相關 1．在散點圖中，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對于兩個變量的這種相關關系，我們將它稱為正相關． 2．在散點圖中，點散布在從左上角到右下角的區(qū)域，兩個變量的這種相關關系稱為負相關． 3．如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱這兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫做回歸直線． 二、回歸方程 1．最小二乘法：使得樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫最小二乘法． 2．回歸方程：兩個具有線性相關關系的變量的一組數(shù)據(jù)：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)．其回歸方程為＝x＋，則 其中(，)稱為樣本點的中心． 三、殘差分析 1．殘差：對于樣本點(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，它們的隨機誤差為ei＝y(tǒng)i－bxi－a，i＝1,2，…，n，其估計值為i＝y(tǒng)i－i＝y(tǒng)i－xi－，i＝1,2，…，n.i稱為相應于點(xi，yi)的殘差． 2．殘差平方和為 (yi－i)2. 3．相關指數(shù)：R2＝1－. 四、獨立性檢驗 1．利用隨機變量K2來判斷“兩個分類變量有關系”的方法稱為獨立性檢驗． 2．列聯(lián)表：列出的兩個分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表．假設有兩個分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為22列聯(lián)表)為 22列聯(lián)表 y1 y2 總計 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 總計 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 構(gòu)造一個隨機變量K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量． 1．某商品銷售量y(件)與銷售價格x(元/件)負相關，則其回歸方程可能是(　　) A.＝－10x＋200　　　　　　　 B.＝10x＋200 C.＝－10x－200 D.＝10x－200 【解析】　由題意回歸方程斜率應為負，故排除B，D，又銷售量應為正值，故C不正確，故選A. 【答案】　A 2．下面是22列聯(lián)表： y1 y2 合計 x1 a 21 73 x2 22 25 47 合計 b 46 120 則表中a，b的值分別為(　　) A．94,72 B．52,50 C．52,74 D．74,52 【解析】　∵a＋21＝73，∴a＝52. 又a＋22＝b，∴b＝74. 【答案】　C 3．調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x(單位：萬元)和年飲食支出y(單位：萬元)，調(diào)查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關關系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對x的回歸直線方程：＝0.254x＋0.321.由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加________萬元． 【解析】　由題意知[0.254(x＋1)＋0.321]－(0.254x＋0.321)＝0.254. 【答案】　0.254 4．在一項打鼾與患心臟病的調(diào)查中，共調(diào)查了1 671人，經(jīng)過計算K2的觀測值k＝27.63，根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析，我們有理由認為打鼾與患心臟病是________的(填有關或無關)． 【解析】　∵k＝27.63＞6.635， ∴有99%的把握認為“打鼾與患心臟病有關”． 【答案】　有關 5．(xx湖北高考)四名同學根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x，y之間的相關關系，并求得回歸直線方程，分別得到以下四個結(jié)論： ①y與x負相關且＝2.347x－6.423；②y與x負相關且＝－3.476x＋5.648；③y與x正相關且＝5.437x＋8.493；④y與x正相關且＝－4.326x－4.578. 其中一定不正確的結(jié)論的序號是(　　) A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【解析】　由正負相關性的定義知①④一定不正確． 【答案】　D 6．(xx福建高考)已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表： x 1 2 3 4 5 6 y 0 2 1 3 3 4 假設根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸直線方程為＝x＋.若某同學根據(jù)上表中的前兩組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)求得的直線方程為y＝b′x＋a′，則以下結(jié)論正確的是(　　) A.>b′，>a′ B.>b′，a′ D.a′. 【答案】　C 考向一 [169]　相關關系的判斷 　(1)下列結(jié)論： ①函數(shù)關系是一種確定性關系； ②相關關系是一種非確定性關系； ③回歸分析是對具有函數(shù)關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種方法； ④回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法． 其中正確的是________． (2)下列關系屬于線性負相關的是(　　) A．父母的身高與子女身高的關系 B．球的體積與半徑之間的關系 C．