八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第13章 軸對(duì)稱 13.3 等腰三角形 13.3.2 等邊三角形同步練習(xí) 新人教版.doc

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13.3.2 等邊三角形 學(xué)校：___________姓名：___________班級(jí)：___________ 一．選擇題（共12小題） 1．如圖，△AOB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是（　?。? A．（，） B．（，﹣1） C．（﹣1，） D．（，﹣1） 2．平面上，若點(diǎn)P與A、B、C三點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)均構(gòu)成等腰三角形，則稱點(diǎn)P是A、B、C三點(diǎn)的巧妙點(diǎn)．若A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成三角形，也稱點(diǎn)P是△ABC的巧妙點(diǎn)．則平面上等邊△ABC的巧妙點(diǎn)有（　?。﹤€(gè)． A．7 B．8 C．9 D．10 3．在△ABC中，AB=BC=AC=6，則△ABC的面積為（　?。? A．9 B．18 C．9 D．18 4．下列幾種三角形：①有一個(gè)角為60的等腰三角形；②三個(gè)外角都相等的三角形；③一邊上的高也是這邊上的中線的三角形；④有一外角為120的等腰三角形．其中是等邊三角形的有（　?。? A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè) 5．等腰△ABC的頂角A為120，過底邊上一點(diǎn)D作底邊BC的垂線交AC于E，交BA的延長(zhǎng)線于F，則△AEF是（　?。? A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰但非等邊三角形 6．如圖，E是等邊△ABC中AC邊上的點(diǎn)，∠1=∠2，BE=CD，則△ADE的形狀是（　　） A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．不等邊三角形 D．不能確定形狀 7．下面給出幾種三角形：（1）有兩個(gè)角為60的三角形；（2）三個(gè)外角都相等的三角形；（3）一邊上的高也是這邊上的中線的三角形；（4）有一個(gè)角為60的等腰三角形，其中是等邊三角形的個(gè)數(shù)是（　?。? A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè) 8．在下列結(jié)論中： （1）有一個(gè)外角是120的等腰三角形是等邊三角形； （2）有兩個(gè)外角相等的等腰三角形是等邊三角形； （3）有一邊上的高也是這邊上的中線的等腰三角形是等邊三角形； （4）三個(gè)外角都相等的三角形是等邊三角形． 其中正確的個(gè)數(shù)是（　　） A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè) 9．已知：在△ABC中，∠A=60，如要判定△ABC是等邊三角形，還需添加一個(gè)條件．現(xiàn)有下面三種說法： ①如果添加條件“AB=AC”，那么△ABC是等邊三角形； ②如果添加條件“∠B=∠C”，那么△ABC是等邊三角形； ③如果添加條件“邊AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等邊三角形． 上述說法中，正確的有（　?。? A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè) 10．如圖，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC內(nèi)的兩點(diǎn)，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60．若BE=6cm，DE=2cm，則BC的長(zhǎng)為（　　） A．4cm B．6cm C．8cm D．12cm 11．如圖，在四邊形ABCD中，AB=AC，∠ABD=60，∠ADB=78，∠BDC=24，則∠DBC=（　　） A．18 B．20 C．25 D．15 12．在下列結(jié)論中： ①有一個(gè)外角是120的等腰三角形是等邊三角形； ②有兩個(gè)外角相等的等腰三角形是等邊三角形； ③有一邊上的高也是這邊上的中線的等腰三角形是等邊三角形； ④有一個(gè)角是60，且是軸對(duì)稱的三角形是等邊三角形． 