2018年高中數(shù)學(xué) 第3章 統(tǒng)計(jì)案例 3.2 回歸分析教學(xué)案 蘇教版選修2-3.doc

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3.2 回歸分析 1．線性回歸模型 (1)隨機(jī)誤差 具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的取值x、y，y的值不能由x完全確定，可將x，y之間的關(guān)系表示為y＝a＋bx＋ε，其中a＋bx是確定性函數(shù)，ε稱為隨機(jī)誤差． (2)隨機(jī)誤差產(chǎn)生的主要原因 ①所用的確定性函數(shù)不恰當(dāng)引起的誤差； ②忽略了某些因素的影響； ③存在觀測(cè)誤差． (3)線性回歸模型中a，b值的求法 y＝a＋bx＋ε稱為線性回歸模型． a，b的估計(jì)值為a ∧，b ∧，則 (4)回歸直線和線性回歸方程 直線y_∧＝a_∧＋b_∧x稱為回歸直線，此直線方程即為線性回歸方程，a ∧稱為回歸截距，b ∧稱為回歸系數(shù)，y ∧稱為回歸值． 2．樣本相關(guān)系數(shù)r及其性質(zhì) (1)r＝． (2)r具有以下性質(zhì) ①|(zhì)r|≤1． ②|r|越接近于1，x，y的線性相關(guān)程度越強(qiáng)． ③|r|越接近于0，x，y的線性相關(guān)程度越弱． 3．對(duì)相關(guān)系數(shù)r進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)的基本步驟 (1)提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)H0：變量x，y不具有線性相關(guān)關(guān)系． (2)如果以95%的把握作出判斷，那么可以根據(jù)1－0.95＝0.05與n－2在教材附錄2中查出一個(gè)r的臨界值r0.05(其中1－0.95＝0.05稱為檢驗(yàn)水平)． (3)計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)r． (4)作出統(tǒng)計(jì)推斷：若|r|>r0.05，則否定H0，表明有95%的把握認(rèn)為x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系；若|r|≤r0.05，則沒有理由拒絕原來的假設(shè)H0，即就目前數(shù)據(jù)而言，沒有充分理由認(rèn)為y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系． 1．在線性回歸方程中，b既表示回歸直線的斜率，又表示自變量x的取值增加一個(gè)單位時(shí)，函數(shù)值y的改變量． 2．通過回歸方程y ∧＝a ∧＋b ∧x可求出相應(yīng)變量的估計(jì)值． 3．判斷變量之間的線性相關(guān)關(guān)系，一般用散點(diǎn)圖，但在作圖中，由于存在誤差，有時(shí)很難判斷這些點(diǎn)是否分布在一條直線的附近，從而就很難判斷兩個(gè)變量之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，此時(shí)就必須利用線性相關(guān)系數(shù)來判斷． 　　[例1]　假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x(年)和所支出的維修費(fèi)用y(萬元)有如下的統(tǒng)計(jì)資料： x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 　　若由數(shù)據(jù)可知，y對(duì)x呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系． (1)求線性回歸方程； (2)估計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用是多少？ [思路點(diǎn)撥]　代入數(shù)值求線性回歸方程，然后把x＝10代入，估計(jì)維修費(fèi)用． [精解詳析]　(1)列表如下： i 1 2 3 4 5 xi 2 3 4 5 6 yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 xiyi 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 x 4 9 16 25 36 經(jīng)計(jì)算得：x＝4，y＝5，∑5,i＝1x＝90，∑5,i＝1xiyi＝112.3， a ∧＝y(tǒng)－b ∧x＝0.08， 所以線性回歸方程為y ∧＝a ∧＋b ∧x＝0.08＋1.23x. (2)當(dāng)x＝10時(shí)，y ∧＝0.08＋1.2310＝12.38(萬元)， 即若估計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用為12.38萬元． [一點(diǎn)通]　線性回歸分析的步驟： (1)列出散點(diǎn)圖，從直觀上分析數(shù)據(jù)間是否存在線性相關(guān)關(guān)系； (2)計(jì)算x，y，∑n,i＝1x，∑n,i＝1y，∑n,i＝1xiyi； (3)代入公式求出y ∧＝b ∧x＋a ∧中參數(shù)b ∧，a ∧的值； (4)寫出線性回歸方程，并對(duì)實(shí)際問題作出估計(jì)． 1． 某研究機(jī)構(gòu)對(duì)高三學(xué)生的記憶力x和判斷力y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，所得數(shù)據(jù)如下表： x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 則y對(duì)x的線性回歸方程為_________________________________________________． 解析：∵＝＝9，＝＝4， 故y對(duì)x的線性回歸方程為y ∧＝0.7x－2.3. 