2020版高中數(shù)學 第二章 數(shù)列 專題突破三 數(shù)列通項公式的求法學案（含解析）新人教B版必修5.docx

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專題突破三　數(shù)列通項公式的求法 求數(shù)列的通項公式，是數(shù)列問題中的一類重要題型，在數(shù)列學習和考試中占有很重要的位置，本專題就來談談數(shù)列通項公式的求法. 一、通過數(shù)列前若干項歸納出數(shù)列的一個通項公式 例1　由數(shù)列的前n項，寫出通項公式： (1)3,5,3,5,3,5，…； (2)，，，，，…； (3)2，，，，，…； (4)，，，，，…. 解　(1)這個數(shù)列前6項構成一個擺動數(shù)列，奇數(shù)項為3，偶數(shù)項為5.所以它的一個通項公式為an＝4＋(－1)n，n∈N＋. (2)數(shù)列中的項以分數(shù)形式出現(xiàn)，分子為項數(shù)，分母比分子大1，所以它的一個通項公式為an＝，n∈N＋. (3)數(shù)列可化為1＋1,2＋，3＋，4＋，5＋，…， 所以它的一個通項公式為an＝n＋，n∈N＋. (4)數(shù)列可化為，，，，，…， 所以它的一個通項公式為an＝，n∈N＋. 反思感悟　這類數(shù)列通常是由基本數(shù)列如等差數(shù)列、等比數(shù)列通過加減乘除運算得到，故解決這類問題可以根據(jù)所給數(shù)列的特點(遞增及增長速度、遞減及遞減速度、是否擺動數(shù)列)聯(lián)想基本數(shù)列，再考察它與基本數(shù)列的關系．需要注意的是，對于無窮數(shù)列，利用前若干項歸納出的通項公式屬于“猜想”，而且表達式不一定唯一． 跟蹤訓練1　由數(shù)列的前幾項，寫出通項公式： (1)1，－7,13，－19,25，…； (2)，，，，，…； (3)1，－，，－，…. 解　(1)數(shù)列每一項的絕對值構成一個以1為首項，6為公差的等差數(shù)列，且奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，所以它的一個通項公式為an＝(－1)n+1(6n－5)，n∈N＋. (2)數(shù)列化為，，，，，…，分子，分母分別構成等差數(shù)列，所以它的一個通項公式為an＝，n∈N＋. (3)數(shù)列化為，－，，－，…， 所以數(shù)列的一個通項公式為an＝(－1)n+1，n∈N＋. 二、利用遞推公式求通項公式 命題角度1　累加、累乘 例2　(1)數(shù)列{an}滿足a1＝1，對任意的n∈N＋都有an＋1＝a1＋an＋n，求通項公式； (2)已知數(shù)列{an}滿足a1＝，an＋1＝an，求an. 解　(1)∵an＋1＝an＋n＋1，∴an＋1－an＝n＋1， 即a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)．等式兩邊同時相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n(n≥2)． 即an＝a1＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝. 又a1＝1也適合上式，∴an＝，n∈N＋. (2)由條件知＝，分別令n＝1,2,3，…，n－1， 代入上式得(n－1)個等式，累乘，即…＝…(n≥2)． ∴＝，又∵a1＝，∴an＝. 又a1＝也適合上式，∴an＝，n∈N＋. 反思感悟　形如an＋1＝an＋f(n)的遞推公式求通項可以使用疊加法，步驟如下： 第一步　將遞推公式寫成an＋1－an＝f(n)； 第二步　當n≥2時，依次寫出an－an－1，…，a2－a1，并將它們疊加起來； 第三步　得到an－a1的值，解出an； 第四步　檢驗a1是否滿足所求通項公式，若成立，則合并；若不成立，則寫出分段形式．疊乘法類似． 跟蹤訓練2　在數(shù)列{an}中，a1＝1，an－an－1＝n－1(n＝2,3,4，…)，求{an}的通項公式． 解　∵當n＝1時，a1＝1， 當n≥2時，這n－1個等式累加得， an－a1＝1＋2＋…＋(n－1)＝， 故an＝＋a1＝且a1＝1也滿足該式， ∴an＝(n∈N＋)． 命題角度2　構造等差(比)數(shù)列 例3　已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝3an＋2，且a1＝1，則an＝________. 答案　23n-1－1 解析　設an＋1＋A＝3(an＋A)，化簡得an＋1＝3an＋2A. 又an＋1＝3an＋2，∴2A＝2，即A＝1. ∴an＋1＋1＝3(an＋1)，即＝3. ∴數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列，首項為a1＋1＝2，公比為3. 則an＋1＝23n-1，即an＝23n-1－1. 反思感悟　形如an＋1＝pan＋q(其中p，q為常數(shù)，且pq(p－1)≠0)可用待定系數(shù)法求得通項公式，步驟如下： 第一步　假設遞推公式可改寫為an＋1＋t＝p(an＋t)； 第二步　由待定系數(shù)法，解得t＝； 第三步　寫出數(shù)列的通項公式； 第四步　寫出數(shù)列{an}通項公式． 