2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點聚焦與擴展 專題25 平面向量的模長問題.doc

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專題25 平面向量的模長問題 【熱點聚焦與擴展】 平面向量中涉及模長的問題，常用解法是將模長進行平方，利用向量數(shù)量積的知識進行解答；另外，向量是一個工具型的知識，具備代數(shù)和幾何特征，因此，解答這類問題時可以利用數(shù)形結(jié)合的思想，利用代數(shù)和幾何特征，會加快解題速度. 本專題擬通過典型例題，介紹代數(shù)法和幾何法兩種思路，以期對大家有所啟發(fā). （一）代數(shù)法 利用代數(shù)方法處理向量的模長問題，主要采取模長平方——數(shù)量積和坐標(biāo)兩種方式 1、模長平方：通過可得：，將模長問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量積問題，從而能夠與條件中的已知向量（已知模長，夾角的基向量）找到聯(lián)系.要注意計算完向量數(shù)量積后別忘記開方 2、坐標(biāo)運算：若，則.某些題目如果能把幾何圖形放入坐標(biāo)系中，則只要確定所求向量的坐標(biāo)，即可求出（或表示）出模長 3、有關(guān)模長的不等問題：通?？紤]利用“模長平方”或“坐標(biāo)化”得到模長與某個變量間的函數(shù)關(guān)系，從而將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題 （二）幾何法 1、向量和差的幾何意義：已知向量，則有： （1）若共起點，則利用平行四邊形法則求，可得是以為鄰邊的平行四邊形的對角線 （2）若首尾相接，則利用三角形法則求出，可得，圍成一個三角形 2、向量數(shù)乘的幾何意義：對于 （1）共線（平行）特點：與為共線向量，其中時，與同向；時，與反向 （2）模長關(guān)系： 3、與向量模長問題相關(guān)的定理： （1）三角形中的相關(guān)定理：設(shè)三個內(nèi)角所對的邊為 ① 正弦定理： ② 余弦定理： （2）菱形：對角線垂直平分，且為內(nèi)角的角平分線 特別的，對于底角的菱形，其中一條對角線將此菱形分割為兩個全等的等邊三角形. （3）矩形：若四邊形的平行四邊形，則對角線相等是該四邊形為矩形的充要條件 4、利用幾何法求模長的條件：條件中的向量運算可構(gòu)成特殊的幾何圖形，且所求向量與幾何圖形中的某條線段相關(guān)，則可考慮利用條件中的幾何知識處理模長 【經(jīng)典例題】 例1.【浙江省部分市學(xué)校（新昌一中、臺州中學(xué)等）2018屆高三上學(xué)期9+1聯(lián)考】如圖，點在以為直徑的圓上，其中，過向點處的切線作垂線，垂足為，則的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】連結(jié)，則 ∵ ∴ ∴的最大值為1 故選B 點睛：（1）向量的運算將向量與代數(shù)有機結(jié)合起來，這就為向量和函數(shù)的結(jié)合提供了前提，運用向量的有關(guān)知識可以解決某些函數(shù)問題；（2）以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類綜合問題；（3）向量的兩個作用：①載體作用：關(guān)鍵是利用向量的意義、作用脫去“向量外衣”，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)學(xué)問題；②工具作用：利用向量可解決一些垂直、平行、夾角與距離問題. 例2.已知向量的夾角為，且，則（ ） A. B. C. D. 【答案】 【解析】思路：本題利用幾何圖形可解，運用向量加減運算作出如下圖形：可知，只需利用余弦定理求出 即可. 解1：如圖可得：，在中，有： 例3. 已知向量，且，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】 解2： 因為 即 例4.【2018屆浙江省杭州市高三第二次檢測】記M的最大值和最小值分別為Mmax和Mmin.若平面向量a.b.c滿足a=b=a?b=c ?(a+2b-2c)=2則（ ） A. a-cmax=3+72 B. a+cmax=3-72 C. a-cmin=3+72 D. a+cmin=3-72 【答案】A 【解析】由已知可得：a?b=a?bcosθ=2 cosθ=12，θ=π3 建立平面直角坐標(biāo)系，a=OA=2，0，b=OB=1，2，c=OC=x，y c?a+2b-2c=2 可得：x，y4-2x，23-2y=2 4x-2x2+23y-2y2=2 點睛：本題主要考查的知識點是向量的數(shù)量積及模的關(guān)系.通過建立平面直角坐標(biāo)系將其轉(zhuǎn)化為點與圓的位置關(guān)系，就可以求出距離的最值，解答本題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化，理解并掌握本題的解題方法.