2020高考數(shù)學刷題首選卷 考點測試68 坐標系與參數(shù)方程（理）（含解析）.docx

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考點測試68　坐標系與參數(shù)方程 高考概覽 考綱研讀 1．了解坐標系的作用，了解在平面直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況 2．了解極坐標的基本概念，會在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，能進行極坐標和直角坐標的互化 3．能在極坐標系中給出簡單圖形表示的極坐標方程 4．了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義 5．能選擇適當?shù)膮?shù)寫出直線、圓和橢圓的參數(shù)方程 一、基礎小題 1．參數(shù)方程為(0≤t≤5)的曲線為(　　) A．線段 B．雙曲線的一支 C．圓弧 D．射線 答案　A 解析　化為普通方程為x＝3(y＋1)＋2，即x－3y－5＝0，由于x＝3t2＋2∈[2，77]，故曲線為線段．故選A． 2．直線(t為參數(shù))的傾斜角為(　　) A．30 B．60 C．90 D．135 答案　D 解析　將直線參數(shù)方程化為普通方程為x＋y－1＝0，其斜率k＝－1，故傾斜角為135．故選D． 3．在極坐標系中，過點作圓ρ＝4sinθ的切線，則切線的極坐標方程是(　　) A．ρsinθ＝2 B．ρcosθ＝2 C．ρsin＝2 D．ρcos＝2 答案　B 解析　ρ＝4sinθ的直角坐標方程為x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，而點化為直角坐標是(2，2)，過(2，2)作圓的切線，其方程為x＝2，即ρcosθ＝2．故選B． 4．在極坐標系中，過圓ρ＝6cosθ的圓心，且垂直于極軸的直線的極坐標方程為________． 答案　ρcosθ＝3 解析　把ρ＝6cosθ兩邊同乘ρ，得ρ2＝6ρcosθ，所以圓的普通方程為x2＋y2－6x＝0，即(x－3)2＋y2＝9，圓心為(3，0)，故所求直線的極坐標方程為ρcosθ＝3． 5．在極坐標系中，直線ρsin＝2被圓ρ＝4所截得的弦長為________． 答案　4 解析　分別將直線與圓的極坐標方程化成直角坐標方程為x＋y－2＝0，x2＋y2＝16，則圓心O到直線x＋y－2＝0的距離d＝＝2，半弦長為＝2，所以弦長為4． 6．在平面直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．曲線C1的極坐標方程為ρ(cosθ＋sinθ)＝－2，曲線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則C1與C2交點的直角坐標為________． 答案　(2，－4) 解析　曲線C1的直角坐標方程為x＋y＝－2，曲線C2的普通方程為y2＝8x，由得所以C1與C2交點的直角坐標為(2，－4)． 二、高考小題 7．(2018北京高考)在極坐標系中，直線ρcosθ＋ρsinθ＝a(a>0)與圓ρ＝2cosθ相切，則a＝________． 答案　1＋ 解析　由可將直線ρcosθ＋ρsinθ＝a化為x＋y－a＝0，將ρ＝2cosθ，即ρ2＝2ρcosθ化為x2＋y2＝2x，整理成標準方程為(x－1)2＋y2＝1．又∵直線與圓相切，∴圓心(1，0)到直線x＋y－a＝0的距離d＝＝1，解得a＝1，∵a>0，∴a＝1＋． 8．(2018天津高考)已知圓x2＋y2－2x＝0的圓心為C，直線(t為參數(shù))與該圓相交于A，B兩點，則△ABC的面積為________． 答案　 解析　由題意可得圓的標準方程為(x－1)2＋y2＝1，直線的直角坐標方程為x＋y－2＝0，則圓心到直線的距離d＝＝，由弦長公式可得|AB|＝2＝，則S△ABC＝＝． 9．(2017北京高考)在極坐標系中，點A在圓ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0上，點P的坐標為(1，0)，則|AP|的最小值為________． 答案　1 解析　由ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得 x2＋y2－2x－4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝1， 圓心坐標為C(1，2)，半徑長為1． ∵點P的坐標為(1，0)，∴點P在圓C外． 