（通用版）2019版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 專題八 空間幾何體的三視圖、表面積與體積講義 理（重點(diǎn)生含解析）.doc
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專題八 空間幾何體的三視圖、表面積與體積 卷Ⅰ 卷Ⅱ 卷Ⅲ 2018 空間幾何體的三視圖、直觀圖及最短路徑問(wèn)題T7 圓錐的性質(zhì)及側(cè)面積的計(jì)算T16 三視圖與數(shù)學(xué)文化T3 與外接球有關(guān)的空間幾何體體積的最值問(wèn)題T10 2017 空間幾何體的三視圖與直觀圖、面積的計(jì)算T7 空間幾何體的三視圖及組合體體積的計(jì)算T4 球的內(nèi)接圓柱、圓柱的體積的計(jì)算T8 三棱錐的體積、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用T16 2016 有關(guān)球的三視圖及表面積的計(jì)算T6 空間幾何體的三視圖及組合體表面積的計(jì)算T6 空間幾何體的三視圖及表面積的計(jì)算T9 與直三棱柱有關(guān)的內(nèi)切球體積的最值問(wèn)題T10 縱向把握趨勢(shì) 卷Ⅰ3年4考，涉及空間幾何體的三視圖識(shí)別以及以三視圖為載體考查空間幾何體的表面積及側(cè)面展開(kāi)圖問(wèn)題，題型既有選擇題，也有填空題，難度適中．預(yù)計(jì)2019年會(huì)以三視圖為載體考查空間幾何體的體積或表面積的計(jì)算問(wèn)題 卷Ⅱ3年3考，涉及空間幾何體的三視圖、空間幾何體的表面積和體積的計(jì)算，題型為選擇題或填空題，難度適中．預(yù)計(jì)2019年仍會(huì)以選擇題或填空題的形式考查空間幾何體的表面積、體積的計(jì)算 卷Ⅲ3年5考，涉及數(shù)學(xué)文化、三視圖、幾何體的外接球、空間幾何體的表面積與體積的計(jì)算，難度中等偏上，題型均為選擇題．預(yù)計(jì)2019年高考仍會(huì)以選擇題的形式考查，以空間幾何體與球的切、接問(wèn)題相結(jié)合為主考查 橫向把握重點(diǎn) 1.此部分內(nèi)容一般會(huì)以兩小或一小的命題形式出現(xiàn)，這“兩小”或“一小”主要考查三視圖、幾何體的表面積與體積的計(jì)算． 2.考查一個(gè)小題時(shí)，本小題一般會(huì)出現(xiàn)在第4～8題的位置上，難度一般；考查兩個(gè)小題時(shí)，其中一個(gè)小題難度一般，另一小題難度稍高，一般會(huì)出現(xiàn)在第10～16題的位置上，本小題雖然難度稍高，主要體現(xiàn)在計(jì)算量上，但仍是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本公式的考查. 空間幾何體的三視圖 [題組全練] 1．(2018全國(guó)卷Ⅲ)中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來(lái)．構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是( ) 解析：選A 由題意可知帶卯眼的木構(gòu)件的直觀圖如圖所示，由直觀圖可知其俯視圖應(yīng)選A. 2．(2019屆高三西安模擬)把邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，形成的三棱錐CABD的正視圖與俯視圖如圖所示，則側(cè)視圖的面積為( ) A. B. C. D. 解析：選D 由三棱錐CABD的正視圖、俯視圖得三棱錐CABD的側(cè)視圖為直角邊長(zhǎng)是的等腰直角三角形，所以三棱錐CABD的側(cè)視圖的面積為. 3.(2018全國(guó)卷Ⅰ)某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如圖所示．圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為( ) A．2 B．2 C．3 D．2 解析：選B 先畫(huà)出圓柱的直觀圖，根據(jù)題圖的三視圖可知點(diǎn)M，N的位置如圖①所示． 圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖及M，N的位置(N為OP的四等分點(diǎn))如圖②所示，連接MN，則圖中MN即為M到N的最短路徑．ON＝16＝4，OM＝2， ∴MN＝＝ ＝2. 4．(2018石家莊質(zhì)檢)如圖，網(wǎng)格紙上的小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線表示的是某三棱錐的三視圖，則該三棱錐的四個(gè)面中，最小面的面積是( ) A．2 B．2 C．2 D. 解析：選C 在正方體中還原該幾何體，如圖中三棱錐DABC所示，其中正方體的棱長(zhǎng)為2，則S△ABC＝2，S△DBC＝2，S△ADB＝2，S△ADC＝2，故該三棱錐的四個(gè)面中，最小面的面積是2. [系統(tǒng)方法] 1．確定幾何體的三視圖的方法 判斷幾何體的三視圖的基礎(chǔ)是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，其中三視圖的畫(huà)法是確定三視圖的重要依據(jù)． (1)基本要求：長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等． (2)畫(huà)法規(guī)則：正側(cè)一樣高，正俯一樣長(zhǎng)，側(cè)俯一樣寬． (3)看不到的線畫(huà)虛線． 