2019高中數(shù)學(xué) 第三章 直線與方程 3.1 直線的傾斜角與斜率(第1課時(shí))傾斜角與斜率講義(含解析)新人教A版必修2.doc
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第1課時(shí) 傾斜角與斜率 [核心必知] 1.預(yù)習(xí)教材,問題導(dǎo)入 根據(jù)以下提綱,預(yù)習(xí)教材P82~P86,回答下列問題: 在平面直角坐標(biāo)系中,直線l經(jīng)過點(diǎn)P. (1)直線l的位置能夠確定嗎? 提示:不能. (2)過點(diǎn)P可以作與l相交的直線多少條? 提示:無(wú)數(shù)條. (3)上述問題中的所有直線有什么區(qū)別? 提示:傾斜程度不同. 2.歸納總結(jié),核心必記 (1)直線的傾斜角 ①傾斜角的定義:當(dāng)直線l與x軸相交時(shí),取x軸作為基準(zhǔn),x軸正方向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角.如圖所示,直線l的傾斜角是∠APx,直線l′的傾斜角是∠BPx. ②傾斜角的范圍:直線的傾斜角α的取值范圍是0≤α<180,并規(guī)定與x軸平行或重合的直線的傾斜角為0. (2)直線的斜率 ①斜率的定義:一條直線的傾斜角α(α≠90)的正切值叫做這條直線的斜率.常用小寫字母k表示,即k=tan_α. ②斜率公式:經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k=.當(dāng)x1=x2時(shí),直線P1P2沒有斜率. ③斜率的作用:用實(shí)數(shù)反映了平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線的傾斜程度. [問題思考] (1)任何一條直線都有傾斜角嗎?不同的直線其傾斜角一定不相同嗎? 提示:由傾斜角的定義可以知道,任何一條直線都有傾斜角;不同的直線其傾斜角有可能相同,如平行的直線其傾斜角是相同的. (2)斜率與直線的傾斜程度有何對(duì)應(yīng)關(guān)系? 提示:①當(dāng)直線的斜率為正時(shí),直線從左下方向右上方傾斜(呈上升趨勢(shì)). ②當(dāng)直線的斜率為負(fù)時(shí),直線從左上方向右下方傾斜(呈下降趨勢(shì)). ③當(dāng)直線的斜率為0時(shí),直線與x軸平行或重合(呈水平狀態(tài)). [課前反思] 通過以上預(yù)習(xí),必須掌握的幾個(gè)知識(shí)點(diǎn). (1)直線的傾斜角是什么樣的角?怎樣理解? ?。? (2)直線的斜率是什么?如何理解? . 觀察下面圖形: [思考1] 上述圖形中各直線的傾斜角各是什么? 提示:上述圖形中直線的傾斜角為角α . [思考2] 直線傾斜角定義中包含哪幾類情況? 提示:包括鈍角、銳角、直角和零角. [思考3] 怎樣理解直線的傾斜角? 名師指津:(1)傾斜角定義中含有三個(gè)條件: ①x軸正向;②直線向上的方向;③小于180的非負(fù)角. (2)從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來(lái)看,直線的傾斜角是由x軸按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到與直線重合時(shí)所成的角. (3)傾斜角是一個(gè)幾何概念,它直觀地描述且表現(xiàn)了直線對(duì)x軸的傾斜程度. (4)平面直角坐標(biāo)系中的每一條直線都有一個(gè)確定的傾斜角,且傾斜程度相同的直線,其傾斜角相等;傾斜程度不同的直線,其傾斜角不相等. 講一講 1.設(shè)直線l過坐標(biāo)原點(diǎn),它的傾斜角為α,如果將l繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45,得到直線l1,那么l1的傾斜角為( ) A.α+45 B.α-135 C.135-α D.