汽車的重量與汽車每消耗1 L汽油所行駛的平均路程 D．一個家庭的收入與支出 【思路點撥】　(1)根據(jù)相關關系及回歸分析的定義判斷； (2)先判斷兩個變量之間關系是否為相關關系，再判斷是否為負相關． 【嘗試解答】　(1)①由函數(shù)y＝f(x)的定義可知當x確定時，y也唯一確定了，所以函數(shù)關系是一種確定性關系，所以①正確． ②相關關系的兩個變量x，y存在一定的聯(lián)系，但無法確定具體的關系，所以相關關系是一種非確定性關系，所以②正確． ③回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種方法，不是對具有函數(shù)關系的變量進行分析，所以③錯誤． ④與③對比，同時根據(jù)回歸分析的定義可知④正確，所以正確的是①②④. (2)父母身高與子女身高的關系是一個正相關， 球的體積與半徑之間的關系是函數(shù)關系， 一個家庭的收入與支出是一個正相關關系， 即A、D中的兩個變量屬于線性正相關， B中兩個變量是函數(shù)關系． 【答案】　(1)①②④　(2)C 規(guī)律方法1　1.相關關系的判斷方法：一是利用散點圖直觀判斷，二是利用相關系數(shù)作出判斷. 2.對于由散點圖作出相關性判斷時，若散點圖呈帶狀且區(qū)域較窄，說明兩個變量有一定的線性相關性，若呈曲線型也是有相關性. 3.在散點圖中，若點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，稱為正相關；若散布在從左上角到右下角的區(qū)域稱為負相關. 對點訓練　對變量x，y有觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散點圖9－3－1(1)；對變量u，v有觀測數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散點圖9－3－1(2)．由這兩個散點圖可以判斷(　　) 　　　圖(1)　　　　　　　　　　　圖(2) 圖9－3－1 A．變量x與y正相關，u與v正相關 B．變量x與y正相關，u與v負相關 C．變量x與y負相關，u與v正相關 D．變量x與y負相關，u與v負相關 【解析】　由散點圖可知x與y負相關，u與v正相關． 【答案】　C 考向二 [170]　線性回歸分析 　(xx重慶高考)從某居民區(qū)隨機抽取10個家庭，獲得第i個家庭的月收入xi(單位：千元)與月儲蓄yi(單位：千元)的數(shù)據(jù)資料，算得i＝80，i＝20，iyi＝184，＝720. (1)求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程y＝bx＋a； (2)判斷變量x與y之間是正相關還是負相關； (3)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預測該家庭的月儲蓄． 附：線性回歸方程y＝bx＋a中，b＝，a＝－b，其中，為樣本平均值，線性回歸方程也可寫為＝x＋. 【思路點撥】　(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù)求回歸系數(shù)，再求出線性回歸方程． (2)根據(jù)回歸方程判斷． (3)利用回歸方程進行預測分析． 【嘗試解答】　(1)由題意知n＝10，＝i＝＝8， ＝i＝＝2， 又lxx＝－n2＝720－1082＝80， lxy＝iyi－n＝184－1082＝24， 由此得b＝＝＝0.3，a＝－b＝2－0.38＝－0.4. 故所求線性回歸方程為y＝0.3x－0.4. (2)由于變量y的值隨x值的增加而增加(b＝0.3>0)，故x與y之間是正相關． (3)將x＝7代入回歸方程可以預測該家庭的月儲蓄為y＝0.37－0.4＝1.7(千元)． 規(guī)律方法2　1.正確運用計算、的公式和準確的計算，是求線性回歸方程的關鍵. 2.在分析兩個變量的相關關系時，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點圖來確定兩個變量之間是否具有相關關系，若具有線性相關關系，則可通過線性回歸方程估計和預測變量的值. 對點訓練　為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時間之間的關系，下表記錄了小李某月1號到5號每天打籃球時間x(單位：小時)與當天投籃命中率y之間的關系： 時間x 1 2 3 4 5 命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4 (1)試求小李這5天的平均投籃命中率； (2)請你用線性回歸分析的方法，預測小李該月6號打6小時籃球的投籃命中率． 【解】　(1)由圖表知，5天的平均投籃命中率 ＝＝0.5， (2)＝(1＋2＋3＋4＋5)＝3， ∴＝ ＝0.01， ＝－＝0.5－0.013＝0.47， 故回歸直線方程為＝0.47＋0.01x 將x＝6代入，得＝0.53， ∴6號打6小時籃球的投籃命中率約為0.53. 考向三 [171]　獨立性檢驗 　某中學對“學生性別和是否喜歡看NBA比賽”作了一次調(diào)查，其中男生人數(shù)是女生人數(shù)的2倍，男生喜歡看NBA的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡看NBA的人數(shù)占女生人數(shù)的. (1)若被調(diào)查的男生人數(shù)為n，根據(jù)題意建立一個22列聯(lián)表； (2)若有95%的把握認為是否喜歡看NBA和性別有關，求男生至少有多少人？ 附：K2＝ P(K2≥k) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【思路點撥】　(1)根據(jù)題意列出22列聯(lián)表；(2)計算K2的觀測值，解不等式即可． 【嘗試解答】　(1)由已知，得 喜歡NBA 不喜歡NBA 總計 男生 n 女生 總計 n (2)K2＝＝n. 若有95%的把握認為是否喜歡看NBA和性別有關． 則K2＞3.841，即n＞3.841，n＞10.24. ∵，為整數(shù)，∴n最小值為12，即男生至少12人． 規(guī)律方法3　1.獨立性檢驗的關鍵是準確的計算K2，在計算時，要充分利用22列聯(lián)表. 2.