2019高考數學一輪復習 第10章 概率、統(tǒng)計和統(tǒng)計案例 第1講 隨機事件的概率與古典概型分層演練 文.doc
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第1講 隨機事件的概率與古典概型 一、選擇題 1.設事件A,B,已知P(A)=,P(B)=,P(A∪B)=,則A,B之間的關系一定為( ) A.兩個任意事件 B.互斥事件 C.非互斥事件 D.對立事件 解析:選B.因為P(A)+P(B)=+==P(A∪B),所以A,B之間的關系一定為互斥事件.故選B. 2.某產品分甲、乙、丙三級,其中乙、丙兩級均屬次品,在正常生產情況下,出現乙級品和丙級品的概率分別是5%和3%,則抽檢一件是正品(甲級)的概率為( ) A.0.95 B.0.97 C.0.92 D.0.08 解析:選C.記抽檢的產品是甲級品為事件A,是乙級品為事件B,是丙級品為事件C,這三個事件彼此互斥,因而所求概率為P(A)=1-P(B)-P(C)=1-5%-3%=92%=0.92. 3.從3個紅球、2個白球中隨機取出2個球,則取出的2個球不全是紅球的概率是( ) A. B. C. D. 解析:選C.“取出的2個球全是紅球”記為事件A,則P(A)=.因為“取出的2個球不全是紅球”為事件A的對立事件,所以其概率為P(A)=1-P(A)=1-=. 4.“微信搶紅包”自2015年以來異?;鸨?,在某個微信群某次進行的搶紅包活動中,若所發(fā)紅包的總金額為9元,被隨機分配為1.49元,1.31元,2.19 元,3.40元,0.61元,共5份,供甲、乙等5人搶,每人只能搶一次, 則甲、乙二人搶到的金額之和不低于4元的概率是( ) A. B. C. D. 解析:選B.設事件A為“甲、乙二人搶到的金額之和不低于4元”,甲、乙兩人搶到紅包的所有結果為{1.49,1.31},{1.49,2.19},{1.49,3.40},{1.49,0.61},{1.31,2.19},{1.31,3.40},{1.31,0.61},{2.19,3.40},{2.19,0.61},{3.40,0.61},共10種情況.其中事件A的結果一共有4種情況,根據古典概型概率計算公式,得P(A)==,即甲、乙二人搶到的金額之和不低于4元的概率是.故選B. 5.在正六邊形的6個頂點中隨機選擇4個頂點,則構成的四邊形是梯形的概率為( ) A. B. C. D. 解析:選B.如圖, 在正六邊形ABCDEF的6個頂點中隨機選擇4個頂點,共有15種選法,其中構成的四邊形是梯形的有ABEF,BCDE,ABCF,CDEF,ABCD,ADEF,共6種情況,故構成的四邊形是梯形的概率P==. 6.已知集合M={1,2,3,4},N={(a,b)|a∈M,b∈M},A是集合N中任意一點,O為坐標原點,則直線OA與y=x2+1有交點的概率是( ) A. B. C. D. 解析:選C.易知過點(0,0)與y=x2+1相切的直線為y=2x(斜率小于0的無需考慮),集合N中共有16個元素,其中使OA斜率不小于2的有(1,2),(1,3),(1,4),(2,4),共4個,由古典概型知概率為=. 二、填空題 7.某城市2017年的空氣質量狀況如下表所示: 污染指數T 30 60 100 110 130 140 概率P 其中污染指數T≤50時,空氣質量為優(yōu);50<T≤100時,空氣質量為良;100<T≤150時,空氣質量為輕微污染,則該城市2017年空氣質量達到良或優(yōu)的概率為________. 解析:由題意可知2017年空氣質量達到良或優(yōu)的概率為P=++=. 答案: 8.口袋內裝有一些除顏色不同之外其他均相同的紅球、白球和黑球,從中摸出1個球,摸出紅球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,若紅球有21個,則黑球有________個. 解析:摸到黑球的概率為1-0.42-0.28=0.3.設黑球有n個,則=,故n=15. 答案:15 9.從2名男生和2名女生中,任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動,每天一人,則星期六安排一名男生,星期日安排一名女生的概率為________. 