跟蹤訓練3　已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝2an＋35n，a1＝6，求數(shù)列{an}的通項公式． 解　設an＋1＋λ5n+1＝2(an＋λ5n)， ① 將an＋1＝2an＋35n代入①式， 得2an＋35n＋λ5n+1＝2an＋2λ5n， 等式兩邊消去2an，得35n＋λ5n+1＝2λ5n， 兩邊除以5n，得3＋5λ＝2λ，則λ＝－1， 代入①式得an＋1－5n+1＝2(an－5n)． ② 由a1－51＝6－5＝1≠0及②式得an－5n≠0， 則＝2， 則數(shù)列{an－5n}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列， 則an－5n＝2n-1，故an＝2n-1＋5n(n∈N＋)． 命題角度3　預設階梯轉化為等差(比)數(shù)列 例4　在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N＋. (1)證明：數(shù)列{an－n}是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項公式． (1)證明　由an＋1＝4an－3n＋1， 得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N＋. 因為a1－1＝1≠0，所以an－n≠0，所以＝4， 所以數(shù)列{an－n}是首項為1，公比為4的等比數(shù)列． (2)解　由(1)，可知an－n＝4n-1，n∈N＋， 于是數(shù)列{an}的通項公式為an＝4n-1＋n，n∈N＋. 反思感悟　課程標準對遞推公式要求不高，故對遞推公式的考查也比較簡單，一般先構造好等差(比)數(shù)列讓學者證明，再在此基礎上求出通項公式，故同學們不必在此處挖掘過深． 跟蹤訓練4　在數(shù)列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N＋)． (1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項公式． (1)證明　由3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)， 整理得－＝3(n≥2)， 所以數(shù)列是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列． (2)解　由(1)可得＝1＋3(n－1)＝3n－2， 所以an＝，n∈N＋. 三、利用前n項和Sn與an的關系求通項公式 例5　已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn＝2an－4，n∈N＋，則an等于(　　) A．2n+1B．2nC．2n-1D．2n-2 答案　A 解析　因為Sn＝2an－4，所以n≥2時，Sn-1＝2an-1－4，兩式相減可得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an-1，整理得an＝2an－1，因為S1＝a1＝2a1－4，即a1＝4，所以＝2.所以數(shù)列{an}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，則an＝42n-1＝2n+1，故選A. 反思感悟　已知Sn＝f(an)或Sn＝f(n)的解題步驟： 第一步　利用Sn滿足條件p，寫出當n≥2時，Sn－1的表達式； 第二步　利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求出an或者轉化為an的遞推公式的形式； 第三步　若求出n≥2時的{an}的通項公式，則根據(jù)a1＝S1求出a1，并代入n≥2時的{an}的通項公式進行驗證，若成立，則合并；若不成立，則寫出分段形式．如果求出的是{an}的遞推公式，則問題化歸為例3形式的問題． 跟蹤訓練5　在數(shù)列{an}中，a1＝1，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝an＋1(n∈N＋)，求數(shù)列{an}的通項公式an. 解　由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝an＋1，得 當n≥2時，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝an， 兩式作差得nan＝an＋1－an， 得(n＋1)an＋1＝3nan(n≥2)， 即數(shù)列{nan}從第二項起是公比為3的等比數(shù)列，且a1＝1，a2＝1，于是2a2＝2，故當n≥2時，nan＝23n-2. 于是an＝ 1．已知數(shù)列的前4項為2,0,2,0，則依此歸納該數(shù)列的通項不可能是(　　) A．an＝(－1)n-1＋1 B．an＝ C．an＝2sin D．an＝cos(n－1)π＋1 答案　C 解析　對n＝1,2,3,4進行驗證，知an＝2sin不合題意，故選C. 2．