2．由三視圖確定幾何體的方法 熟練掌握規(guī)則幾何體的三視圖是由三視圖還原幾何體的基礎(chǔ)，在明確三視圖畫(huà)法規(guī)則的基礎(chǔ)上，按以下步驟可輕松解決此類問(wèn)題： (1)定底面：根據(jù)俯視圖確定． (2)定棱及側(cè)面：根據(jù)正視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實(shí)線、虛線對(duì)應(yīng)棱的位置． (3)定形狀：確定幾何體的形狀. 空間幾何體的表面積與體積 [由題知法] (1)(2018合肥質(zhì)檢)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為( ) A．5π＋18 B．6π＋18 C．8π＋6 D．10π＋6 (2)(2018洛陽(yáng)統(tǒng)考)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，圖中的三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)均為2，則該幾何體的體積為( ) A．8－ B．4－ C．8－ D．4－ (3)(2018天津高考)已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，除面ABCD外，該正方體其余各面的中心分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，M(如圖)，則四棱錐MEFGH的體積為_(kāi)_______． [解析] (1)由三視圖可知該幾何體是由一個(gè)半圓柱和兩個(gè)半球構(gòu)成的，故該幾何體的表面積為24π12＋2π12＋23＋2π13＝8π＋6. (2)由三視圖可得該幾何體的直觀圖如圖所示，該幾何體是一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體上、下各挖去一個(gè)底面半徑為1，高為1的圓錐后剩余的部分，其體積為23－2π121＝8－. (3)連接AD1，CD1，B1A，B1C，AC，因?yàn)镋，H分別為AD1，CD1的中點(diǎn)，所以EH∥AC，EH＝ AC，因?yàn)镕，G分別為B1A，B1C的中點(diǎn)，所以FG∥AC，F(xiàn)G＝AC，所以EH∥FG，EH＝FG，所以四邊形EHGF為平行四邊形，又EG＝HF，EH＝HG，所以四邊形EHGF為正方形，又點(diǎn)M到平面EHGF的距離為，所以四棱錐MEFGH的體積為2＝. [答案] (1)C (2)A (3) [類題通法] 1．三類幾何體表面積的求法 求多面體的表面積 只需將它們沿著棱“剪開(kāi)”并展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積 求旋轉(zhuǎn)體的表面積 可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過(guò)程及其結(jié)構(gòu)特征入手，將其展開(kāi)后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)側(cè)面展開(kāi)圖中的邊長(zhǎng)關(guān)系 求不規(guī)則幾何體的表面積 通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺(tái)體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺(tái)體的表面積，再通過(guò)求和或作差，求出所給幾何體的表面積 2．求體積的3種常用方法 直接法 對(duì)于規(guī)則的幾何體，利用相關(guān)公式直接計(jì)算 割補(bǔ)法 首先把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進(jìn)行體積計(jì)算；或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，把不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體，便于計(jì)算 等體積法 選擇合適的底面來(lái)求幾何體的體積，常用于求三棱錐的體積，即三棱錐的任意一個(gè)面可作為三棱錐的底面進(jìn)行等體積變換 [應(yīng)用通關(guān)] 1．(2018長(zhǎng)春質(zhì)檢)《九章算術(shù)》卷五商功中有如下問(wèn)題：今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無(wú)廣，高一丈，問(wèn)積幾何？芻甍：底面為矩形的屋脊?fàn)畹膸缀误w(網(wǎng)格紙中粗線部分為其三視圖，設(shè)網(wǎng)格紙上每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1)，那么該芻甍的體積為( ) A．4 B．5 C．6 D．12 解析：選B 如圖，由三視圖可還原得幾何體ABCDEF，過(guò)E，F(xiàn)分別作垂直于底面的截面EGH和FMN，將原幾何體拆分成兩個(gè)底面積為3，高為1的四棱錐和一個(gè)底面積為，高為2的三棱柱，所以VABCDEF＝2V四棱錐EADHG＋V三棱柱EHGFNM＝231＋2＝5. 2．某圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是面積為3π且圓心角為的扇形，此圓錐的體積為( ) A．π B. C．2π D．2π 解析：選B 設(shè)圓錐的母線為R，底面圓的半徑為r，扇形的圓心角為α，則S＝αR2＝R2＝3π，解得R＝3，底面圓的半徑r滿足＝，解得r＝1，所以這個(gè)圓錐的高h(yuǎn)＝＝2，故圓錐的體積V＝πr2h＝，故選 B. 3．(2018福州模擬)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫(huà)出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為( ) A．14 B．10＋4 C.＋4 D.＋4 解析：選D 法一：由三視圖可知，該幾何體為一個(gè)直三棱柱切去一個(gè)小三棱錐后剩余的幾何體，如圖所示．所以該多面體的表面積S＝2＋(22－12)＋22＋22＋()2＝＋4. 法二：由三視圖可知，該幾何體為一個(gè)直三棱柱切去一個(gè)小三棱錐后剩余的幾何體，如圖所示．所以該多面體的表面積S＝S三棱柱表－S三棱錐側(cè)＋S三棱錐底＝(2＋2＋2)2＋222－3＋()2＝＋4. 重難增分(一) 多面體與球的切接問(wèn)題 [考法全析] 一、曾經(jīng)這樣考 1．[三棱錐的外接球](2017全國(guó)卷Ⅰ)已知三棱錐S ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S ABC的體積為9，則球O的表面積為_(kāi)_______． 解析：如圖，連接AO，OB， ∵SC為球O的直徑， ∴點(diǎn)O為SC的中點(diǎn)， ∵SA＝AC，SB＝BC， ∴AO⊥SC，BO⊥SC， ∵平面SCA⊥平面SCB， 平面SCA∩平面SCB＝SC， ∴AO⊥平面SCB， 設(shè)球O的半徑為R， 則OA＝OB＝R，SC＝2R. ∴VS ABC＝VASBC＝S△SBCAO ＝AO， 即9＝R，解得 R＝3， ∴球O的表面積為S＝4πR2＝4π32＝36π. 答案：36π [啟思維] 本題考查了三棱錐的外接球問(wèn)題．一般外接球需要求球心和半徑，其步驟為：(1)應(yīng)確定球心的位置，借助于外接球的性質(zhì)，球心到各頂點(diǎn)距離相等，這樣可先確定幾何體中部分點(diǎn)組成的多邊形的外接圓的圓心，過(guò)圓心且垂直于多邊形所在平面的直線上任一點(diǎn)到多邊形的各頂點(diǎn)的距離相等，然后用同樣的方法找到另一個(gè)多邊形的各頂點(diǎn)距離相等的直線(這兩個(gè)多邊形需有公共點(diǎn))，這樣兩條直線的交點(diǎn)，就是其外接球的球心；(2)根據(jù)半徑、頂點(diǎn)到底面中心的距離、球心到底面中心的距離，構(gòu)成勾股定理求解，有時(shí)也可利用補(bǔ)體法得到半徑(例三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，可以補(bǔ)成長(zhǎng)方體，它們是同一個(gè)外接球)． 二、還可能這樣考 2．[圓錐的外接球]已知圓錐的高為3，底面半徑為，若該圓錐的頂點(diǎn)與底面的圓周都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的體積等于( ) A.π B.π C．16π D．32π 解析：選B 設(shè)該圓錐的外接球的半徑為R，依題意得，R2＝(3－R)2＋()2，解得R＝2，所以所求球的體積V＝πR3＝π23＝π. [啟思維] 本題考查了圓錐的外接球問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)圓錐及球的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)確定球心一定在圓錐的高上，然后建立相關(guān)關(guān)系式求出球半徑． 3．[四棱柱的外接球]已知正四棱柱的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，且球的表面積為12π，當(dāng)正四棱柱的體積最大時(shí)，正四棱柱的高為_(kāi)_______． 解析：設(shè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為a，高為h，球的半徑為r，由題意知4πr2＝12π，所以r2＝3，又2a2＋h2＝(2r)2＝12，所以a2＝6－，所以正四棱柱的體積V＝a2h＝h，則V′＝6－h(huán)2，由V′＞0，得0＜h＜2，由V′＜0，得h＞2，所以當(dāng)h＝2時(shí)，正四棱柱的體積最大. 答案：2 [啟思維] 本題考查了球與正四棱柱的綜合問(wèn)題．求解直棱柱的外接球問(wèn)題時(shí)，結(jié)合球與直棱柱的有關(guān)性質(zhì)，可知棱柱上、下底面外接圓的圓心連線的中心即為外接球的球心． 4．[四棱錐的內(nèi)切球問(wèn)題]已知四棱錐PABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為6的正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，若一個(gè)半徑為1的球與此四棱錐的所有面都相切，則該四棱錐的高是( ) A．6 B．5 C. D. 解析：選D 由題意，四棱錐PABCD是正四棱錐，球的球心O在四棱錐的高PH上，過(guò)正四棱錐的高作組合體的軸截面如圖所示．