（天津?qū)０妫?018年高考數(shù)學(xué) 母題題源系列 專題12 直線與圓有關(guān)計(jì)算 理.doc

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母題十二 直線與圓有關(guān)計(jì)算 【母題原題1】【2018天津，理12】 已知圓的圓心為C，直線(為參數(shù))與該圓相交于A，B兩點(diǎn)，則的面積為 ． 【答案】 【解析】試題分析：由題意首先求得圓心到直線的距離，然后結(jié)合弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng)，最后求 【名師點(diǎn)睛】處理直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達(dá)，則用幾何法；若方程中含有參數(shù)，或圓心到直線的距離的表達(dá)較繁瑣，則用代數(shù)法． 【母題原題2】【2017天津，理11】 在極坐標(biāo)系中，直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為___________． 【答案】2 【解析】直線為 ，圓為 ，∵ ，∴有兩個(gè)交點(diǎn) 【名師點(diǎn)睛】再利用公式 把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，再解聯(lián)立方程組根據(jù)判別式判斷出交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，極坐標(biāo)與參數(shù)方程為選修課程，要求靈活使用公式進(jìn)行坐標(biāo)變換及方程變換． 【命題意圖】直線與圓是高中數(shù)學(xué)的C級(jí)知識(shí)點(diǎn)，是高中數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的典型體現(xiàn)． 【命題規(guī)律】 近年來(lái)，高考對(duì)直線與圓的命題，既充分體現(xiàn)自身知識(shí)結(jié)構(gòu)體系的命題形式多樣化，又保持與函數(shù)或不等式或軌跡相結(jié)合的命題思路，呈現(xiàn)出“綜合應(yīng)用，融會(huì)貫通”的特色，充分彰顯直線與圓的交匯價(jià)值． 【答題模板】解答本類題目，以2016年試題為例，一般考慮如下三步： 第一步：利用待定系數(shù)法求圓標(biāo)準(zhǔn)方程 第二步：根據(jù)圓中垂徑定理揭示等量關(guān)系 第三步：利用圓與圓位置關(guān)系、坐標(biāo)表示逐層揭示刻畫多元關(guān)系 【方法總結(jié)】 1．以動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓考查直線與圓、圓與圓位置關(guān)系，突出考查方程思想和解析法 2．以圓中直角三角形建立函數(shù)關(guān)系式或方程或不等式， 注重考查圓相關(guān)幾何性質(zhì)． 3．利用數(shù)形結(jié)合揭示與刻畫直線與圓、圓與圓位置關(guān)系，重點(diǎn)考查直線與圓的綜合應(yīng)用以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想． 1．【2018天津靜海縣一中期末考】已知圓截直線所得弦長(zhǎng)為4，則實(shí)數(shù)的值是（ ) A． －3 B． －2 C． －1 D． －4 【答案】C 2．【2018天津七校聯(lián)考】設(shè)點(diǎn)是函數(shù)的圖象上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最大值為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函數(shù)的圖象為半圓 在直線 上，所以的最大值為圓心到直線距離加半徑，即 ，選B 【名師點(diǎn)睛】與圓有關(guān)的最值問題的常見類型及解題策略 （1）與圓有關(guān)的長(zhǎng)度或距離的最值問題的解法．一般根據(jù)長(zhǎng)度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解． （2）與圓上點(diǎn)有關(guān)代數(shù)式的最值的常見類型及解法．①形如型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)和點(diǎn)的直線的斜率的最值問題；②形如型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線的截距的最值問題；③形如型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離平方的最值問題． 3．【2018天津河西區(qū)模擬】圓與圓的公共弦長(zhǎng)為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 4．【2018天津一中模擬五】已知圓：與雙曲線的一條漸近線相切，則雙曲線的離心率為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】分析：先根據(jù)雙曲線方程求得雙曲線的漸近線，進(jìn)而利用圓心到漸近線的距離為圓的半徑求得a和b的關(guān)系，進(jìn)而利用c2=a2+b2求得a和c的關(guān)系 詳解：圓C：x2+y2+2x+2y+1＝0的標(biāo)方準(zhǔn)程為（x+1）2+（y+）2=3，∴圓心坐標(biāo)為（-1，-），半徑為∵雙曲線一條漸近線為bx-ay=0與圓相切，∴圓心到漸近線的距離為，求得a=b，∴c2=a2+b2=4b2，∴e=，故選：B． 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式等．考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想的運(yùn)用． 5．【2018天津靜海縣一中期末考】若圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，則m＝(　　) A． 9 B． 19 C． 21 D． －11 【答案】A 【解析】， ， ，半徑為，圓心距為，由于兩圓外切，故，解得．所以選． 6．【2018天津七校期中聯(lián)考】已知點(diǎn)在圓和圓的公共弦上，則的最小值為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 選D 【名師點(diǎn)睛】在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤． 7．【2018天津河?xùn)|區(qū)期中考】已知圓，則其圓心和半徑分別為（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】C 【解析】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得圓心為，半徑．