數(shù)列0，，，，…的一個通項公式為(　　) A．an＝(n∈N＋) B．an＝(n∈N＋) C．an＝(n∈N＋) D．an＝(n∈N＋) 答案　C 解析　注意到分子0,2,4,6都是偶數(shù)，對照選項排除即可． 3．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＝an－1(n≥2)，則an＝________. 答案　 解析　因為an＝an－1(n≥2)， 所以an－1＝an－2，…，a2＝a1. 以上(n－1)個式子相乘得 an＝a1…＝＝. 當n＝1時，a1＝1也滿足an＝. 綜上an＝. 4．數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝n2＋3n＋1，n∈N＋，則它的通項公式為________． 答案　an＝ 解析　當n＝1時，a1＝S1＝5； 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n＋2. 故數(shù)列{an}的通項公式為an＝ 5．在等比數(shù)列{an}中，若公比q＝4，且前三項之和等于21，則該數(shù)列的通項公式是________． 答案　an＝4n-1 解析　依題意a1＋4a1＋42a1＝21， 所以a1＝1， 所以an＝a1qn-1＝4n-1. 6．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n2－3n.求{an}的通項公式． 解　因為Sn＝2n2－3n， 所以當n≥2時， Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)＝2n2－7n＋5， 所以an＝Sn－Sn－1＝4n－5，n≥2， 又當n＝1時，a1＝S1＝－1，滿足an＝4n－5， 所以an＝4n－5，n∈N＋. 7．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.證明{an}是等比數(shù)列，并求其通項公式． 解　由題意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝，a1≠0. 由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1， 得an＋1＝λan＋1－λan， 即an＋1(λ－1)＝λan. 由a1≠0，λ≠0得an≠0， 所以＝. 所以{an}是首項為，公比為的等比數(shù)列， 所以an＝n－1，n∈N＋. 一、選擇題 1．已知數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2n(n∈N＋)，則a100的值是(　　) A．9900B．9902C．9904D．11000 答案　B 解析　a100＝(a100－a99)＋(a99－a98)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝2(99＋98＋…＋2＋1)＋2 ＝2＋2＝9 902. 2．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝，則這個數(shù)列的第n項為(　　) A．2n－1B．2n＋1C.D. 答案　C 解析　∵an＋1＝，a1＝1，∴－＝2. ∴為等差數(shù)列，公差為2，首項＝1. ∴＝1＋(n－1)2＝2n－1， ∴an＝. 3．已知數(shù)列{an}的首項為a1＝1，且滿足an＋1＝an＋，則此數(shù)列的通項公式an等于(　　) A．2nB．n(n＋1)C.D. 答案　C 解析　∵an＋1＝an＋，∴2n+1an＋1＝2nan＋2， 即2n+1an＋1－2nan＝2. 又21a1＝2， ∴數(shù)列{2nan}是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列， ∴2nan＝2＋(n－1)2＝2n， ∴an＝. 4．已知數(shù)列{an}滿足a＝a＋4，且a1＝1，an>0，則an等于(　　) A.B.C.D．8n 答案　A 解析　∵a－a＝4， ∴數(shù)列{a}是等差數(shù)列，且首項a＝1，公差d＝4， ∴a＝1＋(n－1)4＝4n－3. 又an>0，∴an＝. 5．已知數(shù)列{an}滿足：Sn＝1－an(n∈N＋)，其中Sn為數(shù)列{an}的前n項和，則{an}的通項公式an等于(　　) A.B.nC．21-2nD．2n 答案　B 解析　因為Sn＝1－an， ① 所以Sn＋1＝1－an＋1， ② ②－①得an＋1＝－an＋1＋an，所以an＋1＝an. n＝1時，a1＝1－a1，解得a1＝， 所以{an}是首項為，公比為的等比數(shù)列， 所以an＝n-1＝n. 6．某種細胞開始時有2個，一小時后分裂為4個并死去1個，兩小時后分裂為6個并死去1個，……，按照這種規(guī)律進行下去，100小時后細胞的存活數(shù)為(　　) A．2100－1B．2100＋1C．299－1D．299＋1 答案　B 解析　由題意得∴＝2， ∴an＝2n-1＋1，∴a101＝2101-1＋1＝2100＋1. 