階線性方程 高等數學微積分.ppt

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1.一階線性微分方程的標準形式:,上方程稱為齊次的.,上方程稱為非齊次的.,,6.2.4一階線性微分方程,例如,線性的;,非線性的.,齊次方程的通解為,(1)線性齊次方程,2.一階線性微分方程的解法,(使用分離變量法),(2)線性非齊次方程,討論,兩邊積分,非齊次方程通解形式,與齊次方程通解相比:,常數變易法,把齊次方程通解中的常數變易為待定函數的方法.,實質:未知函數的變量代換.,作變換,,積分得,一階線性非齊次微分方程的通解為:,,,對應齊次方程通解,非齊次方程特解,解,例1,求下列微分方程滿足所給初始條件的特解:,解,于是,將方程標準化為,,求下列微分方程滿足所給初始條件的特解:,解,于是,將方程標準化為,故所求特解為,由初始條件,得,例3如圖所示，平行于軸的動直線被曲線與截下的線段PQ之長數值上等于陰影部分的面積,求曲線.,兩邊求導得,解,解此微分方程,所求曲線為,已知函數.,解,原方程實際上是標準的線性方程,,其中,直接代入通解公式,,得通解,求解方程,解,方程變?yōu)?這個方程不是一階線性微分方程,,不便求解.,如果,方程改寫為,則為一階線性微分方程,,于是對應齊次方程為,解,利用常數變易法,,設題設方程,分離變量,,即,并積分得,代入原方程,,積分得,的通解為,得,故原方程的通解為,,例6求方程,的通解.,解:注意x,y同號,,由一階線性方程通解公式,得,,故方程可,變形為,,,,所求通解為,,伯努利(Bernoulli)方程的標準形式,方程為線性微分方程.,方程為非線性微分方程.,6.2.5伯努利方程,解法:需經過變量代換化為線性微分方程.,求出通解后，將代入即得,代入上式,解,得,解得,兩端除以,令,得,故所求通解為,解,上式即變?yōu)橐浑A線性方程,求方程,的通解.,令,則,于是得到伯努利方程,令,其通解為,解,上式即變?yōu)橐浑A線性方程,求方程,的通解.,令,其通解為,回代原變量,,即得到題設方程的通解,例10用適當的變量代換解下列微分方程:,解,所求通解為,解,代入原式,分離變量法得,所求通解為,另解,小結:,1.一階線性方程,方法1先解齊次方程,再用常數變易法.,方法2用通解公式,化為線性方程求解.,2.伯努利方程,1.判別下列方程類型:,提示:,可分離變量方程,,,齊次方程,,線性方程,,線性方程,,伯努利方程,思考題,解,思考題,2.求微分方程的通解.,3.求一連續(xù)可導函數,使其滿足下列方程:,提示:,,,令,,則有,,利用公式可求出,思考題,4.設有微分方程,其中,,試求此方程滿足初始條件,的連續(xù)解.,解:1)先解定解問題,,利用通解公式,得,利用,得,故有,思考題,2)再解定解問題,,此齊次線性方程的通解為,利用銜接條件得,,因此有,3)原問題的解為,(雅各布第一伯努利),書中給出的伯努利數在很多地方有用,,伯努利(1654–1705),瑞士數學家,,位數學家.,標和極坐標下的曲率半徑公式,,1695年,版了他的巨著《猜度術》,,上的一件大事,,而伯努利定理則是大數定律的最早形式.,年提出了著名的伯努利方程,,,他家祖孫三代出過十多,1694年他首次給出了直角坐,1713年出,這是組合數學與概率論史,此外,他對,雙紐線,懸鏈線和對數螺線都有深入的研究.,練習題,練習題答案,