答案：y ∧＝0.7x－2.3 2．某班5名學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績(jī)?nèi)绫恚? 學(xué)生學(xué)科 A B C D E 數(shù)學(xué)成績(jī)(x) 88 76 73 66 63 物理成績(jī)(y) 78 65 71 64 61 (1)畫出散點(diǎn)圖； (2)求物理成績(jī)y對(duì)數(shù)學(xué)成績(jī)x的線性回歸方程； (3)一名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)是96，試預(yù)測(cè)他的物理成績(jī)． 解：(1)散點(diǎn)圖如圖． (2)∵x＝ (88＋76＋73＋66＋63)＝73.2. y＝(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8. xiyi＝8878＋7665＋7371＋6664＋6361＝25 054. 又x＝882＋762＋732＋662＋632＝27 174. ∴y對(duì)x的線性回歸方程是y ∧＝0.625x＋22.05. (3)當(dāng)x＝96時(shí)，y ∧＝0.62596＋22.05≈82. 可以預(yù)測(cè)他的物理成績(jī)是82. 　　[例2]　現(xiàn)隨機(jī)抽取了某中學(xué)高一10名在校學(xué)生，他們?nèi)雽W(xué)時(shí)的數(shù)學(xué)成績(jī)(x)與入學(xué)后第一次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)(y)如下： 學(xué)生號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 120 108 117 104 103 110 104 105 99 108 y 84 64 84 68 69 68 69 46 57 71 　　請(qǐng)問：這10名學(xué)生的兩次數(shù)學(xué)成績(jī)是否具有線性關(guān)系？ [思路點(diǎn)撥]　可先計(jì)算線性相關(guān)系數(shù)r的值，然后與r0.05比較，進(jìn)而對(duì)x與y的相關(guān)性作出判斷． [精解詳析]　x＝(120＋108＋…＋99＋108)＝107.8，y＝(84＋64＋…＋57＋71)＝68. 所以相關(guān)系數(shù)為 r＝ ≈0.751. 由檢驗(yàn)水平0.05及n－2＝8， 在附錄2中查得r0.05＝0.632， 因?yàn)?.751>0.632， 由此可看出這10名學(xué)生的兩次數(shù)學(xué)成績(jī)具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系． [一點(diǎn)通]　利用相關(guān)系數(shù)r進(jìn)行判斷相關(guān)關(guān)系，需要應(yīng)用公式計(jì)算出r的值，由于數(shù)據(jù)較大，需要借助計(jì)算器，但計(jì)算時(shí)應(yīng)該特別細(xì)心，避免出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤． 3．對(duì)于回歸分析，有下列敘述： (1)在回歸分析中，變量間的關(guān)系若是非確定性關(guān)系，則因變量不能自由變量惟一確定． (2)線性相關(guān)系數(shù)可以是正的或是負(fù)的． (3)回歸分析中，如果r2＝1或r＝1，說明x與y之間完全線性相關(guān)． (4)樣本相關(guān)系數(shù)r∈(－∞，＋∞)． 判斷其說法是否正確． 解：由回歸模型及其性質(zhì)易知(1)，(2)，(3)是正確的．相關(guān)系數(shù)的取值范圍應(yīng)為|r|≤1，所以(4)是錯(cuò)誤的． 4．一臺(tái)機(jī)器由于使用時(shí)間較長(zhǎng)，但還可以使用，它按不同的轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來的某機(jī)械零件有一些會(huì)有缺點(diǎn)，每小時(shí)生產(chǎn)有缺點(diǎn)的零件的多少，隨機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)的速度而變化，下表為抽樣試驗(yàn)的結(jié)果： 轉(zhuǎn)速x(轉(zhuǎn)/秒) 16 14 12 8 每小時(shí)生產(chǎn)有缺點(diǎn)的零件數(shù)y(件) 11 9 8 5 對(duì)變量y與x進(jìn)行線性相關(guān)性檢驗(yàn)． 解：由題中數(shù)據(jù)可得＝12.5，＝8.25，xiyi＝438， 4 ＝412.5，x＝660，y＝291，所以 ＝ ＝≈0.995. 由檢驗(yàn)水平0.05及n－2＝2在教材附錄表2中查得r0.05＝0.950，因?yàn)閞>r0.05，所以y與x具有線性相關(guān)關(guān)系． 對(duì)兩個(gè)相關(guān)變量進(jìn)行線性回歸分析時(shí)，首先判斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān)，可以通過散點(diǎn)圖和相關(guān)系數(shù)判斷，然后再求線性回歸方程，對(duì)問題進(jìn)行預(yù)測(cè)，否則求出的回歸方程無意義，預(yù)測(cè)也無價(jià)值． 課下能力提升(十九) 一、填空題 1．下列命題中正確的是________(填所有正確命題的序號(hào))． ①任何兩個(gè)變量都具有相關(guān)關(guān)系； ②圓的周長(zhǎng)與圓的半徑具有相關(guān)關(guān)系； ③某商品的需求量與該商品的價(jià)格是一種非確定性關(guān)系； ④根據(jù)散點(diǎn)圖求得的線性回歸方程可能是沒有意義的； ⑤兩個(gè)變量的線性相關(guān)關(guān)系可以通過線性回歸方程，把非確定性問題轉(zhuǎn)化為確定性問題進(jìn)行研究． 