線性代數(shù)第4章線性方程組解的結構.ppt

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-1-,第四章,線性方程組的解的結構,,4.4線性方程組在幾何中的應用,4.3非齊次線性方程組解的結構,4.2齊次線性方程組解的結構,4.1線性方程組解的存在性定理,-2-,4.1線性方程組解的存在性定理,在前面的章節(jié)學習中，我們已經(jīng)研究的關于線性方程組的求和存在性問題，本章將在整理前面知識點的同時，深入研究解的性質和解的結構。,-3-,(4-1),(矩陣形式),(向量形式),(原始形式),,,,-4-,非齊次方程組解的存在性定理,對于非齊次方程組,(4-1),向量可由A的列向量組,線性表示。,-5-,,,,的系數(shù)行列式,Cramer法則,則方程組有唯一解,且解為:,(4-2),-6-,齊次方程組解的存在性定理,(4-3),(矩陣形式),(向量形式),(原始形式),,,,-7-,對于齊次方程組,(1),A的列向量組線性無關,(2),A的列向量組線性相關,推論1,當方程的個數(shù)m小于未知量的個數(shù)n，則(4-3)必有非零解。,-8-,,,,有非零解,(4-4),學習書P135例2,-9-,第四章,線性方程組的解的結構,,4.4線性方程組在幾何中的應用,4.3非齊次線性方程組解的結構,4.2齊次線性方程組解的結構,4.1線性方程組解的存在性定理,-10-,4.2齊次線性方程組解的結構,,(2)解集的秩是多少?,(3)解集的最大無關組(又稱為基礎解系)如何求?,(1)解集的特點?,稱：,-11-,性質1：若是(4-3)的解，,性質2：,注：,如果(4-3)只有零解，解空間是零空間。如果(4-3)有非零解，解空間是非零空間。,性質,推論1,而在解空間中，基的概念我們在這里稱為基礎解系。,首先回答問題(1),-12-,線性無關；,的任一解都可以由,線性,基礎解系,表示,則稱,下面我們用一個例子回答第(2)和第(3)個問題，同時也是定理4.2.1的例證。,(取任意實數(shù)),從而,也是(4-3)的解。,-13-,,,通過下面的例子,針對一般的方程組,回答所提問題.,第一步:對系數(shù)矩陣A初等行變換化行最簡形B,從行最簡形能得到什么？,-14-,第二步：寫出同解的方程組(保留第一個未知數(shù)在方程的左邊,其余的都移到右邊.右邊的又叫自由變量),自由變量的個數(shù)=?,,,,-15-,是解嗎?,線性無關嗎?,任一解都可由表示嗎?,是基礎解系嗎?,基礎解系所含向量的個數(shù)=?,第四步:寫出基礎解系,再來分析一下基礎解系的由來:,第二步的同解方程組為,第三步的通解為,-16-,就是,類似的……,這就啟發(fā)我們,由于基礎解系所含解向量的個數(shù)正好等于自由變量的個數(shù)(這里3個).,必然是線性無關的,從而也是基礎解系.由此得到解法2.,-17-,第一步:同前,第二步:同前,第三步:令,第四步:寫出通解,-18-,則齊次線性方程組,的基礎解系存在，,且每個基礎解系中含有,個解向量。,則齊次線性方程組,的任意個線性無關,的解向量均可構成基礎解系。,-19-,設,是的,兩個不同的解向量,k取任意實數(shù),則Ax=0的通解是,-20-,設,證明,證,因此,移項,重要結論,-21-,且線性無關，則_______是AX=O的基礎解系。,(2),(3),則_______可為AX=O的基礎解系。,(4),練習,(1),(2),-22-,證明,設,首先證明,利用這一結論,證,重要結論,-23-,求一個齊次方程組,使它的基礎解系為,,記之為AB=O,這相當于要解矩陣方程,習慣把未知,然后再把這些解拼成的列(A的行)即可.,解得基礎解系,,設所求的齊次方程組為,則,,解,第四章,線性方程組的解的結構,,4.4線性方程組在幾何中的應用,4.3非齊次線性方程組解的結構,4.2齊次線性方程組解的結構,4.1線性方程組解的存在性定理,-25-,4.3非齊次線性方程組解的結構,以下總假設,有解,而其對應的齊次方程組,的基礎解系為,這里,-26-,性質,(2)設是(1)的解,是(2)的解,則仍是(1)的解.,設是(1)的一個解(固定),則對(1)的任一解x,是(2)的解,從而存在使得,又形如(3)的向量(任取)都是(1)的解.,由此得:,(3),注：非齊次方程組的解集不是空間。,-27-,設是(1)的任一解,則(1)的通解為,解,-28-,,,得齊次方程組的基礎解系,于是所有通解,,即得方程組的一個解,-29-,,,是Ax=0的解,是Ax=b的解,※,※,,,-30-,設四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3,,已知是它的三個解向量,且,求該方程組的通解.,,,,解,取,則它就是解,從而也是基礎解系.,導出齊次組的基礎解系所含向量個數(shù)=4–3=1,故非齊次方程組的通解為,