二、填空題 7．如果數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2an－1，則此數(shù)列的通項公式an＝________. 答案　2n-1 解析　當n＝1時，S1＝2a1－1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1. 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)， ∴an＝2an－1，∴{an}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列， ∴an＝2n-1，n∈N＋. 8．等比數(shù)列{an}中，a1，a2，a3分別是下表一、二、三行中的某一個數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 則數(shù)列{an}的通項公式為________． 答案　an＝23n-1 解析　當a1＝3時，不合題意； 當a1＝2時，當且僅當a2＝6，a3＝18時，符合題意； 當a1＝10時，不合題意． 因此a1＝2，a2＝6，a3＝18. 所以公比q＝3，故an＝23n-1. 9．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝an，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________. 答案　n 解析　當n≥2時，an＝…a1＝…＝n， n＝1時，a1＝1也符合此式． 10．數(shù)列{an}滿足a1＝1，an－an－1＝(n≥2且n∈N＋)，則數(shù)列{an}的通項公式為an＝________. 答案　2－ 解析　∵an－an－1＝(n≥2)，a1＝1， ∴a2－a1＝＝1－， a3－a2＝＝－， a4－a3＝＝－，…， an－an－1＝＝－. 以上各式累加，得 an－a1＝＋＋…＋＝1－. ∴an＝a1＋1－＝2－，當n＝1時，2－＝1＝a1， ∴an＝2－，故數(shù)列{an}的通項公式為an＝2－. 11．若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝an＋，則{an}的通項公式是an＝________. 答案　(－2)n-1 解析　當n＝1時，a1＝1； 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1， 故＝－2，故an＝(－2)n-1. 三、解答題 12．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，數(shù)列{bn}中，b1＝1，且點(bn＋1，bn)在直線y＝x－1上． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)求數(shù)列{bn}的通項公式． 解　(1)∵an＋1＝2an＋3， ∴an＋1＋3＝2(an＋3)， ∴＝2， 又∵a1＋3＝4， ∴數(shù)列{an＋3}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列， ∴an＋3＝42n-1＝2n＋1，∴an＝2n+1－3，n∈N＋. (2)∵(bn＋1，bn)在直線y＝x－1上， ∴bn＝bn＋1－1，即bn＋1－bn＝1，又b1＝1， ∴數(shù)列{bn}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列， ∴bn＝n，n∈N＋. 13．已知Sn＝4－an－，求an與Sn. 解　∵Sn＝4－an－， ∴Sn－1＝4－an－1－，n≥2， 當n≥2時，Sn－Sn－1＝an＝an－1－an＋－. ∴an＝an－1＋n-1. ∴－＝2， ∴2nan－2n-1an－1＝2， ∴{2nan}是等差數(shù)列，d＝2，首項為2a1. ∵a1＝S1＝4－a1－＝2－a1， ∴a1＝1，∴2nan＝2＋2(n－1)＝2n. ∴an＝nn-1，n∈N＋， ∴Sn＝4－an－＝4－n－＝4－. 14．若數(shù)列{an}中，a1＝3且an＋1＝a(n是正整數(shù))，則它的通項公式an為________________． 答案　an＝ 解析　由題意知an>0，將an＋1＝a兩邊取對數(shù)得lg an＋1＝2lg an，即＝2，所以數(shù)列{lg an}是以lg a1＝lg 3為首項，2為公比的等比數(shù)列，lg an＝(lg a1)2n－1＝lg ，即an＝. 15．已知數(shù)列{an}的首項a1＝1，an＋1＝(n∈N＋)． (1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列． (2)求{an}的通項an. (1)證明　因為an＋1＝， 所以＝＝＋. 所以－＝. 又a1＝1，所以－＝， 所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列． (2)解　由(1)知－＝n-1＝， 即＝＋，所以an＝.