有一定的難度. 例5.【2018屆北京市城六區(qū)高三一?！恳阎cM在圓C1： (x-1)2+(y-1)2=1上，點在圓C2： (x+1)2+(y+1)2=1上，則下列說法錯誤的是 A. OMON的取值范圍為[-3-22,0] B. |OM+ON|取值范圍為[0,22] C. |OM-ON|的取值范圍為[22-2,22+2] D. 若OM=λON，則實數(shù)λ的取值范圍為[-3-22,-3+22] 【答案】B 【解析】∵M在圓C1上，點N在圓C2上， ∴∠MON≥90， ∴OM?ON≤0， 又OM≤2+1，ON≤2+1， ∴當(dāng)OM=2+1，ON=2+1時， OM?ON取得最小值（2+1）2cosπ=﹣3﹣22，故A正確； 設(shè)M（1+cosα，1+sinα）， N（﹣1+cosβ，﹣1+sinβ）， 則OM+ON=（cosα+cosβ，sinα+sinβ）， ∴|OM+ON|2=2cosαcosβ+2sinαsinβ+2=2cos（α﹣β）+2， ∴0≤|OM+ON|≤2，故B錯誤； 故選B． 例6.【2017浙江，15】已知向量a，b滿足則的最小值是________，最大值是_______． 【答案】4， 【解析】 【名師點睛】本題通過設(shè)入向量的夾角，結(jié)合模長公式， 解得，再利用三角有界性求出最大、最小值，屬中檔題，對學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和最值處理能力有一定的要求． 例7.【2017課標(biāo)1，理13】已知向量a，b的夾角為60，|a|=2，|b|=1，則| a +2 b |= . 【答案】 【解析】 試題分析： 所以. 秒殺解析：利用如下圖形，可以判斷出的模長是以2為邊長的菱形對角線的長度，則為. 例8.【2018屆山西省孝義市高三下學(xué)期一?！恳阎蛄縜與b的夾角是5π6，且a=a+b，則向量a與a+b的夾角是__________． 【答案】120° 【解析】分析：先根據(jù)題意畫出平行四邊形，再解三角形得解. 詳解：如圖所示，AB=a,AD=b,AC=a+b,∠DAB=1500, ∴∠B=300. ∵|a|=|a+b|， ∴∠B=∠ACB=300, ∴∠CAB=1200. 所以向量a與a+b的夾角是120. 故填120. 例9.【2018屆湖北省高三4月調(diào)研】已知向量與的夾角為30，，則的最大值為_________． 【答案】 【解析】分析：由題意，利用基本不等式和向量的運算，求的，進而可求得的最大值. 所以 ，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立， 所以. 點睛：平面向量的計算問題，往往有兩種形式，一是利用數(shù)量積的定義式，二是利用數(shù)量積的坐標(biāo)運算公式，涉及幾何圖形的問題，先建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，可起到化繁為簡的妙用，利用向量夾角公式、模公式及向量垂直的充要條件，可將有關(guān)角度問題、線段長問題及垂直問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積來解決． 例10.已知平面向量滿足，且，若向量的夾角為，則的最大值是_________. 【答案】 ，即 答案： 【精選精練】 1．已知正方形ABCD的邊長為1，AB=a, BC=b, AC=c,則a+b+c等于（ ） A. 2 B. 3 C. 22 D. 3 【答案】C 【解析】分析：根據(jù)平面向量的基本定理，得到a+b+c=AB+BC+AC=2AC，即可求解其模． 詳解：因為正方形ABCD的邊長為1，AB=a,BC=b,AC=c， 則a+b+c=AB+BC+AC=2AC， 因為AB=BC=1,AB⊥BC，所以a+b+c=22，故選C． 點睛：本題考查了兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，向量的模模的方法，運用向量和三角形法則求出向量的和是解題的關(guān)鍵． 2.【2018屆山東省棲霞市第一中學(xué)高三4月模擬】已知向量a=1,-1，b=x,2，且a⊥b，則a+b的值為（ ） A. 2 B. 7 C. 22 D. 10 【答案】D 3.【浙江省嘉興第一中學(xué)2018屆高三9月基礎(chǔ)知識測試】若a=b=c=2，且a?b=0，a-c?b-c≤0，則a+b-c的取值范圍是（ ） A. 0,22+2 B. 0,2 C. 22-2,22+2 D. 22-2,2 【答案】D 【解析】 故選：D. 4．對于任意向量a,b,c，下列說法正確的是（ ） A. |a+b+c|≥|a|-|b|-|c| B. |a+b+c|≥|a|+|b|-|c| C. |a+b+c|≥|a|+|b| D. |a+b+c|≥|a|-|b| 【答案】A 【解析】由題意，根據(jù)向量加法的三角形法則，且三角形兩邊之差小于第三邊，則a+b+c=a+b+c=a+b-c，同理a+b≥a-b，所以a+b+c≥a-b-c，故正確答案為A. 