2019-2020年九年級數(shù)學競賽輔導講座 第六講 轉化—可化為一元二次方程的方程.doc
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2019-2020年九年級數(shù)學競賽輔導講座 第六講 轉化—可化為一元二次方程的方程 數(shù)學(家)特有的思維方式是什么?若從量的方面考慮,通常運用符號進行形式化抽象,在一個概念和公理體系內(nèi)實施推理計算,若從“轉化”這個側面又該如何回答?匈牙利女數(shù)學家路莎彼得在《無窮的玩藝》一書中寫道:“作為數(shù)學家的思維來說是很典型的,他們往往不對問題進行正面攻擊,而是不斷地將它變形,直至把它轉化為已經(jīng)能夠解決的問題.” 轉化與化歸是解分式方程和高次方程(次數(shù)高于二次的整式方程)的基本思想.解分式方程,通過去分母和換元;解高次方程,利用因式分解和換元,轉化為一元二次方程或一元一次方程去求解. 【例題求解】 【例1】 若,則的值為 . 思路點撥 視為整體,令,用換元法求出即可. 【例2】 若方程有兩個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)的取值范圍是( ) A. B. C. D. 思路點撥 通過平方有理化,將無理方程根的個數(shù)討論轉化為一元二次方程實根個數(shù)的討論,但需注意注的隱含制約. 注:轉化與化歸是一種重要的數(shù)學思想,在數(shù)學學習與解數(shù)學題中,我們常常用到下列不同途徑的轉化:實際問題轉化大為數(shù)學問題,數(shù)與形的轉化,常量與變量的轉化,一般與特殊的轉化等. 解下列方程: (1); (2); (3). 按照常規(guī)思路求解繁難,應恰當轉化,對于(1),利用倒數(shù)關系換元;對于(2),從受到啟示;對于(3),設,則可導出、的結果. 注:換元是建立在觀察基礎上的,換元不拘泥于一元代換,可根據(jù)問題的特點,進行多元代換. 【例4】 若關于的方程只有一個解(相等的解也算作一個),試求的值與方程的解. 思路點撥 先將分式方程轉化為整式方程,把分式方程解的討論轉化為整式方程的解的討論,“只有一個解”內(nèi)涵豐富,在全面分析的基礎上求出的值. 注:分式方程轉化為整式方程不一定是等價轉化,有可能產(chǎn)生增根,分式方程只有一個解,可能足轉化后所得的整式方程只有一個解,也可能是轉化后的整式方程有兩個解,而其中一個是原方程的增根,故分式方程的解的討論,要運用判別式、增根等知識全面分析. 【例5】 已知關于的方程有兩個根相等,求的值. 思路點撥 通過換元可得到兩個關于的含參數(shù)的一元二次方程,利用判別式求出的值. 注:運用根的判別式延伸到分式方程、高次方程根的情況的探討,是近年中考、競賽中一類新題型,盡管這種探討仍以一元二次方程的根為基礎,但對轉換能力、思維周密提出了較高要求. 學歷訓練 1.若關于的方程有增根,則的值為 ;若關于的方程 曾=一1的解為正數(shù),則的取值范圍是 . 2.解方程得 . 3.已知方程有一個根是2,則= . 4.方程的全體實數(shù)根的積為( ) A.60 B.一60 C.10 D.一10 5.解關于的方程不會產(chǎn)生增根,則是的值是( ) A.2 B.1 C.不為2或一2 D.無法確定 6.已知實數(shù)滿足,那么的值為( ) A.1或一2 B.一1或2 C.1 D.一2 7.(1)如表,方程1、方程2、方程3、……,是按照一定規(guī)律排列的一列方程,解方程1,并將它的解填在表中的空格處; (2)若方程()的解是=6,=10,求、的值.該方程是不是(1)中所給的一列方程中的一個方程?如果是,它是第幾個方程? (3)請寫出這列方程中的第個方程和它的解,并驗證所寫出的解適合第個方程. 序號 方 程 方程的解 1 = = 2 =4 =6 3 =5 =8 … … … … 8.解下列方程: (1) ; (2); (3); (4). 9.已知關于的方程,其中為實數(shù),當m為何值時,方程恰有三個互不相等的實數(shù)根?求出這三個實數(shù)根. 10.方程的解是 . 11.解方程得 . 12.方程的解是 . 13.若關于的方程恰有兩個不同的實數(shù)解,則實數(shù)的取值范圍是 . 14.解下列方程: (1); (2); (3); (4). 15.當取何值時,方程有負數(shù)解? 16.已知,求的值. 17.已知:如圖,四邊形ABCD為菱形,AF⊥上AD交BD于E點,交BC于點F. (1)求證:AD2= DEDB; (2)過點E作EG⊥AE交AB于點G,若線段BE、DE(BE- 配套講稿:
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