(浙江專用)2019高考數(shù)學二輪復習精準提分 第二篇 重點專題分層練中高檔題得高分 第8練 三角函數(shù)的概念、三角恒等變換試題.docx
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第8練 三角函數(shù)的概念、三角恒等變換 [明晰考情] 1.命題角度:三角函數(shù)的概念和應用;利用三角恒等變換進行求值或化簡.2.題目難度:單獨考查概念和三角變換,難度為中低檔;三角恒等變換和其他知識交匯命題,難度為中檔. 考點一 任意角的三角函數(shù) 要點重組 (1)終邊相同的角:所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),構(gòu)成集合S={β|β=α+k360,k∈Z}. (2)三角函數(shù):角α的終邊與單位圓交于點P(x,y),則sinα=y(tǒng),cosα=x,tanα=(x≠0). (3)各象限角的三角函數(shù)值的符號:一全正,二正弦,三正切,四余弦. 1.在平面直角坐標系中,點O(0,0),P(6,8),將向量繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得到向量,則點Q的坐標是( ) A.(-7,-) B. (-7,) C.(-4,-2) D.(-4,2) 答案 A 解析 因為點O(0,0),P(6,8),所以=(6,8), 設=(10cosθ,10sinθ), 則cosθ=,sinθ=, 因為向量繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得到, 設Q(x,y),則x=10cos =10=-7, y=10sin=10=-, 所以點Q的坐標為,故選A. 2.已知角α的終邊經(jīng)過點P(m,-3),且cosα=-,則m等于( ) A.3B.-3C.-4D.4 答案 C 解析 由題意知,cosα==-,∴m<0,解得m=-4. 3.在平面直角坐標系xOy中,角α與角β均以Ox為始邊,它們的終邊關(guān)于y軸對稱.若sinα=,則sinβ=________. 答案 解析 由角α與角β的終邊關(guān)于y軸對稱, 可知α+β=π+2kπ(k∈Z), 所以β=2kπ+π-α(k∈Z), 所以sinβ=sinα=. 4.函數(shù)y=的定義域是__________________. 答案 ,k∈Z 考點二 三角函數(shù)的求值與化簡 要點重組 (1)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式:sin2α+cos2α=1,=tanα. (2)誘導公式:角α(k∈Z)的三角函數(shù)口訣: 奇變偶不變,符號看象限. (3)和差公式. 方法技巧 (1)三角函數(shù)求值化簡的基本思路“一角二名三結(jié)構(gòu)”;注意角的變形,看函數(shù)名稱之間的關(guān)系;觀察式子的結(jié)構(gòu)特點. (2)公式的變形使用尤其是二倍角余弦的變形是高考的熱點,sin2α=,cos2α=. 5.若sin=,則sin的值為( ) A. B.- C. D.- 答案 D 解析 ∵sin=, ∴sin=cos =cos=cos2 =1-2sin2 =1-2=-. 6.若tanα=2tan,則等于( ) A.1B.2C.3D.4 答案 C 解析 cos=cos =cos=sin, 所以原式=====3. 7.若cos=,sin=,α∈,β∈,則sin(α+β)=________. 答案 解析 ∵α∈,且cos>0, ∴-<-α<0,∵β∈, ∴<+β<, 又cos=,sin=, ∴sin=-,cos=, ∴sin(α+β)=sin =sincos-cossin =-=. 8.已知cos(2α-β)=-,sin(α-2β)=,0<β<<α<,則α+β=________. 答案 解析 因為0<β<<α<, 所以<2α<π,-<-β<0, 所以<2α-β<π. 又因為cos(2α-β)=-, 所以sin(2α-β)=. 因為0<β<<α<, 所以-<-2β<0, 所以-<α-2β<. 又因為sin(α-2β)=, 所以cos(α-2β)=. 所以cos(α+β) =cos[(2α-β)-(α-2β)] =cos(2α-β)cos(α-2β)+sin(2α-β)sin(α-2β) =-+=. 又因為<α+β<, 所以α+β=. 考點三 三角恒等變換的應用 要點重組 輔助角公式:asinα+bcosα=sin(α+φ),其中cosφ=,sinφ=. 9.函數(shù)f(x)=(sinx+cosx)(cosx-sinx)的最小正周期是( ) A. B.π C. D.2π 答案 B 解析 ∵f(x)=2sinxcosx+(cos2x-sin2x) =sin2x+cos2x=2sin,∴T=π,故選B. 10.(2018全國Ⅰ)已知角α的頂點為坐標原點,始邊與x軸的非負半軸重合,終邊上有兩點A(1,a),B(2,b),且cos2α=,則|a-b|等于( ) A.B.C.D.1 答案 B 解析 由cos2α=,得cos2α-sin2α=, ∴=,又cosα≠0,∴=, ∴tanα=,即=,∴|a-b|=.故選B. 11.設當x=θ時,函數(shù)f(x)=sinx-2cosx取得最大值,則cosθ=________. 答案?。? 解析 f(x)=sinx-2cosx ==sin(x-φ), 其中sinφ=,cosφ=. 當x-φ=2kπ+(k∈Z)時,函數(shù)f(x)取到最大值, 即當θ=2kπ++φ(k∈Z)時,函數(shù)f(x)取到最大值, 所以cosθ=-sinφ=-. 12.函數(shù)f(x)=sinx-cos的值域為________. 