江蘇省2019高考數學二輪復習 考前回扣5 立體幾何學案.doc

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5.立體幾何 1．空間幾何體表面積和體積的求法 幾何體的表面積是各個面的面積之和，組合體的表面積應注意重合部分的處理，求幾何體的體積常用公式法、割補法、等積變換法． [問題1]　底面邊長為2，高為1的正三棱錐的表面積為________． 答案　3 解析　由題意作出圖形如圖． ∵三棱錐P－ABC是正三棱錐，頂點P在底面上的射影D是底面的中心，取BC的中點F，連結PF，DF，PD. 在△PDF中，PD＝1，DF＝， ∴PF＝ ＝， ∴棱錐的側面積S側＝32＝2， ∵底面積為，∴表面積為3. 2．空間平行問題的轉化關系 平行問題的核心是線線平行，證明線線平行的常用方法有：三角形的中位線、平行線分線段成比例(三角形相似)、平行四邊形等． [問題2]　下列命題正確的是________．(填序號) ①如果a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經過b的任何平面； ②如果直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內的任何直線平行； ③如果直線a，b和平面α滿足a∥α，b∥α，那么a∥b； ④如果直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，那么b∥α. 答案?、? 3．空間垂直問題的轉化關系 垂直問題的核心是線線垂直，證明線線垂直的常用方法有： 等腰三角形底邊上的中線、勾股定理、平面幾何方法等． [問題3]　已知兩個平面垂直，下列命題： ①一個平面內已知直線必垂直于另一個平面內的任意一條直線； ②一個平面內的已知直線必垂直于另一個平面的無數條直線； ③一個平面內的任一條直線必垂直于另一個平面； ④過一個平面內任意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面． 其中正確命題的個數是________． 答案　1 易錯點1　旋轉體辨識不清 例1　如圖所示(單位：cm)，求圖中陰影部分繞AB旋轉一周所形成的幾何體的體積． 易錯分析　注意這里是旋轉圖中的陰影部分，不是旋轉梯形ABCD.在旋轉的時候邊界形成一個圓臺，并在上面挖去了一個“半球”，其體積應是圓臺的體積減去半球的體積．解本題易出現的錯誤是誤以為旋轉的是梯形ABCD，在計算時沒有減掉半球的體積． 解　由題圖中數據及圓臺和球的體積公式，得 V圓臺＝π(22＋25＋52)4＝52π(cm3)， V半球＝π23＝π(cm3)． 所以旋轉體的體積為 V＝V圓臺－V半球＝52π－π＝π(cm3)． 易錯點2　線面關系把握不準 例2　設a，b為兩條直線，α，β為兩個平面，且a?α，a?β，則下列結論中正確的個數為________． ①若b?β，a∥b，則a∥β； ②若a⊥β，α⊥β，則a∥α； ③若a⊥b，b⊥α，則a∥α. 易錯分析　本題易出現的問題就是對空間點、線、面的位置關系把握不準，考慮問題不全面，不能準確把握題中的前提——a?α，a?β，對空間中的平行、垂直關系的判定和性質定理中的條件把握不準導致判斷失誤．如①中忽視已知條件中的a?β，誤以為該項錯誤等． 解析　對于①，若有b?β，a∥b，且已知a?β，所以根據線面平行的判定定理可得a∥β，故①正確；對于②，若a⊥β，α⊥β，則根據空間線面位置關系可知，a?α或a∥α，而由已知可知a?α，所以a∥α，故②正確；對于③，若a⊥b，b⊥α，所以a?α或a∥α，而由已知可得a?α，所以a∥α，故③正確． 答案　3 易錯點3　線面關系論證不嚴謹 例3　在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別為DD1，DB的中點． (1)求證：EF∥平面ABC1D1； (2)求證：EF⊥B1C. 易錯分析　利用空間線面關系的判定或性質定理證題時，推理論證一定要嚴格按照定理中的條件進行，否則出現證明過程不嚴謹的問題． 證明　(1)連結BD1，如圖所示． 在△DD1B中，E，F分別為DD1，DB的中點，則 ?EF∥平面ABC1D1. (2)ABCD－A1B1C1D1為正方體?AB⊥平面BCC1B1 ? ? ??EF⊥B1C. 1．已知α，β為兩個不同的平面，m，n為兩條不同的直線，下列命題中正確的是________．(填上所有正確命題的序號) ①若α∥β，m?α，則m∥β； ②若m∥α，n?α，則m∥n； ③若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，則m⊥β； ④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，則m⊥β. 答案?、佗? 解析?、龠@是面面平行的性質，正確；②只能確定m，n沒有公共點，有可能異面，錯誤；③當m?α時，才能保證m⊥β，錯誤；④由m⊥α，n⊥α，得m∥n，又n⊥β，所以m⊥β，正確． 2．已知一個圓錐的底面積為2π，側面積為4π，則該圓錐的體積為________． 