又∵點A在圓C上，∴|AP|min＝|PC|－1＝2－1＝1． 10．(2017天津高考)在極坐標系中，直線4ρcos＋1＝0與圓ρ＝2sinθ的公共點的個數(shù)為________． 答案　2 解析　由4ρcos＋1＝0得2ρcosθ＋2ρsinθ＋1＝0，故直線的直角坐標方程為2x＋2y＋1＝0． 由ρ＝2sinθ得ρ2＝2ρsinθ， 故圓的直角坐標方程為x2＋y2＝2y， 即x2＋(y－1)2＝1．圓心為(0，1)，半徑為1． ∵圓心到直線2x＋2y＋1＝0的距離 d＝＝＜1， ∴直線與圓相交，有兩個公共點． 三、模擬小題 11．(2018北京通州月考)下面直線中，平行于極軸且與圓ρ＝2cosθ相切的是(　　) A．ρcosθ＝1 B．ρsinθ＝1 C．ρcosθ＝2 D．ρsinθ＝2 答案　B 解析　由ρ＝2cosθ得ρ2＝2ρcosθ，即x2＋y2＝2x，所以圓的標準方程為(x－1)2＋y2＝1，所以圓心坐標為(1，0)，半徑為1．與x軸平行且與圓相切的直線方程為y＝1或y＝－1，則極坐標方程為ρsinθ＝1或ρsinθ＝－1，所以選B． 12．(2018合肥調研)已知圓C的參數(shù)方程為 (α為參數(shù))，當圓心C到直線kx＋y＋4＝0的距離最大時，k的值為(　　) A． B． C．－ D．－ 答案　D 解析　⊙C的直角坐標方程為(x＋1)2＋(y－1)2＝1，∴圓心C(－1，1)，又直線kx＋y＋4＝0過定點A(0，－4)，故當CA與直線kx＋y＋4＝0垂直時，圓心C到直線的距離最大，∵kCA＝－5，∴－k＝，∴k＝－．選D． 一、高考大題 1．(2018全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中，曲線C1的方程為y＝k|x|＋2．以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ2＋2ρcosθ－3＝0． (1)求C2的直角坐標方程； (2)若C1與C2有且僅有三個公共點，求C1的方程． 解　(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得C2的直角坐標方程為(x＋1)2＋y2＝4． (2)由(1)知C2是圓心為A(－1，0)，半徑為2的圓． 由題設知，C1是過點B(0，2)且關于y軸對稱的兩條射線，曲線C1的方程為y＝記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2．由于B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個公共點等價于l1與C2只有一個公共點且l2與C2有兩個公共點，或l2與C2只有一個公共點且l1與C2有兩個公共點． 當l1與C2只有一個公共點時，A到l1所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝－或k＝0． 經(jīng)檢驗，當k＝0時，l1與C2沒有公共點；當k＝－時，l1與C2只有一個公共點，l2與C2有兩個公共點． 當l2與C2只有一個公共點時，A到l2所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝0或k＝． 經(jīng)檢驗，當k＝0時，l1與C2沒有公共點；當k＝時，l2與C2沒有公共點． 綜上，所求C1的方程為y＝－|x|＋2． 2．(2018全國卷Ⅱ)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (1)求C和l的直角坐標方程； (2)若曲線C截直線l所得線段的中點坐標為(1，2)，求l的斜率． 解　(1)曲線C的直角坐標方程為＋＝1． 當cosα≠0時，l的直角坐標方程為y＝tanαx＋2－tanα，當cosα＝0時，l的直角坐標方程為x＝1． (2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標方程，整理得關于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0．① 因為曲線C截直線l所得線段的中點(1，2)在C內，所以①有兩個解，設為t1，t2，則t1＋t2＝0． 又由①得t1＋t2＝－，故2cosα＋sinα＝0，于是直線l的斜率k＝tanα＝－2． 3．