其中正確的個(gè)數(shù)是（　　） A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè) 　 二．填空題（共8小題） 13．如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，則∠BAD=　 ?。? 14．將數(shù)軸按如圖所示從某一點(diǎn)開始折出一個(gè)等邊三角形ABC，設(shè)點(diǎn)A表示的數(shù)為x﹣3，點(diǎn)B表示的數(shù)為2x+1，點(diǎn)C表示的數(shù)為﹣4，若將△ABC向右滾動(dòng)，則x的值等于　 　，數(shù)字xx對(duì)應(yīng)的點(diǎn)將與△ABC的頂點(diǎn)　 　重合． 15．如圖，∠MON=30，點(diǎn)A1，A2，A3，…在射線ON上，點(diǎn)B1，B2，B3，…在射線OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均為等邊三角形．若OA1=1，則△AnBnAn+1的邊長(zhǎng)為　 ?。? 16．下列三角形：（1）有兩個(gè)角等于60；（2）有一個(gè)角等于60的等腰三角形；（3）三個(gè)外角都相等的三角形；（4）一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形，其中是等邊三角形的有　 ?。? 17．在直角坐標(biāo)系中，已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（0，），B（﹣1，0），C（1，0）． （1）△ABC為　 　三角形． （2）若△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)分別加3，則所得的圖形與原來的三角形相比，主要的變化是　 ?。? 18．如果三角形的三邊a、b、c適合（a2﹣2ac）（b﹣a）=c2（a﹣b），則a、b、c之間滿足的關(guān)系是　 　；有同學(xué)分析后判斷△ABC是等邊三角形，你的判斷是　 ?。? 19．如圖，AB=AC，DB=DC，若∠ABC為60，BE=3cm，則AB=　 　cm． 20．如圖是兩塊完全一樣的含30角的直角三角板，將它們重疊在一起并繞其較長(zhǎng)直角邊的中點(diǎn)M轉(zhuǎn)動(dòng)，使上面一塊三角板的斜邊剛好過下面一塊三角板的直角頂點(diǎn)C．已知AC=5，則這塊直角三角板頂點(diǎn)A、A′之間的距離等于　 ?。? 　 三．解答題（共5小題） 21．已知：在△ABC中，AB=AC，∠A=60，求：∠B、∠C的度數(shù)，△ABC是什么三角形？ 22．如圖，在等邊△ABC中，AC=6，點(diǎn)O在AC上，且AO=2，點(diǎn)P是AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接OP，將線段OP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到線段OD．要使點(diǎn)D恰好落在BC上，則AP的長(zhǎng)是多少？ 23．如圖，在△ABC中，∠BAC=90，BE平分∠ABC，AM⊥BC于點(diǎn)M，交BE于點(diǎn)G，AD平分∠MAC，交BC于點(diǎn)D，交BE于點(diǎn)F． （1）判斷直線BE與線段AD之間的關(guān)系，并說明理由； （2）若∠C=30，圖中是否存在等邊三角形？若存在，請(qǐng)寫出來并證明；若不存在，請(qǐng)說明理由． 24．如圖一，AB=AC，BD、CD分別平分∠ABC和∠ACB．問：（答題時(shí)，注意書寫整潔） （1）圖一中有幾個(gè)等腰三角形？（寫出來，不需要證明） （2）過D點(diǎn)作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，如圖二，圖中現(xiàn)在增加了幾個(gè)等腰三角形，選一個(gè)進(jìn)行證明． （3）如圖三，若將題中的△ABC改為不等邊三角形，其他條件不變，圖中有幾個(gè)等腰三角形？（寫出來，不需要證明）線段EF與BE、CF有什么關(guān)系，并證明． 25．如圖，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，現(xiàn)有兩點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M的速度為1cm/s，點(diǎn)N的速度為2cm/s．