5．已知向量， 滿足： 則 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：利用向量的數(shù)量積運算及向量的模運算即可求出． 詳解：∵||=3，||=2，|+|=4， ∴|+|2=||2+||2+2=16， ∴2=3， ∴|﹣|2=||2+||2﹣2=9+4﹣3=10， ∴|﹣|=， 故選：D． 6．【2018屆四川省綿陽市三診】中， ， ， ，點是內(nèi)（包括邊界）的一動點，且 ，則的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 因為，所以的最大值為，故，選B. 點睛：本題中向量的模長、數(shù)量積都是已知的，故以其為基底計算，其中的取值范圍可以由的位置來確定. 7．【2018屆遼寧省部分重點中學(xué)協(xié)作體高考模擬】已知ΔOAB是邊長為1的正三角形，若點P滿足OP=2-tOA+tOBt∈R，則AP的最小值為（ ） A. 3 B. 1 C. 32 D. 34 【答案】C 【解析】分析：以O(shè)為原點，以O(shè)B為x軸，建立坐標(biāo)系，可得AP=OP-OA=12t+12,32-32t，AP =t2-t+1，利用配方法可得AP的最小值. AP=12t+122+32-32t2 =t2-t+1=t-122+34≤32，故選C. 點睛：本題主要考查向量的模與平面向量的坐標(biāo)運算，屬于難題．向量的運算有兩種方法，一是幾何運算，往往結(jié)合平面幾何知識和三角函數(shù)知識解答，運算法則是：（１）平行四邊形法則；（２）三角形法則；二是坐標(biāo)運算：建立坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為解析幾何問題解答（求最值與求范圍問題往往運用坐標(biāo)運算來解答）. 8．【2018屆湖南省永州市三?！吭讦BC中，∠BAC=600，AB=5，AC=6，D是AB上一點，且AB?CD=-5，則|BD|等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 在ΔABC中，∠BAC=600，AB=5,AC=6，D是AB是上一點，且AB?CD=-5， 如圖所示， 設(shè)AD=kAB，所以CD=AD-AC=kAB-AC， 所以AB?CD=AB?(kAB-AC)=kAB2-AB?AC=25k-5612=25k-15=-5， 解得k=25，所以BD=(1-25)AB=3，故選C． 8.【浙江省臺州市2018屆高三上學(xué)期期末】已知， 是兩個非零向量，且， ，則的最大值為（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 9．【2018屆四川省蓉城名校高三4月聯(lián)考】已知圓： ， ： ，動圓滿足與外切且與內(nèi)切，若為上的動點，且，則的最小值為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵圓： ，圓： ， ，選A. 10．設(shè)向量， ， 滿足， ， 則的最大值等于（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 ∵，且，∴的夾角為120， 設(shè) 則 如圖所示， 則∠AOB=120；∠ACB=60 ∴∠AOB+∠AOC=180 ∴A，O，B，C四點共圓， ∵， ∴ 由三角形的正弦定理得外接圓的直徑2R=. 當(dāng)OC為直徑時， 最大，最大為2． 故選：A． 點睛：本題主要考查向量的模及平面向量數(shù)量積公式、余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.平面向量數(shù)量積公式有兩種形式，一是，二是，主要應(yīng)用以下幾個方面:(1)求向量的夾角， （此時往往用坐標(biāo)形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直則;(4)求向量 的模（平方后需求）. 11. a=1，a與b的夾角為60°，則a-b的最小值是______,a-bb的最小值是_______． 【答案】 32 32 ∴|a-b|2|b|2=1|b|2-1|b|+1=(1|b|-12)2+34≥34,∴|a-b||b|≥32,即a-bb的最小值是32. 12.【2018屆天津市十二校二?！恳阎苯翘菪蜛BCD中，AD//BC，∠BAD=90°，∠ADC=45°，AD=2，BC=1，P是腰CD上的動點，則3PA+BP的最小值為__________． 【答案】522 【解析】分析：以DA為x軸，D為原點,過D與DA垂直的直線為y軸，建立坐標(biāo)系，可設(shè)Pt,t，可得3PA+BP=4-2t,-2t-1，3PA+BP=4-2t2+-2t-12，利用二次函數(shù)配方法可得結(jié)果. 詳解： 以DA為x軸，D為原點,過D與DA垂直的直線為y軸，建立坐標(biāo)系， =8t-342+252 ≥252=522， 即3PA+BP的最小值為522，故答案為522.