當(dāng)0≤α<135時(shí),傾斜角為α+45;當(dāng)135≤α<180時(shí),傾角為α-135 [嘗試解答] 根據(jù)題意,畫出圖形,如圖所示: 因?yàn)?≤α<180,顯然A,B,C未分類討論,均不全面,不合題意.通過畫圖(如圖所示)可知: 當(dāng)0≤α<135,l1的傾斜角為α+45; 當(dāng)135≤α<180時(shí),l1的傾斜角為45+α-180=α-135.故選D. [答案] D 求直線的傾斜角的方法及兩點(diǎn)注意 (1)方法:結(jié)合圖形,利用特殊三角形(如直角三角形)求角. (2)兩點(diǎn)注意:①當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí),傾斜角為0,當(dāng)直線與x軸垂直時(shí),傾斜角為90. ②注意直線傾斜角的取值范圍是0≤α<180. 練一練 1.一條直線l與x軸相交,其向上的方向與y軸正方向所成的角為α(0<α<90),則其傾斜角為( ) A.α B.180-α C.180-α或90-α D.90+α或90-α 解析:選D 如圖,當(dāng)l向上方向的部分在y軸左側(cè)時(shí),傾斜角為90+α;當(dāng)l向上方向的部分在y軸右側(cè)時(shí),傾斜角為90-α.故選D. 觀察下面圖形: 日常生活中,常用坡度表示傾斜程度,例如,“進(jìn)2升3”與“進(jìn)2升2”比較,前者更陡一些,因?yàn)槠露龋? [思考1] 對(duì)于直線可利用傾斜角描述傾斜程度,可否借助于坡度來(lái)描述直線的傾斜程度? 提示:可以. [思考2] 通過比較,你會(huì)發(fā)現(xiàn)它與傾斜角有何關(guān)系? 提示:與傾斜角的正切值相等. [思考3] 傾斜角α與斜率k有什么關(guān)系? 名師指津:直線的傾斜角和斜率的關(guān)系: (1)直線都有傾斜角,但并不是所有的直線都有斜率.當(dāng)傾斜角是90時(shí).直線的斜率不存在,此時(shí),直線垂直于x軸(平行于y軸或與y軸重合). (2)直線的斜率也反映了直線相對(duì)于x軸的正方向的傾斜程度.當(dāng)0≤α<90時(shí),斜率越大,直線的傾斜程度越大;當(dāng)90<α<180時(shí),斜率越大,直線的傾斜程度也越大. 講一講 2.(1)如圖,直線l1的傾斜角α1=30,直線l1⊥l2,求l1、l2的斜率; (2)求經(jīng)過兩點(diǎn)A(a,2),B(3,6)的直線的斜率. [嘗試解答] (1)l1的斜率k1=tan α1=tan 30=. ∵l2的傾斜角α2=90+30=120,∴l(xiāng)2的斜率k2=tan 120=tan(180-60)=-tan 60=-. (2)當(dāng)a=3時(shí),斜率不存在; 當(dāng)a≠3時(shí),直線的斜率k=. 求直線斜率的兩種類型 一種是已知傾斜角求直線的斜率,注意傾斜角為90的情況;另一種是已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)求直線的斜率,注意斜率不存在的情況. 練一練 2.(1)已知過兩點(diǎn)A(4,y),B(2,-3)的直線的傾斜角為135,則y=________; (2)過點(diǎn)P(-2,m),Q(m,4)的直線的斜率為1,則m的值為________. 解析:(1)直線AB的斜率k=tan 135=-1,又k=,由=-1,得y=-5. (2)由斜率公式k==1,得m=1. 答案:(1)-5 (2)1 講一講 3.已知兩點(diǎn)A(-3,4),B(3,2),過點(diǎn)P(1,0)的直線l與線段AB有公共點(diǎn).