當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)． （1）點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)幾秒后，M、N兩點(diǎn)重合？ （2）點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)幾秒后，可得到等邊三角形△AMN？ （3）當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能否得到以MN為底邊的等腰三角形AMN？如存在，請(qǐng)求出此時(shí)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間． 　 參考答案與試題解析 　 一．選擇題（共12小題） 1． 解：如圖，過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E， ∵△AOB是等邊三角形， ∴AE⊥OB，∠OAE=30， ∴OE=OA=1，AE=． ∵點(diǎn)A位于第二象限， ∴（﹣1，）． 故選：C． 　 2． 解：（1）點(diǎn)P在三角形內(nèi)部時(shí)，點(diǎn)P是邊AB、BC、CA的垂直平分線的交點(diǎn)，是三角形的外心， （2）點(diǎn)P在三角形外部時(shí)，一個(gè)對(duì)稱軸上有三個(gè)點(diǎn)，如圖： 共有9個(gè)點(diǎn)符合要求， ∴具有這種性質(zhì)的點(diǎn)P共有10個(gè)． 故選：D． 　 3． 解：如圖，作AD⊥BC于D， ∵AB=BC=AC=6， ∵AD為BC邊上的高，則D為BC的中點(diǎn)， ∴BD=DC=3， ∴AD=， ∴等邊△ABC的面積=BC?AD=63=9． 故選：C． 　 4． 解：因?yàn)橛腥嵌际?0，或有三邊相等的三角形是等邊三角形， 那么可由①，②，④推出等邊三角形， 而③只能得出這個(gè)三角形是等腰三角形． 故選：B． 　 5． 解：如圖，∵AB=AC， ∴∠B=∠C． ∵∠AEF=∠DEC=90﹣∠C， ∠F=90﹣∠B， ∴∠AEF=∠F． 又∠A=120， ∴∠FAE=60． ∴△AEF是等邊三角形． 故選：A． 　 6． 解：∵△ABC為等邊三角形 ∴AB=AC ∵∠1=∠2，BE=CD ∴△ABE≌△ACD ∴AE=AD，∠BAE=∠CAD=60 ∴△ADE是等邊三角形． 故選：B． 　 7． 解：有三角都是60，或有三邊相等的三角形是等邊三角形， 那么可由（1），（2），（4）推出等邊三角形， 而（3）只能得出這個(gè)三角形是等腰三角形． 故選：B． 　 8． 解：（1）：因?yàn)橥饨呛团c其對(duì)應(yīng)的內(nèi)角的和是180，已知有一個(gè)外角是120，即是有一個(gè)內(nèi)角是60，有一個(gè)內(nèi)角為60的等腰三角形是等邊三角形．該結(jié)論正確． （2）：兩個(gè)外角相等說明該三角形中兩個(gè)內(nèi)角相等，而等腰三角形的兩個(gè)底角是相等的，故不能確定該三角形是等邊三角形．該結(jié)論錯(cuò)誤． （3）：等腰三角形的底邊上的高和中線本來就是重合的，“有一邊”可能是底邊，故不能保證該三角形是等邊三角形．該結(jié)論錯(cuò)誤． （4）若每一個(gè)角各取一個(gè)外角，則所有內(nèi)角相等，即三角形是等邊三角形；若一個(gè)頂點(diǎn)取2個(gè)的話，就不成立，該結(jié)論錯(cuò)誤． 故選：D． 　 9． 解：①若添加的條件為AB=AC，由∠A=60， 利用有一個(gè)角為60的等腰三角形為等邊三角形可得出△ABC為等邊三角形； ②若添加條件為∠B=∠C， 又∵∠A=60， ∴∠B=∠C=60， ∴∠A=∠B=∠C， 則△ABC為等邊三角形； ③若添加的條件為邊AB、BC上的高相等，如圖所示： 已知：∠BAC=60，AE⊥BC，CD⊥AB，且AE=CD， 求證：△ABC為等邊三角形． 證明：∵AE⊥BC，CD⊥AB， ∴∠ADC=∠AEC=90， 在Rt△ADC和Rt△CEA中， ， ∴Rt△ADC≌Rt△CEA（HL）， ∴∠ACE=∠BAC=60， ∴∠BAC=∠B=∠ACB=60， ∴AB=AC=BC，即△ABC為等邊三角形， 綜上，正確的說法有3個(gè)． 故選：A． 　 10． 解：延長(zhǎng)ED交BC于M，延長(zhǎng)AD交BC于N， ∵AB=AC，AD平分∠BAC， ∴AN⊥BC，BN=CN， ∵∠EBC=∠E=60， ∴△BEM為等邊三角形， ∴△EFD為等邊三角形， ∵BE=6cm，DE=2cm， ∴DM=4cm， ∵△BEM為等邊三角形， ∴∠EMB=60， ∵AN⊥BC， ∴∠DNM=90， ∴∠NDM=30， ∴NM=2cm， ∴BN=4cm， ∴BC=2BN=8cm． 