獨立性檢驗的步驟：,(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成22列聯(lián)表.,(2)根據(jù)公式K2＝計算K2的觀測值k. (3)比較k與臨界值的大小關系作統(tǒng)計推斷. 對點訓練　某班主任對班級22名學生進行了作業(yè)量多少的調(diào)查，數(shù)據(jù)如下表：在喜歡玩電腦游戲的12人中，有10人認為作業(yè)多，2人認為作業(yè)不多；在不喜歡玩電腦游戲的10人中，有3人認為作業(yè)多，7人認為作業(yè)不多． (1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個22列聯(lián)表；(2)試問喜歡電腦游戲與認為作業(yè)多少是否有關系？(可能用到的公式：K2＝.(可能用到數(shù)據(jù)：P(K2≥6.635)＝0.01，P(K2≥3.841)＝0.05) 【解】　(1)根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)，得到如下列聯(lián)表： 認為作業(yè)多 認為作業(yè)不多 總計 喜歡玩電腦游戲 10 2 12 不喜歡玩電腦游戲 3 7 10 總計 13 9 22 (2)K2＝＝≈6.418，而3.841＜6.418＜6.635 ∴有95%的把握認為喜歡玩電腦游戲與認為作業(yè)多少有關． 規(guī)范解答之二十　概率與統(tǒng)計的綜合應用問題求解 第一步：理清題意，理解問題中的條件和結(jié)論．尤其是直方圖中給定的信息，找關鍵量；第二步：由直方圖確定所需的數(shù)據(jù)，列出22列聯(lián)表；第三步：利用獨立性檢驗的步驟進行判斷；第四步：確定基本事件總數(shù)及所求事件所含基本事件的個數(shù)；第五步：利用概率公式求事件的概率． ————[1個示范例]————[1個規(guī)范練]———— 　　　(12分)電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對某個類體育節(jié)目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調(diào)查，其中女性有55名，下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖9－3－2： 圖9－3－2 將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”，已知“體育迷”中有10名女性． (1)根據(jù)已知條件完成下面的22列聯(lián)表，并據(jù)此資料判斷是否有95%的把握認為“體育迷”與性別有關？ 非體育迷 體育迷 合計 男 女 合計 (2)將日均收看該體育節(jié)目不低于50分鐘的觀眾稱為“超級體育迷”，已知“超級體育迷”中有2名女性，若從“超級體育迷”中任意選取2人，求至少有1名女性觀眾的概率． 附：K2＝ P(K2≥k) 0.05 0.01 k 3.841 6.635 【規(guī)范解答】　(1)由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”有25人，從而完成22列聯(lián)表如下： 非體育迷 體育迷 合計 男 30 15 45 女 45 10 55 合計 75 25 100 3分 將22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算，得K2＝＝≈3.030.因為3.030＜3.841，所以我們沒有95%的把握認為“體育迷”與性別有關.6分 (2)由頻率分布直方圖可知，“超級體育迷”為5人，從而一切可能結(jié)果所組成的基本事件為(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，其中ai表示男性，i＝1,2,3，bj表示女性，j＝1,2.9分 由10個基本事件組成，而且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的．用A表示“任選2人中，至少有1人是女性”這事件，則A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，11分 事件A由7個基本事件組成，因而P(A)＝.12分 【名師寄語】　1.忽視直方圖縱軸表示為導致每組人數(shù)計算失誤. 2.K2的計算不準確、導致結(jié)果判斷出錯. 3.由5人中任取2人列舉出所有可能結(jié)果時重復或遺漏某一情況導致失誤. 中國共產(chǎn)黨第十八屆中央委員會第三次會議于2013年11月9日至12日在北京召開，為了搞好對外宣傳工作，會務組選聘了16名男記者和14名女記者擔任對外翻譯工作，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，男、女記者中分別有10人和6人會俄語． (1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成以下22列聯(lián)表： 會俄語 不會俄語 總計 男 女 總計 30 并回答能否在犯錯的概率不超過0.10的前提下認為性別與會俄語有關？ 參考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 參考數(shù)據(jù)： P(K2≥k0) 0.40 0.25 0.10 0.010 k0 0.708 1.323 2.706 6.635 (2)會俄語的6名女記者中有4人曾在俄羅斯工作過，若從會俄語的6名女記者中隨機抽取2人做同聲翻譯，則抽出的2人都在俄羅斯工作過的概率是多少？ 【解】　(1)如表： 會俄語 不會俄語 總計 男 10 6 16 女 6 8 14 總計 16 14 30 假設是否會俄語與性別無關．由已知數(shù)據(jù)可求得 K2＝≈1.157 5＜2.706. 所以在犯錯的概率不超過0.10的前提下不能判斷會俄語與性別有關． (2)會俄語的6名女記者，分別設為A，B，C，D，E，F(xiàn)，其中A，B，C，D曾在俄羅斯工作過． 則從這6人中任取2人有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF共15種，其中2人都在俄羅斯工作過的是AB，AC，AD，BC，BD，CD共6種， 所以抽出的女記者中，2人都在俄羅斯工作過的概率是 P＝＝.