解析:將2名男生記為A1,A2,2名女生記為B1,B2,任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動有A1A2,A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,B1B2,B1A1,B2A1,B1A2,B2A2,B2B1,A2A1共12種情況,而星期六安排一名男生,星期日安排一名女生共有A1B1,A1B2,A2B1,A2B2這4種情況,則其發(fā)生的概率為=. 答案: 10.現有7名數理化成績優(yōu)秀者,分別用A1,A2,A3,B1,B2,C1,C2表示,其中A1,A2,A3的數學成績優(yōu)秀,B1,B2的物理成績優(yōu)秀,C1,C2的化學成績優(yōu)秀.從中選出數學、物理、化學成績優(yōu)秀者各1名,組成一個小組代表學校參加競賽,則A1和B1不全被選中的概率為________. 解析:從這7人中選出數學、物理、化學成績優(yōu)秀者各1名,所有可能的結果組成的12個基本事件為:(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2). 設“A1和B1不全被選中”為事件N,則其對立事件表示“A1和B1全被選中”,由于={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2)},所以P()==,由對立事件的概率計算公式得P(N)=1-P()=1-=. 答案: 三、解答題 11.如圖,從A地到火車站共有兩條路徑L1和L2,現隨機抽取100位從A地到達火車站的人進行調查,調查結果如下: 所用時間(分鐘) 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 選擇L1的人數 6 12 18 12 12 選擇L2的人數 0 4 16 16 4 (1)試估計40分鐘內不能趕到火車站的概率; (2)分別求通過路徑L1和L2所用時間落在上表中各時間段內的頻率; (3)現甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站,為了盡最大可能在允許的時間內趕到火車站,試通過計算說明,他們應如何選擇各自的路徑. 解:(1)由已知共調查了100人,其中40分鐘內不能趕到火車站的有12+12+16+4=44(人), 所以用頻率估計相應的概率為44100=0.44. (2)選擇L1的有60人,選擇L2的有40人, 故由調查結果得頻率為 所用時間 (分鐘) 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 L1的頻率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 L2的頻率 0 0.1 0.4 0.4 0.1 (3)設A1,A2分別表示甲選擇L1和L2時,在40分鐘內趕到火車站;B1,B2分別表示乙選擇L1和L2時,在50分鐘內趕到火車站.由(2)知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6, P(A2)=0.1+0.4=0.5, 因為P(A1)>P(A2),所以甲應選擇L1 . 同理,P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8, P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9, 因為P(B1)<P(B2),所以乙應選擇L2. 12.根據我國頒布的《環(huán)境空氣質量指數(AQI)技術規(guī)定》:空氣質量指數劃分為0~50、51~100、101~150、151~200、201~300和大于300六級,對應空氣質量指數的六個級別,指數越大,級別越高,說明污染越嚴重,對人體健康的影響也越明顯.專家建議:當空氣質量指數小于等于150時,可以進行戶外運動;空氣質量指數為151及以上時,不適合進行旅游等戶外活動,下表是濟南市2017年10月上旬的空氣質量指數情況: 時間 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 9日 10日 AQI 149 143 251 254 138 55 69 102 243 269 (1)求10月上旬市民不適合進行戶外活動的概率; (2)一外地游客在10月上旬來濟南旅游,想連續(xù)游玩兩天,求適合連續(xù)旅游兩天的概率. 解:(1)該試驗的基本事件空間Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},基本事件總數n=10. 