(鏈接教材P85—例1) (1)求直線l的斜率k的取值范圍; (2)求直線l的傾斜角α的取值范圍. [思路點(diǎn)撥] 結(jié)合圖形考慮,l的傾斜角應(yīng)介于直線PB與直線PA的傾斜角之間,要特別注意,當(dāng)l的傾斜角小于90時(shí),有k≥kPB;當(dāng)l的傾斜角大于90時(shí),則有k≤kPA. [嘗試解答] 如圖,由題意可知kPA==-1,kPB==1, (1)要使l與線段AB有公共點(diǎn),則直線l的斜率k的取值范圍是(-∞,-1]∪[1,+∞). (2)由題意可知直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間,又PB的傾斜角是45,PA的傾斜角是135,∴α的取值范圍是45≤α≤135. (1)由傾斜角(或范圍)求斜率(或范圍)利用定義式k=tan α(α≠90)解決. (2)由兩點(diǎn)坐標(biāo)求斜率運(yùn)用兩點(diǎn)斜率公式k=(x1≠x2)求解. (3)涉及直線與線段有交點(diǎn)問題常數(shù)形結(jié)合利用公式求解. 練一練 3.已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2), (1)求直線AB和AC的斜率. (2)若點(diǎn)D在線段BC(包括端點(diǎn))上移動(dòng)時(shí),求直線AD的斜率的變化范圍. 解:(1)由斜率公式可得直線AB的斜率kAB==.直線AC的斜率kAC==.故直線AB的斜率為,直線AC的斜率為. (2)如圖所示,當(dāng)D由B運(yùn)動(dòng)到C時(shí),直線AD的斜率由kAB增大到kAC,所以直線AD的斜率的變化范圍是. —————————[課堂歸納感悟提升]———————————— 1.本節(jié)課的重點(diǎn)是理解直線的傾斜角與斜率的概念,掌握過兩點(diǎn)的直線的斜率公式,難點(diǎn)是掌握傾斜角與斜率的對(duì)應(yīng)關(guān)系. 2.本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法 (1)求直線傾斜角的方法,見講1. (2)求直線斜率的方法,見講2. (3)直線的傾斜角和斜率之間的關(guān)系,見講3. 3.本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)是對(duì)直線傾斜角和斜率之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系理解不夠透徹而致錯(cuò),如講3. 課下能力提升(十五) [學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練] 題組1 直線的傾斜角 1.給出下列說(shuō)法,正確的個(gè)數(shù)是( ) ①若兩直線的傾斜角相等,則它們的斜率也一定相等; ②一條直線的傾斜角為-30; ③傾斜角為0的直線只有一條; ④直線的傾斜角α的集合{α|0≤α<180}與直線集合建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系. A.0 B.1 C.2 D.3 解析:選A 若兩直線的傾斜角為90,則它們的斜率不存在,①錯(cuò);直線傾斜角的取值范圍是[0,180),②錯(cuò);所有垂直于y軸的直線傾斜角均為0,③錯(cuò);不同的直線可以有相同的傾斜角,④錯(cuò). 2.(2016達(dá)州高一檢測(cè))直線l經(jīng)過第二、四象限,則直線l的傾斜角范圍是( ) A.0≤α<90 B.90≤α<180 C.90<α<180 D.0<α<180 解析:選C 直線傾斜角的取值范圍是0≤α<180,又直線l經(jīng)過第二、四象限,所以直線l的傾斜角范圍是90<α<180. 題組2 直線的斜率 3.已知經(jīng)過兩點(diǎn)(5,m)和(m,8)的直線的斜率等于1,則m的值是( ) A.5 B.8 C. D.7 解析:選C 由斜率公式可得=1,解得m=. 4.已知三點(diǎn)A(a,2),B(3,7),C(-2,-9a)在同一條直線上,實(shí)數(shù)a的值為________. 解析:∵A、B、C三點(diǎn)共線,∴kAB=kBC,即=,∴a=2或. 答案:2或 5.已知A(m,-m+3),B(2,m-1),C(-1,4),直線AC的斜率等于直線BC的斜率的3倍,求m的值. 解:由題意直線AC的斜率存在,即m≠-1. ∴kAC=,kBC=. ∴=3. 整理得:-m-1=(m-5)(m+1), 即(m+1)(m-4)=0, ∴m=4或m=-1(舍去). ∴m=4. 