故選． 8．【2018天津部分區(qū)二?！恳阎本€恒過定點(diǎn)，且以為圓心，5為半徑的圓與直線相交于兩點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)為_______． 【答案】 【解析】分析：求出直線過的定點(diǎn)坐標(biāo)C，以及圓心到直線的距離d，根據(jù)直線和圓相交的弦長(zhǎng)公式 故答案為：2 【名師點(diǎn)睛】當(dāng)直線與圓相交時(shí)，弦長(zhǎng)問題屬常見的問題，最常用的手法是弦心距，弦長(zhǎng)一半，圓的半徑構(gòu)成直角三角形，運(yùn)用勾股定理解題． 9．【2018天津十二二模】以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位．已知直線極坐標(biāo)方程為，它與曲線（為參數(shù)）相交于兩點(diǎn)、，則__________． 【答案】2 【解析】分析：先利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，將極坐標(biāo)方程為化成直角坐標(biāo)方程，再將曲線的參數(shù)方程化成普通方程，最后利用直角坐標(biāo)方程的形式，利用垂徑定理及勾股定理，由圓的半徑及圓心到直線的距離，即可求出的長(zhǎng)． 詳解：，利用進(jìn)行化簡(jiǎn)，，為參數(shù)），相消去可得圓的方程為：得到圓心，半徑為，圓心到直線的距離，，線段的長(zhǎng)為，故答案為． 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)到直線距離公式以及圓的弦長(zhǎng)的求法，求圓的弦長(zhǎng)有兩種方法：一是利用弦長(zhǎng)公式，結(jié)合韋達(dá)定理求解；二是利用半弦長(zhǎng)，弦心距，圓半徑構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求解． 10．【2018天津?yàn)I海新區(qū)模擬】設(shè)直線與圓 相交于兩點(diǎn)，若，則__________． 【答案】 【名師點(diǎn)睛】直線與圓相交，連接圓心與弦中點(diǎn)的直線垂直于弦，所以關(guān)于弦的問題，利用這個(gè)垂直構(gòu)成直角三角形運(yùn)算． 11．【2018天津靜海一中期末考】方程有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________． 【答案】 【解析】為半圓， 為過點(diǎn)的直線， 由圖可知，直線，即，， ， 過時(shí)， ；過時(shí)， ，所以的取值范圍是 12．【2018天津一中模擬二】圓心在直線，且與直線相切于點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________． 【答案】 【名師點(diǎn)睛】此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：點(diǎn)到直線的距離公式，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線的點(diǎn)斜式方程，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到切線的距離等于圓的半徑．屬于基礎(chǔ)題． 13．【2018天津七校聯(lián)考】若圓與圓恰有三條公切線，則的最大值為__________． 【答案】6 【解析】由題意得兩圓相外切，即 ， 【名師點(diǎn)睛】判斷圓與圓的位置關(guān)系的常見方法 （1）幾何法：利用圓心距與兩半徑和與差的關(guān)系． （2）切線法：根據(jù)公切線條數(shù)確定． （3）數(shù)形結(jié)合法：直接根據(jù)圖形確定 14．【2018天津十二重點(diǎn)中學(xué)模擬】已知圓的圓心在軸正半軸上，點(diǎn)在圓上，且圓心到直線的距離為，則圓的方程為________． 【答案】 【解析】設(shè)圓的方程為，由點(diǎn)在圓上，且圓心到直線的距離為，得，解得圓的方程為，故答案為． 15．【2018天津部分區(qū)期末】以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切于點(diǎn)，則該圓的方程為__________． 【答案】 16．【2018天津河?xùn)|區(qū)期中】已知點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________． 【答案】 【解析】因?yàn)樵趫A內(nèi)部，∴， 即，即，即，∴， ． 17．【2018浙江臺(tái)州模擬】若圓關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值為__________．由點(diǎn)向圓所作兩條切線，切點(diǎn)記為，當(dāng)取最小值時(shí)，外接圓的半徑為__________． 【答案】 【解析】分析：首先根據(jù)圓關(guān)于直線對(duì)稱，可得直線過圓心，將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓心坐標(biāo)，代入直線方程，求得，之后將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于b的關(guān)系式，配方求得最小值，通過分析圖形的特征，求得什么情況下是該題所要的結(jié)果，從而得到圓心到直線的距離即為外接圓的直徑，進(jìn)一步求得其半徑． 距離，即，此時(shí)A，B，P，C四點(diǎn)共圓， 此時(shí)PC即為外接圓的直徑，所以其半徑就是． 【名師點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)直線與圓的問題，在解題的過程中，注意圓關(guān)于直線對(duì)稱的條件，之后應(yīng)用代換，轉(zhuǎn)化為關(guān)于b的二次式，利用配方法求得最小值，再者就是分析圖形，得到什么情況下滿足取最值，歸納出外接圓的直徑，從而求得半徑． 18．【2018江西師大附中三模】為等腰直角三角形，是內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足，則的最小值為__________． 【答案】 【解析】分析：先建立直角坐標(biāo)系，再求點(diǎn)M的軌跡，再求|MB|的最小值． 【名師點(diǎn)睛】（1）本題主要考查軌跡方程和最值的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力和分析推理轉(zhuǎn)化的能力． （2）本題的解題關(guān)鍵有兩點(diǎn)，其一是建立直角坐標(biāo)系，其二是求出點(diǎn)M的軌跡方程．