故選：C． 　 11． 解：如圖延長(zhǎng)BD到M使得DM=DC， ∵∠ADB=78， ∴∠ADM=180﹣∠ADB=102， ∵∠ADB=78，∠BDC=24， ∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=102， ∴∠ADM=∠ADC， 在△ADM和△ADC中， ， ∴△ADM≌△ADC， ∴AM=AC=AB， ∵∠ABD=60， ∴△AMB是等邊三角形， ∴∠M=∠DCA=60， ∵∠DOC=∠AOB，∠DCO=∠ABO=60， ∴∠BAO=∠ODC=24， ∵∠CAB+∠ABC+∠ACB=180， ∴24+2（60+∠CBD）=180， ∴∠CBD=18， 故選：A． 　 12． 解：①有一個(gè)外角是120的等腰三角形是等邊三角形，正確； ②有兩個(gè)外角相等的等腰三角形不一定是等邊三角形，錯(cuò)誤； ③有一邊上的高也是這邊上的中線的等腰三角形不一定是等邊三角形，錯(cuò)誤； ④有一個(gè)角是60，且是軸對(duì)稱的三角形是等邊三角形，正確． 故選：C． 　 二．填空題（共8小題） 13． 解：∵△ABC是等邊三角形， ∴∠BAC=60，AB=AC． 又點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)， ∴∠BAD=∠BAC=30． 故答案是：30． 　 14． 解：∵將數(shù)軸按如圖所示從某一點(diǎn)開始折出一個(gè)等邊三角形ABC，設(shè)點(diǎn)A表示的數(shù)為x﹣3，點(diǎn)B表示的數(shù)為2x+1，點(diǎn)C表示的數(shù)為﹣4， ∴﹣4﹣（2x+1）=2x+1﹣（x﹣3）； ∴﹣3x=9， x=﹣3． 故A表示的數(shù)為：x﹣3=﹣3﹣3=﹣6， 點(diǎn)B表示的數(shù)為：2x+1=2（﹣3）+1=﹣5， 即等邊三角形ABC邊長(zhǎng)為1， 數(shù)字xx對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與﹣4的距離為：xx+4=xx， ∵xx3=672，C從出發(fā)到xx點(diǎn)滾動(dòng)672周， ∴數(shù)字xx對(duì)應(yīng)的點(diǎn)將與△ABC的頂點(diǎn)C重合． 故答案為：﹣3，C． 　 15． 解：∵△A1B1A2是等邊三角形， ∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60， ∴∠2=120， ∵∠MON=30， ∴∠1=180﹣120﹣30=30， 又∵∠3=60， ∴∠5=180﹣60﹣30=90， ∵∠MON=∠1=30， ∴OA1=A1B1=1， ∴A2B1=1， ∵△A2B2A3、△A3B3A4是等邊三角形， ∴∠11=∠10=60，∠13=60， ∵∠4=∠12=60， ∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3， ∴∠1=∠6=∠7=30，∠5=∠8=90， ∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3， ∴A3B3=4B1A2=4， A4B4=8B1A2=8， A5B5=16B1A2=16， 以此類推：△AnBnAn+1的邊長(zhǎng)為 2n﹣1． 故答案是：2n﹣1． 　 16． 解： （1）根據(jù)已知求出∠A=∠B=∠C，所以△ABC是等邊三角形； （2）有一個(gè)角為60的等腰三角形是等邊三角形； （3）由三個(gè)外角都相等，得出三角形的三個(gè)內(nèi)角也相等，根據(jù)三角都相等的三角形是等邊三角形；所以是等邊三角形； （4）、 ∵AD=DC，BD⊥AC， ∴AB=BC， ∵AB=AC， ∴AB=AC=BC， ∴△ABC是等邊三角形； 故答案為（1）（2）（3）（4）． 　 17． 解：（1）如圖， 由題中條件可得，BC=2，OA=，OB=OC=1， ∴AB=AC=2=BC， ∴△ABC是等邊三角形； （2）如上圖，若將△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)分別加3， 則所得的圖形與原來的三角形全等，只不過相當(dāng)于將△ABC向右平移3． 　 18． 解：∵（a2﹣2ac）（b﹣a）=c2（a﹣b）， ∴a≠b， ∴a2﹣2ac=﹣c2， ∴（a﹣c）2=0， ∴a=c， ∴△ABC是等腰三角形， ∴a、b、c之間滿足的關(guān)系是a=c≠b， 故答案為：a=c≠b，△ABC是等腰三角形． 　 19． 解：在△ABD和△ACD中， ∴△ABD≌△ACD． ∴∠BAD=∠CAD． 