題組3 直線斜率的應(yīng)用 6.若A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等,則直線AB的傾斜角和斜率分別是( ) A.45,1 B.135,-1 C.90,不存在 D.180,不存在 解析:選C 由于A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等,所以直線與x軸垂直,傾斜角為90,斜率不存在.故選C. 7.已知直線l的傾斜角為30,則直線l的斜率為( ) A. B. C.1 D. 解析:選A 由題意可知,k=tan 30=. 8.(2016河南平頂山高一調(diào)研)若直線過點(diǎn) (1,2),(4,2+),則此直線的傾斜角是( ) A.30 B.45 C.60 D.90 解析:選A 設(shè)直線的傾斜角為α,直線斜率k==,∴tan α=.又∵0≤α<180,∴α=30. 9.已知直線l過點(diǎn)A(1,2),B(m,3),求直線l的斜率和傾斜角的取值范圍. 解:設(shè)l的斜率為k,傾斜角為α. 當(dāng)m=1時(shí),斜率k不存在,α=90. 當(dāng)m≠1時(shí),k==, 當(dāng)m>1時(shí),k=>0,此時(shí)α為銳角,0<α<90; 當(dāng)m<1時(shí),k=<0,此時(shí)α為鈍角,90<α<180. 所以α∈(0,180),k∈(-∞,0)∪(0,+∞). [能力提升綜合練] 1.下列說(shuō)法中,正確的是( ) A.直線的傾斜角為α,則此直線的斜率為tan α B.直線的斜率為tan α,則此直線的傾斜角為α C.若直線的傾斜角為α,則sin α>0 D.任意直線都有傾斜角α,且α≠90時(shí),斜率為tan α 解析:選D 對(duì)于A,當(dāng)α=90時(shí),直線的斜率不存在,故不正確;對(duì)于B,雖然直線的斜率為tan α,但只有0≤α<180時(shí),α才是此直線的傾斜角,故不正確;對(duì)于C,當(dāng)直線平行于x軸時(shí),α=0,sin α=0,故C不正確,故選D. 2.如圖,設(shè)直線l1,l2,l3的斜率分別為k1,k2,k3,則k1,k2,k3的大小關(guān)系為( ) A.k1<k2<k3 B.k1<k3<k2 C.k2<k1<k3 D.k3<k2<k1 解析:選A 根據(jù)“斜率越大,直線的傾斜程度越大”可知選項(xiàng)A正確. 3.(2016株洲高一檢測(cè))過兩點(diǎn)A(4,y),B(2,-3)的直線的傾斜角為45,則y=( ) A.- B. C.-1 D.1 解析:選C tan 45=kAB=,即=1,所以y=-1. 4.如果直線l過點(diǎn)(1,2),且不通過第四象限,那么l的斜率的取值范圍是( ) A.[0,1] B.[0,2] C. D.(0,3] 解析:選B 過點(diǎn)(1,2)的斜率為非負(fù)且最大斜率為此點(diǎn)與原點(diǎn)的連線斜率時(shí),圖象不過第四象限. 5.已知A(-1,2),B(3,2),若直線AP與直線BP的斜率分別為2和-2,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________. 解析:設(shè)點(diǎn)P(x,y),則有=2,且=-2,解得x=1,y=6,即點(diǎn)P的坐標(biāo)是(1,6). 答案:(1,6) 6.(2016合肥高一檢測(cè))若經(jīng)過點(diǎn)P(1-a,1+a)和Q(3,2a)的直線的傾斜角為鈍角,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________. 解析:∵k=且直線的傾斜角為鈍角,∴<0,解得-2- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問題本站不予受理。
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