答案 [-,] 解析 f(x)=sinx-cos =sinx- =sinx-cosx = =sin∈[-,]. 1.若sin=,A∈,則sinA的值為( ) A. B. C.或 D. 答案 B 解析 ∵A∈,∴A+∈, ∴cos<0, ∴cos=-=-, ∴sinA=sin =sincos-cossin =-=. 2.若tan=,且-<α<0,則=________. 答案?。? 解析 由tan==,得tanα=-. 又-<α<0,所以sinα=-. 故==2sinα=-. 3.已知sinθ+cosθ=,θ∈(0,π),則tanθ的值為________. 答案 - 解析 ∵sinθ+cosθ=,θ∈(0,π), ∴(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=, ∴sinθcosθ=-, ∴(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=. 又θ∈(0,π),∴sinθ>0,cosθ<0, ∴sinθ-cosθ=, ∴sinθ=,cosθ=-, ∴tanθ=-. 解題秘籍 (1)使用平方關(guān)系求函數(shù)值,要注意角所在的象限和三角函數(shù)值的符號. (2)利用三角函數(shù)值求角要解決兩個要素:①角的某一個三角函數(shù)值;②角的范圍(盡量縮小). 1.已知點A的坐標為(4,1),將OA繞坐標原點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至OB,則點B的縱坐標為( ) A.B.C.D. 答案 D 解析 由題意知|OA|=|OB|=7,設射線OA與x軸正方向所成的角為α,顯然sinα=,cosα=, 故sin=sinαcos+cosαsin=+=, 故點B的縱坐標為|OB|sin=. 2.已知P(m,2)為角α的終邊上一點,且sinα=-,則tanα的值為( ) A. B.- C.1 D.-1 答案 D 解析 由題意知,=-, 所以故m=-2,所以tanα=-1. 3.(2018全國Ⅲ)若sinα=,則cos2α等于( ) A.B.C.-D.- 答案 B 解析 ∵sinα=,∴cos2α=1-2sin2α=1-22=. 4.等于( ) A.-B.-C.D. 答案 C 解析 由題意得 = ==sin30=. 5.已知函數(shù)f(x)=cos2x-sin2x,下列說法錯誤的是( ) A.f(x)的最小正周期為π B.直線x=是f(x)圖象的一條對稱軸 C.f(x)在上單調(diào)遞增 D.|f(x)|的值域是[0,1] 答案 C 解析 f(x)=cos2x,f(x)在上不單調(diào), ∴選項C中的結(jié)論錯誤. 6.記a=sin(cos2010),b=sin(sin2010),c=cos(sin2010),d=cos(cos2010),則a,b,c,d中最大的是( ) A.a(chǎn)B.bC.cD.d 答案 C 解析 注意到2010=3605+180+30,因此 sin2010=-sin30=-,cos2010=-cos30=-,因為-<-<0,-<-<0,0<<<,所以cos>cos>0,所以a=sin=-sin<0,b=sin=-sin<0,c=cos=cos>d=cos=cos>0,因此c最大. 7.設α∈,β∈,且tanα=,則( ) A.3α-β= B.2α-β= C.3α+β= D.2α+β= 答案 B 解析 由tanα=,得=,即sinαcosβ=cosα+cosαsinβ, ∴sin(α-β)=cosα=sin. ∵α∈,β∈, ∴α-β∈,-α∈, ∴由sin(α-β)=sin,得α-β=-α,∴2α-β=. 8.定義22矩陣=a1a4-a2a3,若f(x)=,則( ) A.f(x)圖象關(guān)于(π,0)中心對稱 B.f(x)圖象關(guān)于直線x=對稱 C.f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增 D.f(x)是周期為π的奇函數(shù) 答案 C 解析 由題中所給定義可知,f(x)=cos2x-sin2x- cos=cos2x+sin2x=2cos. 令-π+2kπ≤2x-≤2kπ,k∈Z, 得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, 所以f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增. 9.函數(shù)f(x)=cos(3x-θ)-sin(3x-θ)是奇函數(shù),則tanθ=________. 答案?。? 解析 因為函數(shù)f(x)=cos(3x-θ)-sin(3x-θ)是奇函數(shù),所以f(0)=cosθ+sinθ=0,得tanθ=-. 10.已知sin=,則cos=________. 答案 - 解析 因為sin=sin =cos=cos=, 所以cos=2cos2-1=22-1=-. 11.(2018全國Ⅱ)已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,則sin(α+β)=________. 答案?。? 解析 ∵sinα+cosβ=1,① cosα+sinβ=0,② ∴①2+②2得1+2(sinαcosβ+cosαsinβ)+1=1, ∴sinαcosβ+cosαsinβ=-, ∴sin(α+β)=-. 12.若α∈,則的最大值為______________________________. 答案 解析 ∵α∈, ∴==,且tanα>0, ∴=≤=, 當且僅當tanα=,即tanα=2(舍負)時,等號成立. 故的最大值為.- 配套講稿:
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