解析：顯然①是錯(cuò)誤的；而②中，圓的周長(zhǎng)與圓的半徑的關(guān)系為C＝2πR，是一種確定性的函數(shù)關(guān)系． 答案：③④⑤ 2．已知x，y的取值如下表： x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 從所得的散點(diǎn)圖分析，y與x線性相關(guān)，且y ∧＝0.95x＋a ∧，則a ∧＝________． 解析：∵＝2，＝4.5.又回歸直線恒過定點(diǎn)(，)，代入得a ∧＝2.6. 答案：2.6 3．從某大學(xué)隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高x(cm)和體重y(kg)的線性回歸方程為y ∧＝0.849x－85.712，則身高172 cm的女大學(xué)生，由線性回歸方程可以估計(jì)其體重為________． 解析：y ∧＝0.849172－85.712＝60.316. 答案：60.316 kg 4．有下列關(guān)系： ①人的年齡與他(她)擁有的財(cái)富之間的關(guān)系； ②曲線上的點(diǎn)與該點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系； ③蘋果的產(chǎn)量與氣候之間的關(guān)系； ④森林中的同一種樹木，其斷面直徑與高度之間的關(guān)系； ⑤學(xué)生與其學(xué)號(hào)之間的關(guān)系． 其中有相關(guān)關(guān)系的是____________．(填序號(hào)) 解析：由相關(guān)關(guān)系定義分析． 答案：①③④ 5．某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表： 廣告費(fèi)用x(萬元) 4 2 3 5 銷售額y(萬元) 49 26 39 54 根據(jù)上表可得線性回歸方程y＝b ∧x＋a ∧中的b ∧為9.4，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬元時(shí)銷售額為________萬元． 解析：樣本中心點(diǎn)是(3.5，42)， 答案：65.5 二、解答題 6．下面是水稻產(chǎn)量與施肥量的一組觀測(cè)數(shù)據(jù)： 施肥量 15 20 25 30 35 40 45 水稻產(chǎn)量 320 330 360 410 460 470 480 (1)將上述數(shù)據(jù)制成散點(diǎn)圖； (2)你能從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)施肥量與水稻產(chǎn)量近似成什么關(guān)系嗎？ 解：(1)散點(diǎn)圖如下： (2)從圖中可以發(fā)現(xiàn)施肥量與水稻產(chǎn)量具有線性相關(guān)關(guān)系，當(dāng)施肥量由小到大變化時(shí)，水稻產(chǎn)量也由小變大，圖中的數(shù)據(jù)點(diǎn)大致分布在一條直線的附近，因此施肥量和水稻產(chǎn)量近似成線性正相關(guān)關(guān)系． 7．在一段時(shí)間內(nèi)，分5次測(cè)得某種商品的價(jià)格x(萬元)和需求量y(t)之間的一組數(shù)據(jù)為 1 2 3 4 5 價(jià)格x 1.4 1.6 1.8 2 2.2 需求量y 12 10 7 5 3 已知∑5,i＝1xiyi＝62，∑5,i＝1x＝16.6. (1)畫出散點(diǎn)圖； (2)求出y對(duì)x的線性回歸方程； (3)如價(jià)格定為1.9萬元，預(yù)測(cè)需求量大約是多少？(精確到0.01 t) 解：(1)散點(diǎn)圖如下圖所示： (2)因?yàn)閤＝9＝1.8，y＝37＝7.4， 8．為了分析某個(gè)高三學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，對(duì)其下一階段的學(xué)習(xí)提供指導(dǎo)性建議．現(xiàn)對(duì)他前7次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)x、物理成績(jī)y進(jìn)行分析．下面是該生7次考試的成績(jī)： 數(shù)學(xué)(x) 88 83 117 92 108 100 112 物理(y) 94 91 108 96 104 101 106 (1)他的數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)哪個(gè)更穩(wěn)定？請(qǐng)給出你的證明； (2)已知該生的物理成績(jī)y與數(shù)學(xué)成績(jī)x是線性相關(guān)的，若該生的物理成績(jī)達(dá)到115分，請(qǐng)你估計(jì)他的數(shù)學(xué)成績(jī)大約是多少？并請(qǐng)你根據(jù)物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)的相關(guān)性，給出該生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、物理上的合理性建議． 解：(1)∵＝100＋＝100； ＝100＋＝100； ∴σ＝＝142，σ＝， 從而σ>σ，∴物理成績(jī)更穩(wěn)定． (2)由于x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，因?yàn)? xiyi＝70 497，x＝70 994， 所以根據(jù)回歸系數(shù)公式得到 當(dāng)y＝115時(shí)，x＝130，即該生物理成績(jī)達(dá)到115分時(shí)，他的數(shù)學(xué)成績(jī)大約為130分． 建議：進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，提高數(shù)學(xué)成績(jī)的穩(wěn)定性，將有助于物理成績(jī)的進(jìn)一步提高.