(2018全國卷Ⅲ)在平面直角坐標系xOy中，⊙O的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，過點(0，－)且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A，B兩點． (1)求α的取值范圍； (2)求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程． 解　(1)⊙O的直角坐標方程為x2＋y2＝1． 當α＝時，l與⊙O交于兩點． 當α≠時，記tanα＝k，則l的方程為y＝kx－．l與⊙O交于兩點當且僅當<1，解得k<－1或k>1， 即α∈，或α∈，．綜上，α的取值范圍是，． (2)l的參數(shù)方程為t為參數(shù)，<α<． 設A，B，P對應的參數(shù)分別為tA，tB，tP，則tP＝，且tA，tB滿足t2－2tsinα＋1＝0． 于是tA＋tB＝2sinα，tP＝sinα． 又點P的坐標(x，y)滿足 所以點P的軌跡的參數(shù)方程是 α為參數(shù)，<α<． 4．(2017全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (1)若a＝－1，求C與l的交點坐標； (2)若C上的點到l距離的最大值為，求a． 解　(1)曲線C的普通方程為＋y2＝1． 當a＝－1時，直線l的普通方程為x＋4y－3＝0． 由 解得或 從而C與l的交點坐標為(3，0)，－，． (2)直線l的普通方程為x＋4y－a－4＝0，故C上的點(3cosθ，sinθ)到l的距離為d＝． 當a≥－4時，d的最大值為． 由題設得＝，所以a＝8； 當a＜－4時，d的最大值為． 由題設得＝， 所以a＝－16． 綜上，a＝8或a＝－16． 5．(2017全國卷Ⅱ)在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為ρcosθ＝4． (1)M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足|OM||OP|＝16，求點P的軌跡C2的直角坐標方程； (2)設點A的極坐標為，點B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值． 解　(1)設P的極坐標為(ρ，θ)(ρ>0)，M的極坐標為(ρ1，θ)(ρ1>0)． 由題設知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝． 由|OM||OP|＝16得C2的極坐標方程為ρ＝4cosθ(ρ>0)． 因此C2的直角坐標方程為(x－2)2＋y2＝4(x≠0)． (2)設點B的極坐標為(ρB，α)(ρB>0)． 由題設知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB的面積 S＝|OA|ρBsin∠AOB＝4cosα ＝2≤2＋． 當α＝－時，S取得最大值2＋． 所以△OAB面積的最大值為2＋． 二、模擬大題 6．(2018河南名校聯(lián)盟聯(lián)考)在平面直角坐標系xOy中，圓C的直角坐標方程為x2＋(y－1)2＝1．以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρ(cosθ＋sinθ)＝5． (1)求圓C的極坐標方程和直線l的直角坐標方程； (2)在圓上找一點A，使它到直線l的距離最小，并求點A的極坐標． 解　(1)x2＋(y－1)2＝1即x2＋y2－2y＝0． 因為ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y(tǒng)， 所以圓C的極坐標方程為ρ2＝2ρsinθ，即ρ＝2sinθ． ρ(cosθ＋sinθ)＝5即ρcosθ＋ρsinθ＝5， 因為ρcosθ＝x，ρsinθ＝y(tǒng)， 所以直線l的直角坐標方程為y＝－x＋5． (2)曲線C：x2＋(y－1)2＝1是以C(0，1)為圓心，1為半徑的圓． 設圓上點A(x0，y0)到直線l：y＝－x＋5的距離最短，所以圓C在點A處的切線與直線l：y＝－x＋5平行． 即直線CA與l的斜率的乘積等于－1，即(－)＝－1．① 因為點A在圓上，所以x＋(y0－1)2＝1，② 聯(lián)立①②可解得x0＝－，y0＝或x0＝，y0＝． 所以點A的坐標為－，或，． 又由于圓上點A到直線l：y＝－x＋5的距離最小， 所以點A的坐標為，， 點A的極徑為＝，極角θ滿足tanθ＝且θ為第一象限角，則可取θ＝． 所以點A的極坐標為，． 7．(2019福建福州四校模擬)在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，直線C2的方程為y＝x．