答案　π 解析　設圓錐的底面半徑為r，母線長為l， 則解得r＝，l＝2， 所以高h＝＝， 所以V＝πr2h＝π2＝π. 3．(2018江蘇揚州中學模擬)正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長為2，側棱長為，D為BC中點，則三棱錐A－B1DC1的體積為________． 答案　1 解析?。?＝1. 4.如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3 cm，AA1＝1 cm，則三棱錐D1－A1BD的體積為________ cm3. 答案　 解析　因為在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中， AB＝3 cm，AA1＝1 cm， 所以三棱錐D1－A1BD的體積 ＝A1D1D1DAB ＝313＝(cm3)． 5．設一個正方體與底面邊長為2，側棱長為的正四棱錐的體積相等，則該正方體的棱長為________． 答案　2 解析　由題意可得正四棱錐的高為2，體積為(2)22＝8，所以正方體的體積為8，所以棱長為2. 6．α，β是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列三個命題： ①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β； ②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n； ③如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等． 其中正確的命題有________．(填寫所有正確命題的序號) 答案?、冖? 解析　當m⊥n，m⊥α，n∥β時，兩個平面的位置關系不確定，故①錯誤，經判斷知②③均正確，故正確答案為②③. 7．將半徑為5的圓分割成面積之比為1∶2∶3的三個扇形作為三個圓錐的側面，設這三個圓錐的底面半徑依次為r1，r2，r3，則r1＋r2＋r3＝________. 答案　5 解析　由題意可得三個扇形的弧長分別為，，5π，分別等于三個圓錐底面圓的周長，則r1＝，r2＝，r3＝，所以r1＋r2＋r3＝＋＋＝5. 8.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側面ABB1A1，CBB1C1都是矩形，AB＝BC＝2，BB1＝4，∠ABC＝60，D為BC的中點，則四面體ADC1A1的體積為________． 答案　 解析　由側面ABB1A1，CBB1C1都是矩形， 得BB1⊥AB，BB1⊥BC， 又AB，BC是底面ABC內的兩條相交直線， 所以BB1⊥平面ABC， 則三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱， 又AB＝BC＝2，∠ABC＝60， 則△ABC是邊長為2的等邊三角形， 則點B到平面AA1C1的距離等于正三角形ABC的高， 又D為BC的中點， 所以點D到平面AA1C1的距離為， 則四面體ADC1A1的體積＝24＝. 9.如圖，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，AC，BD相交于點O，點E為PC的中點，OP＝OC，PA⊥PD. 求證：(1)直線PA∥平面BDE； (2)平面BDE⊥平面PCD. 證明　(1)連結OE，如圖所示． 因為O為平行四邊形ABCD對角線的交點，所以O為AC的中點． 又E為PC的中點， 所以OE∥PA. 因為OE?平面BDE，PA?平面BDE， 所以直線PA∥平面BDE. (2)因為OE∥PA，PA⊥PD，所以OE⊥PD. 因為OP＝OC，E為PC的中點，所以OE⊥PC. 又PD?平面PCD，PC?平面PCD，PC∩PD＝P， 所以OE⊥平面PCD. 因為OE?平面BDE，所以平面BDE⊥平面PCD. 10．如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠DAB＝60，點E，F分別是邊CD，CB的中點，AC∩EF＝O，沿EF將△CEF翻折到△PEF，連結PA，PB，PD，得到如圖的五棱錐P－ABFED，且PB＝. (1)求證：BD⊥PA； (2)求四棱錐P－BFED的體積． (1)證明　∵點E，F分別是邊CD，CB的中點， ∴BD∥EF. ∵菱形ABCD的對角線互相垂直，∴BD⊥AC. ∴EF⊥AC，∴EF⊥AO，EF⊥PO. ∵AO?平面POA，PO?平面POA，AO∩PO＝O， ∴EF⊥平面POA，∴BD⊥平面POA， 又PA?平面POA，∴BD⊥PA. (2)解　設AO∩BD＝H，連結BO. ∵∠DAB＝60， ∴△ABD為等邊三角形， ∴BD＝4，BH＝2，HA＝2， HO＝PO＝， 在Rt△BHO中，BO＝＝， 在△PBO中，BO2＋PO2＝10＝PB2， ∴PO⊥BO. ∵PO⊥EF，EF∩BO＝O，EF?平面BFED，BO?平面BFED，∴PO⊥平面BFED， 梯形BFED的面積S＝(EF＋BD)HO＝3， ∴四棱錐P－BFED的體積 V＝SPO＝3＝3.