（全國(guó)通用版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 選考部分 不等式選講 課時(shí)分層作業(yè) 六十三 2 證明不等式的基本方法 文.doc

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課時(shí)分層作業(yè) 六十三 證明不等式的基本方法 (45分鐘　60分) 1.(10分)已知a>0,b>0,求證:+≥+. 【證明】因?yàn)?(+) =+=+ ==≥0, 所以原不等式成立. 【一題多解】由于(+) = = =-1≥-1=1. 又a>0,b>0,>0. 所以+≥+. 2.(10分)已知a,b,c是全不相等的正實(shí)數(shù),求證:++>3. 【解題指南】根據(jù)a,b,c全不相等,推斷出與,與,與全不相等,然后利用基本不等式求得+>2,+>2,+>2,三式相加整理求得++>3,原式得證. 【證明】因?yàn)閍,b,c全不相等, 所以與,與,與全不相等, 所以+>2,+>2,+>2,三式相加得,+++++>6, 所以++>3, 即++>3. 【變式備選】(2018南陽(yáng)模擬)已知函數(shù)f(x)=k-|x-3|,k∈R,且f(x+3)≥0的解集為[-1,1]. (1)求k的值. (2)若a,b,c是正實(shí)數(shù),且++=1,求證:a+2b+3c≥9. 【解析】(1)因?yàn)閒(x)=k-|x-3|, 所以f(x+3)≥0等價(jià)于|x|≤k, 由|x|≤k有解,得k≥0,且解集為[-k,k]. 因?yàn)閒(x+3)≥0的解集為[-1,1].因此k=1. (2)由(1)知++=1,因?yàn)閍,b,c為正實(shí)數(shù). 所以a+2b+3c=(a+2b+3c)(++)=3++++++= 3+++ ≥3+2 +2 +2 =9. 當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=3c時(shí),等號(hào)成立. 因此a+2b+3c≥9. 3.(10分)已知x>0,y>0,且x+y=1, 求證:≥9. 【解題指南】可將所證不等式左邊展開(kāi),運(yùn)用已知和基本不等式可得證,也可以用x+y取代“1”,化簡(jiǎn)左邊,然后再用基本不等式. 【證明】因?yàn)閤>0,y>0, 所以1=x+y≥2.所以xy≤. 所以=1+++ =1++=1+≥1+8=9. 當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時(shí),等號(hào)成立. 【一題多解】因?yàn)閤+y=1,x>0,y>0, 所以= ==5+2 ≥5+22=9. 當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時(shí), 等號(hào)成立. 4.(10分)某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn),以下5個(gè)不等關(guān)系式子 ①-1>2-; ②2->-; ③->-2; ④-2>-; ⑤->2-. (1)上述五個(gè)式子有相同的不等關(guān)系,根據(jù)其結(jié)構(gòu)特點(diǎn),請(qǐng)你再寫(xiě)出一個(gè)類似的不等式. (2)請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)更一般的不等式,使以上不等式為它的特殊情況,并證明. 【解析】(1)-2>-3(答案不唯一). (2)->-. 證明:要證原不等式,只需證+>+, 因?yàn)椴坏仁絻蛇叾即笥?, 只需證2a+3+2 >2a+3+2, 只需證>, 只需證a2+3a+2>a2+3a, 只需證2>0,顯然成立,所以原不等式成立. 5.(10分)已知α∈(0,π),求證:2sin 2α≤ . 【證明】2sin 2α-=4sin αcos α- = =-, 因?yàn)棣痢?0,π),所以sin α>0,1-cos α>0, 又(2cos α-1)2≥0,所以2sin 2α-≤0, 所以2sin 2α≤. 6.(10分)(2018泉州模擬)設(shè)a,b為正實(shí)數(shù),且+=2. (1)求a2+b2的最小值. (2)若(a-b)2≥4(ab)3,求ab的值. 【解析】(1)由2=+≥2得ab≥,當(dāng)a=b=時(shí)取等號(hào). 故a2+b2≥2ab≥1,當(dāng)a=b=時(shí)取等號(hào). 所以a2+b2的最小值是1,當(dāng)且僅當(dāng) a=b=時(shí)取得最小值. (2)由(a-b)2≥4(ab)3得≥4ab. 即-≥4ab,從而ab+≤2. 又ab+≥2,當(dāng)且僅當(dāng)ab=1時(shí)取等號(hào). 所以ab=1.