以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系． (1)求曲線C1和直線C2的極坐標方程； (2)若直線C2與曲線C1交于A，B兩點，求＋． 解　(1)由曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，得曲線C1的普通方程為(x－2)2＋(y－2)2＝1， 則C1的極坐標方程為ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋7＝0， 由于直線C2過原點，且傾斜角為，故其極坐標方程為θ＝(ρ∈R)． (2)由得ρ2－(2＋2)ρ＋7＝0，設A，B對應的極徑分別為ρ1，ρ2，則ρ1＋ρ2＝2＋2，ρ1ρ2＝7， ∴＋＝＝＝． 8．(2018河南鄭州二模)在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，點A的極坐標為，，直線l的極坐標方程為ρcosθ－＝a，且l過點A，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))． (1)求曲線C1上的點到直線l的距離的最大值； (2)過點B(－1，1)與直線l平行的直線l1與曲線C1交于M，N兩點，求|BM||BN|的值． 解　(1)由直線l過點A可得cos－＝a， 故a＝， ∴易得直線l的直角坐標方程為x＋y－2＝0． 根據(jù)點到直線的距離公式可得曲線C1上的點(2cosθ，sinθ)到直線l的距離d＝＝，其中sinφ＝，cosφ＝， ∴dmax＝＝． (2)由(1)知直線l的傾斜角為， ∴直線l1的參數(shù)方程為y＝(t為參數(shù))． 又易知曲線C1的普通方程為＋＝1， 把直線l1的參數(shù)方程代入曲線C1的普通方程可得t2＋7t－5＝0， 設M，N兩點對應的參數(shù)為t1，t2， ∴t1t2＝－，依據(jù)參數(shù)t的幾何意義可知|BM||BN|＝|t1t2|＝． 9．(2018山西太原二模)在平面直角坐標系xOy中，曲線C1過點P(a，1)，其參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a∈R)，以O為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0． (1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標方程； (2)已知曲線C1和曲線C2交于A，B兩點，且|PA|＝2|PB|，求實數(shù)a的值． 解　(1)C1的參數(shù)方程為消參得普通方程為x－y－a＋1＝0，C2的極坐標方程為ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0，兩邊同乘ρ得ρ2cos2θ＋4ρcosθ－ρ2＝0，得y2＝4x． 所以曲線C2的直角坐標方程為y2＝4x． (2)曲線C1的參數(shù)方程可轉化為(t為參數(shù)，a∈R)，代入曲線C2：y2＝4x，得t2－t＋1－4a＝0，由Δ＝(－)2－4(1－4a)>0，得a>0， 設A，B對應的參數(shù)分別為t1，t2， 由|PA|＝2|PB|得|t1|＝2|t2|，即t1＝2t2或t1＝－2t2， 當t1＝2t2時，解得a＝； 當t1＝－2t2時，解得a＝， 綜上，a＝或． 10．(2018河北衡水中學模擬)在極坐標系中，曲線C1的極坐標方程是ρ＝，在以極點為原點O，極軸為x軸正半軸(兩坐標系取相同的單位長度)的直角坐標系xOy中，曲線C2的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (1)求曲線C1的直角坐標方程與曲線C2的普通方程； (2)將曲線C2經(jīng)過伸縮變換后得到曲線C3，若M，N分別是曲線C1和曲線C3上的動點，求|MN|的最小值． 解　(1)∵C1的極坐標方程是ρ＝， ∴4ρcosθ＋3ρsinθ＝24， ∴4x＋3y－24＝0， 故C1的直角坐標方程為4x＋3y－24＝0． ∵曲線C2的參數(shù)方程為∴x2＋y2＝1， 故C2的普通方程為x2＋y2＝1． (2)將曲線C2經(jīng)過伸縮變換后得到曲線C3，則曲線C3的參數(shù)方程為(α為參數(shù))．設N(2cosα，2sinα)，則點N到曲線C1的距離 d＝ ＝ ＝其中φ滿足tanφ＝． 當sin(α＋φ)＝1時，d有最小值， 所以|MN|的最小值為．