齊次線性方程組解的結構.ppt

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1齊次線性方程組解的結構2非齊次線性方程組解的結構,第三章第四講,一、齊次線性方程組解的結構,則方程組(1)可寫成向量方程,若記,回顧,稱為方程組(1)的解向量，它也是向量方程的解．,則,方程組有非零解的充要條件是。,齊次線性方程組的解有如下的性質,證,性質（2）若為的解，為實數，則也是的解．,證,證畢.,由以上兩個性質可知，方程組的全體解向量所組成的集合，對于加法和數乘運算是封閉的，因此構成一個向量空間，稱此向量空間為齊次線性方程組的解空間．,因此，求齊次線性方程組的解就是求出解空間，這就需要求出解空間的一組基。稱解空間的一組基為方程組的基礎解系。,定義1,并稱為方程組的通解。,定理1齊次線性方程組若有非零解，則它一定有基礎解系，且基礎解系所含解向量的個數等于n-r，其中r是系數矩陣的秩。,基礎解系的求法,證明：,系數矩陣為,有非零解，從而秩r＜n.對A進行行初等變換，A可化為,,,與之對應的方程組為,取,,可得,從而得到(1)的n-r個解,,首先，這n-r個解向量顯然線性無關.,代入方程組得,,,于是,因此方程組的每一個解向量，都可以由這n-r個解向量,定理的證明實際上指出了求齊次線性方程組的基礎解系的一種方法.,線性表示，,例1解齊次線性方程組,解齊次線性方程組的系數矩陣為,對A進行行初等變換，得,秩r＝2<4，故有非零解.,其對應的方程組是,基礎解系為,方程組的通解為,二、非齊次線性方程組解的結構,,如果把它的常數項都換成0，就得到相應的齊次線性方程組，稱它為非齊次線性方程組(2)的導出方程組，簡稱導出組.,定理3（非齊次線性方程組解的結構定理）如果非齊次線性方程組有解，那么它的一個解與其導出方程組的解之和是非齊次線性方程組的一個解，非齊次線性方程組的任意解都可以寫成它的一個特解與其導出方程組的解之和。,,其中為對應齊次線性方程組的通解，為非齊次線性方程組的任意一個特解.,非齊次線性方程組的通解,非齊次線性方程組Ax=b的通解為,解對增廣矩陣進行行初等行變換,系數矩陣與增廣矩陣的秩都是2<5，故有解。,對應的齊次線性方程（去掉常數列）的基礎解系為,令x3＝x4＝x5＝0，得齊次線性方程組的一個特解為(30/7,-3/7,0,0,0)，(不能忽略常數列)，于是它的全部解為,其中k1，k2，k3，為任意實數。,例3設線性方程組,試就p,t討論方程組的解的情況，有解時并求出解.,解對增廣矩陣進行行初等變換,,(1)當時，有惟一解,(2)當p=1，且1-4t+2pt=1-2t=0即t=時，方程組有無窮多解，此時,,(3)當p=1，但1-4t+2pt=1-2t≠0，即t≠1/2時，方程組無解.,(4)當t=0時，1-4t+2pt=1≠0，故方程組也無解.,練習.設,(1)求|A|；（2）已知Ａｘ＝ｂ有無窮多解，求ａ，并求Ａｘ＝ｂ的通解.,２．齊次線性方程組解的情況,１．齊次線性方程組基礎解系的求法,三、小結,（一）、齊次線性方程組解的結構,1．非齊次線性方程組解的情況,2．非齊次線性方程組通解的求法,（二）、非齊次線性方程組解的結構,