其中PE，PF是斜高，A為球面與側(cè)面的切點(diǎn)，設(shè)PH＝h，由幾何體可知Rt△PAO∽R(shí)t△PHF，則＝，∴＝，解得h＝. [啟思維] 球與多面體的“切”的問(wèn)題，關(guān)鍵突破口是作出過(guò)它們的切點(diǎn)的軸截面，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題解決．在計(jì)算過(guò)程中要抓住球的半徑這個(gè)主要元素，再利用平面幾何、三角函數(shù)知識(shí)求解． [增分集訓(xùn)] 1．(2015全國(guó)卷Ⅱ)已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB＝90，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)．若三棱錐O ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為( ) A．36π B．64π C．144π D．256π 解析：選C 如圖，設(shè)球的半徑為R，∵∠AOB＝90，∴S△AOB＝R2. ∵VOABC＝VC AOB，而△AOB面積為定值， ∴當(dāng)點(diǎn)C到平面AOB的距離最大時(shí)，VOABC最大， ∴當(dāng)C為與球的大圓面AOB垂直的直徑的端點(diǎn)時(shí)，體積VOABC最大，為R2R＝36， ∴R＝6，∴球O的表面積為4πR2＝4π62＝144π. 2．在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐稱為鱉臑．若三棱錐PABC為鱉臑，側(cè)棱PA⊥底面ABC，AC⊥BC，且PA＝2，AC＝3，BC＝4，則該鱉臑的內(nèi)切球的半徑為_(kāi)_______． 解析：設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，由鱉臑的性質(zhì)可知，PC⊥CB，PC＝，AB＝5，BP＝，所以S△ABC＝6，S△PAB＝5，S△PBC＝2，S△PCA＝3，VPABC＝S△ABCPA＝4，∵VPABC＝(S△ABC＋S△PAB＋S△PBC＋S△PCA)r，故該鱉臑的內(nèi)切球半徑r＝＝. 答案： 3．(2018貴陽(yáng)模擬)如圖，正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為1，粗線表示的是某幾何體的三視圖，該幾何體的頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為_(kāi)_______． 解析：根據(jù)三視圖可知該幾何體為一個(gè)三棱錐，記為SABC，將該三棱錐放入長(zhǎng)方體中如圖所示，則該三棱錐的外接球直徑為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，設(shè)球O的半徑為R， 所以(2R)2＝22＋22＋32＝17， R2＝，所以球O的表面積為 4πR2＝17π. 答案：17π 4．(2018益陽(yáng)、湘潭調(diào)研)已知三棱錐SABC的頂點(diǎn)都在球O的球面上，△ABC是邊長(zhǎng)為3的正三角形，SC為球O的直徑，且SC＝4，則此三棱錐的體積為 ________________________________________________________________________． 解析：根據(jù)題意作出圖形． 設(shè)球心為O，過(guò)A，B，C三點(diǎn)的小圓的圓心為O1，則OO1⊥平面ABC， 延長(zhǎng)CO1交球于點(diǎn)D，連接SD，則SD⊥平面ABC. ∴SD∥OO1，又O為SC的中點(diǎn)， ∴SD＝2OO1. ∵CO1＝＝， ∴OO1＝＝1， ∴高SD＝2OO1＝2， ∵△ABC是邊長(zhǎng)為3的正三角形，∴S△ABC＝， ∴V三棱錐SABC＝2＝. 答案： 重難增分(二) 立體幾何中的最值問(wèn)題 [考法全析] 一、曾經(jīng)這樣考 1．[三棱錐的體積最值問(wèn)題] (2017全國(guó)卷Ⅰ)如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑 為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F(xiàn)為圓O上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開(kāi)后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐．當(dāng)△ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí)，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為_(kāi)_______． 解析：由題意知折疊以后三棱錐的直觀圖如圖所示． 連接CO并延長(zhǎng)交AB于H，連接DO，DH. 則DO⊥平面ABC. 令OH＝x，則OC＝2x， DH＝5－x， 得OD＝ ＝ ，AB＝2x. 則VDABC＝ ＝x2＝. 令f (x)＝25x4－10x5，x∈， 則f ′(x)＝100x3－50x4， 由f ′(x)>0，得0下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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