又∵AB=AC， ∴BE=EC=3cm． ∴BC=6cm． ∵AB=AC，∠BAC=60， ∴△ABC為等邊三角形． ∴AB=6cm． 故答案為：6． 　 20． 解：連接AA′， ∵點(diǎn)M是線段AC、線段A′C′的中點(diǎn)，AC=5， ∴AM=MC=A′M=MC′=2.5， ∵∠MA′C=30， ∴∠MCA′=∠MA′C=30， ∴∠MCB′=180﹣30=150， ∴∠C′MC=360﹣（∠MCB′+∠B′+∠C′）=360﹣（150+60+90）=60， ∴∠AMA′=∠C′MC=60， ∴△AA′M是等邊三角形， ∴AA′=AM=2.5． 故答案為：2.5． 　 三．解答題（共5小題） 21． 解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=60， ∴△ABC是等邊三角形， ∴∠B=∠C=60． 　 22． 解：連接DP， ∵∠DOP=60，OD=OP， ∴△ODP是等邊三角形， ∴∠OPD=60，PO=PD， ∵等邊三角形ABC， ∴∠A=∠B=60， ∴∠AOP+∠OPA=120，∠OPA+∠DPB=120， ∴∠AOP=∠DPB， 在△AOP和△BPD中 ， ∴△AOP≌△BPD， ∴AO=BP=2， ∴AP=AB﹣AP=6﹣2=4 　 23． 解：（1）BE垂直平分AD，理由： ∵AM⊥BC， ∴∠ABC+∠5=90， ∵∠BAC=90， ∴∠ABC+∠C=90， ∴∠5=∠C； ∵AD平分∠MAC， ∴∠3=∠4， ∵∠BAD=∠5+∠3，∠ADB=∠C+∠4，∠5=∠C， ∴∠BAD=∠ADB， ∴△BAD是等腰三角形， 又∵∠1=∠2， ∴BE垂直平分AD． （2）△ABD是等邊三角形．理由： ∵∠5=∠C=30，AM⊥BC， ∴∠ABD=60， ∵∠BAC=90， ∴∠CAM=60， ∵AD平分∠CAM， ∴∠4=∠CAM=30， ∴∠ADB=∠3+∠C=60， ∴∠BAD=60， ∴∠ABD=∠BDA=∠BAD， ∴△ABD是等邊三角形． 　 24． 解：（1）①∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵BD、CD分別是角平分線， ∴∠DBC=∠ABC=∠ACB=∠DCB， ∴DB=DC， ∴△BDC是等腰三角形， 即在圖1中共有兩個(gè)等腰三角形； ②∵EF∥BC， ∴∠EDB=∠DBC， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBE=∠DBC， ∴∠DBE=∠EDB， ∴EB=ED， ∴△EBD為等腰三角形，同理△FDC為等腰三角形， ∵EF∥BC， ∴∠AEF=∠AFE， ∵AB=AC， ∴△AEF為等腰三角形， 即在圖2中增加了三個(gè)等腰三角形； （2）同②可證明得△EBD為等腰三角形，△FDC為等腰三角形， 所以EF=BE+CF， 即只有兩個(gè)等腰三角形． 　 25． 解：（1）設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)x秒后，M、N兩點(diǎn)重合， x1+12=2x， 解得：x=12； （2）設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)t秒后，可得到等邊三角形△AMN，如圖①， AM=t1=t，AN=AB﹣BN=12﹣2t， ∵三角形△AMN是等邊三角形， ∴t=12﹣2t， 解得t=4， ∴點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)4秒后，可得到等邊三角形△AMN． （3）當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以得到以MN為底邊的等腰三角形， 由（1）知12秒時(shí)M、N兩點(diǎn)重合，恰好在C處， 如圖②，假設(shè)△AMN是等腰三角形， ∴AN=AM， ∴∠AMN=∠ANM， ∴∠AMC=∠ANB， ∵AB=BC=AC， ∴△ACB是等邊三角形， ∴∠C=∠B， 在△ACM和△ABN中， ∵， ∴△ACM≌△ABN， ∴CM=BN， 設(shè)當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間y秒時(shí)，△AMN是等腰三角形， ∴CM=y﹣12，NB=36﹣2y，CM=NB， y﹣12=36﹣2y， 解得：y=16．故假設(shè)成立． ∴當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能得到以MN為底邊的等腰三角形AMN，此時(shí)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為16秒．