設事件A為“市民不適合進行戶外活動”,則A={3,4,9,10},包含基本事件數m=4.所以P(A)==, 即10月上旬市民不適合進行戶外活動的概率為. (2)該試驗的基本事件空間Ω={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7),(7,8),(8,9),(9,10)},基本事件總數n=9, 設事件B為“適合連續(xù)旅游兩天的日期”, 則B={(1,2),(5,6),(6,7),(7,8)},包含基本事件數m=4, 所以P(B)=,所以適合連續(xù)旅游兩天的概率為. 1.某超市隨機選取1 000位顧客,記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況,整理成如下統(tǒng)計表,其中“√”表示購買,“”表示未購買. 商品 顧客人數 甲 乙 丙 丁 100 √ √ √ 217 √ √ 200 √ √ √ 300 √ √ 85 √ 98 √ (1)估計顧客同時購買乙和丙的概率; (2)估計顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率; (3)如果顧客購買了甲,則該顧客同時購買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大? 解:(1)從統(tǒng)計表可以看出,在這1 000位顧客中有200位顧客同時購買了乙和丙,所以顧客同時購買乙和丙的概率可以估計為=0.2. (2)從統(tǒng)計表可以看出,在這1 000位顧客中,有100位顧客同時購買了甲、丙、丁,另有200位顧客同時購買了甲、乙、丙,其他顧客最多購買了2種商品,所以顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率可以估計為=0.3. (3)與(1)同理,可得: 顧客同時購買甲和乙的概率可以估計為=0.2, 顧客同時購買甲和丙的概率可以估計為=0.6, 顧客同時購買甲和丁的概率可以估計為=0.1, 所以,如果顧客購買了甲,則該顧客同時購買丙的可能性最大. 2.以青蒿素類藥物為主的聯合療法已經成為世界衛(wèi)生組織推薦的抗瘧疾標準療法,目前,國內青蒿人工種植發(fā)展迅速,調查表明,人工種植的青蒿的長勢與海拔高度、土壤酸堿度、空氣濕度的指標有極強的相關性,現將這三項的指標分別記為x,y,z,并對它們進行量化:0表示不合格,1表示臨界合格,2表示合格,再用綜合指標ω=x+y+z評定人工種植的青蒿的長勢等級:若ω≥4,則長勢為一級;若2≤ω≤3,則長勢為二級;若0≤ω≤1,則長勢為三級.為了了解目前人工種植的青蒿的長勢情況,研究人員隨機抽取了10個青蒿人工種植地,得到如下結果: 種植地編號 A1 A2 A3 A4 A5 (x,y,z) (0,1,0) (1,2,1) (2,1,1) (2,2,2) (0,1,1) 種植地編號 A6 A7 A8 A9 A10 (x,y,z) (1,1,2) (2,1,2) (2,0,1) (2,2,1) (0,2,1) (1)若該地有青蒿人工種植地180個,試估計這些種植地中長勢等級為三級的個數; (2)從長勢等級為一級的青蒿人工種植地中隨機抽取2個,求這2個人工種植地的綜合指標ω均為4的概率. 解:(1)計算10個青蒿人工種植地的綜合指標,可得下表: 編號 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 綜合指標 1 4 4 6 2 4 5 3 5 3 由上表可知,長勢等級為三級的種植地只有A1一個,其頻率為,用樣本的頻率估計總體的頻率,可估計這些種植地中長勢等級為三級的個數約為180=18. (2)由(1)可知,長勢等級是一級的青蒿人工種植地有A2,A3,A4,A6,A7,A9,共6個,從中隨機抽取2個,所有的可能結果為(A2,A3),(A2,A4),(A2,A6),(A2,A7),(A2,A9),(A3,A4),(A3,A6),(A3,A7),(A3,A9),(A4,A6),(A4,A7),(A4,A9),(A6,A7),(A6,A9),(A7,A9),共計15個,綜合指標ω=4的有A2,A3,A6,共3個,則符合題意的可能結果為(A2,A3),(A2,A6),(A3,A6),共3個,故所求概率P==.- 配套講稿:
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