2019-2020年九年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座 第三講 活力的韋達(dá)定理.doc
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2019-2020年九年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座 第三講 活力的韋達(dá)定理 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,通常也稱為韋達(dá)定理,這是因?yàn)樵摱ɡ硎怯?6世紀(jì)法國最杰出的數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)的. 韋達(dá)定理簡單的形式中包含了豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容,應(yīng)用廣泛,主要體現(xiàn)在: 運(yùn)用韋達(dá)定理,求方程中參數(shù)的值; 運(yùn)用韋達(dá)定理,求代數(shù)式的值; 利用韋達(dá)定理并結(jié)合根的判別式,討論根的符號特征; 利用韋達(dá)定理逆定理,構(gòu)造一元二次方程輔助解題等. 韋達(dá)定理具有對稱性,設(shè)而不求、整體代入是利用韋達(dá)定理解題的基本思路. 韋達(dá)定理,充滿活力,它與代數(shù)、幾何中許多知識可有機(jī)結(jié)合,生成豐富多彩的數(shù)學(xué)問題,而解這類問題常用到對稱分析、構(gòu)造等數(shù)學(xué)思想方法. 【例題求解】 【例1】 已知、是方程的兩個實(shí)數(shù)根,則代數(shù)式的值為 . 思路點(diǎn)撥 所求代數(shù)式為、的非對稱式,通過根的定義、一元二次方程的變形轉(zhuǎn)化為(例 【例2】如果、都是質(zhì)數(shù),且,,那么的值為( ) A. B.或2 C. D.或2 思路點(diǎn)撥 可將兩個等式相減,得到、的關(guān)系,由于兩個等式結(jié)構(gòu)相同,可視、為方程的兩實(shí)根,這樣就為根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用創(chuàng)造了條件. 注:應(yīng)用韋達(dá)定理的代數(shù)式的值,一般是關(guān)于、的對稱式,這類問題可通過變形用+、表示求解,而非對稱式的求值常用到以下技巧: (1)恰當(dāng)組合; (2)根據(jù)根的定義降次; (3)構(gòu)造對稱式. 【例3】 已知關(guān)于的方程: (1)求證:無論m取什么實(shí)數(shù)值,這個方程總有兩個相異實(shí)根. (2)若這個方程的兩個實(shí)根、滿足,求m的值及相應(yīng)的、. 思路點(diǎn)撥 對于(2),先判定、的符號特征,并從分類討論入手. 【例4】 設(shè)、是方程的兩個實(shí)數(shù)根,當(dāng)m為何值時(shí),有最小值?并求出這個最小值. 思路點(diǎn)撥 利用根與系數(shù)關(guān)系把待求式用m的代數(shù)式表示,再從配方法入手,應(yīng)注意本例是在一定約束條件下(△≥0)進(jìn)行的. 注:應(yīng)用韋達(dá)定理的前提條件是一元二次方程有兩個實(shí)數(shù)根,即應(yīng)用韋達(dá)定理解題時(shí),須滿足判別式△≥0這一條件,轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,但要注意轉(zhuǎn)化前后問題的等價(jià)性. 【例5】 已知:四邊形ABCD中,AB∥CD,且AB、CD的長是關(guān)于的方程的兩個根. (1)當(dāng)m=2和m>2時(shí),四邊形ABCD分別是哪種四邊形?并說明理由. (2)若M、N分別是AD、BC的中點(diǎn),線段MN分別交AC、BD于點(diǎn)P,Q,PQ=1,且AB- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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